Курсовая работа (т): Расчет характеристик электромагнитного поля в прямоугольном волноводе R100 c параметрами по ГОСТ 20900-75

Расчет характеристик электромагнитного поля в прямоугольном волноводе R100 c параметрами по ГОСТ 20900-75

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной курсовой работы является расчет характеристик электромагнитного поля в проводящем прямоугольном волноводе и сравнение полученных результатов с установленными по ГОСТ.

Задачи курсовой работы:

решение системы уравнений Максвелла при заданных граничных условиях;

расчет диапазона длин волн прямоугольного волновода;

расчет критических длин волн;

расчет критических частот волны основного типа;

расчет фазовой и групповой скоростей волны основного типа;

расчет коэффициента распространения волны в волноводе;

расчет характеристического сопротивления волны основного типа;

расчет коэффициента затухания волны с длиной, выбранной из рабочего диапазона;

сравнение полученных в ходе расчетов данных с уже имеющимися табличными значениями.

Электромагнитная волна в устройствах и системах связи должна распространяться по определенному пути и достигать пункта назначения с наименьшими потерями. Эту функцию выполняют направляющие системы, их называют также линиями передачи или волноводами.

Направляющие системы должны удовлетворять следующим требованиям:

малое затухание;

обеспечение заданной передаваемой мощности;

экономическая целесообразность (малый вес, доступные материалы, простота конструкции и технологии производства).

Применяются следующие конструкции направляющих систем:

двухпроводные линии;

коаксиальный кабель;

линии поверхностной волны;

металлические волноводы.

Основными, широко используемыми линиями передачи закрытого типа, являются коаксиальный волновод, прямоугольный, круглый и эллиптический волноводы. Данные линии передачи более широкополосны, дешевле и проще в изготовлении, имеют высокую электрическую прочность необходимую для передачи большой мощности, высокую механическую прочность, обеспечивающую высокую надежность, длительный срок службы, устойчивость к механическим воздействиям и минимальные потери энергии.

Рисунок 1.1 Волноводы:

а) прямоугольный; б) круглый; в) эллиптический: г) П-образный.

Волновод представляет собой полую металлическую трубу, стенки которого выполняются из хорошо проводящего материала (медь, латунь). Во избежание коррозии волноводы часто гальванически покрывают тонким слоем серебра или другого стойкого к коррозии металла (золото, никель).

В сантиметровом и миллиметровом диапазонах длин волн основным типом линий передачи являются волноводы с прямоугольным поперечным сечением.

В данной работе рассмотрим прямоугольный волновод R100 с параметрами (размер волновода по ГОСТ20900-75):

a=9 мм - ширина канала волновода;

b=4.5 мм - высота канала волновода;

s=0.5 мм - толщина стенки.

Диапазон частот:

f₁=30 ГГц;

f₂=58 ГГц.

1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ

прямоугольный волновод электромагнитный поле

Вопросы распространения волн в направляющих системах давно привлекли внимание ученых, занимающихся теорией электромагнитного поля. Первые исследования, относящиеся к волнам в полых трубках (волноводах), были проведены английским физиком Релеем еще в 1897 году.

В создание современной теории направляющих устройств значительный вклад внесли советские ученые: Г.В. Кисунько, А. А. Самарский, А.Н. Тихонов, Л.А. Вайнштейн и др.

В зависимости от вида линий передачи в них могут распространяться электромагнитные волны четырех классов:

поперечные или Т-волны (поперечно-электромагнитные или ТЕМ-волны);

электрические или Е-волны (поперечно-магнитные или ТМ-волны);

магнитные или Н-волны (поперечно-электрические или ТЕ-волны);

гибридные волны.

Класс волны определяется наличием или отсутствием продольных составляющих Е_z и Н_z, параллельных направлению ее распространения. При классификации используются два принципа: либо указывается, какой вектор лежит целиком в поперечной плоскости (ТЕМ, ТМ), либо указывается, какой вектор имеет продольную составляющую (т.е. Е и Н). Тип волны определяется числом максимумов и минимумов поля в поперечном сечении волновода и обозначается двумя числовыми индексами (Е₀₁ и Н₁₁).

1.1 Класс ТЕМ (поперечные электромагнитные волны)

Поле поперечной волны имеет только поперечные электрическую и магнитную составляющие. Коэффициент распространения волны ТЕМ в волноводе всегда равен таковому в среде, которой заполнена эта направляющая система. Структура электрической составляющей поля волны ТЕМ в поперечной плоскости идентична электростатическому полю в этой системе. Отсюда следует: структура поля волны ТЕМ в поперечном сечении не зависит от частоты, волна ТЕМ может распространяться лишь в таких направляющих системах, где возможно существование электростатического поля.

.2 Классы волн Е и Н

Эти волны имеют одну продольную составляющую Е_z или Н_z. Е-волны, или "электрические", имеют электрическую продольную составляющую Е_z и, естественно, поперечные компоненты Е и Н. Н-волны, или "магнитные" имеют магнитную составляющую Н_z и поперечные Е и Н. Существуют при некоторых условиях так называемые гибридные волны ЕН. Они возникают в из нескольких сред. Заметим, что в линиях передачи ось oz совпадает с направлением распространяющихся вдоль этих линий электромагнитных волн. Т-волны могут существовать только в двухсвязных или многосвязных линиях передачи (причем в открытых линиях, так и в волноводах). Е- и Н-волны могут существовать в односвязных и многосвязных волноводах различного поперечного сечения. Гибридные волны могут существовать в неоднородных линиях различных типов. В любой направляющей системе возможно существование большого числа типов волн (из классов Е и Н), количество которых зависит от выбора рабочей длины волны λ_р. Однако существует область длин волн, при которой распространение электромагнитных волн в волноводе невозможно (область отсечки), то есть когда рабочая длина волны λ_р больше или равна критической длине волны основного типа волны λ_кр (λ_р > λ_кр). Основным типом волны в волноводе называется волна, обладающая максимальной критической длиной волны.

2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Е И Н-ВОЛН В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

Уравнения связи получаются в результате преобразования уравнений Максвелла и граничному условию для тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (E_τ) на поверхностях идеальных проводников: E_τ = 0;

rotH = jωε_a Е

rotE = -jωμ_aH (2.1) = 0

divE = 0

Для декартовой (прямоугольной) системы координат (х, у, z) уравнения связи для Е- и Н-волн выглядят следующим образом:

Е-волны:

 (2.2)

Н-волны:

 (2.3)

,

где К - продольное волновое число для Е и Н-волн в волноводе, χ - поперечное волновое число.

(2.4)

(2.5)

.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе

Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода.

Рисунок 2.1 Система координат прямоугольного волновода.

Разместим прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 2.1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях у=0 и у=b, а боковые - в плоскостях х=0 и х=а.

Уравнение

 (2.6)

в декартовой системе координат имеет следующий вид:

 (2.7)

При интегрировании уравнения (2.7) воспользуемся методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух функций Х(х) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой:

Ψ(x,y)=X(x)Y(y) (2.8)

Подставим (2.8) в (2.7) и выполним частное дифференцирование:

 (2.9)

Перейдя в (2.9) от частных дифференциалов к обыкновенным, и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем:

 (2.10)

Приравняем первый член уравнения (2.10) постоянному коэффициенту -к²_x , а второй - постоянному коэффициенту - к²_у. В этом случае уравнение (2.10) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений:

 (2.11)

 (2.12)

(2.13)

Уравнения (2.11) и (2.12) являются обыкновенными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями которых являются комбинации показательных либо тригонометрических функций и постоянных коэффициентов.

Решение уравнения (2.11) для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

 (2.14)

В выражение (2.14) входят постоянные коэффициенты С, D и k,для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием E_τ = о.

Граничное условие Е_т = 0 для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода преобразуется в следующие условия: для составляющей E_z : E_z = 0, при х=0, х=а, у=0 и у=b.

Применительно к уравнению (2.14) это означает, что при х=0 и при х=а правая часть уравнения должна обращаться в ноль.

Первое условие может быть выполнено только в том случае, если С = 0, а второе - если к_х =mπa, где m - любое целое положительное число; а - попе-речный размер широкой стенки волновода. Используя граничные условия, уравнение (2.14) принимает следующий вид:

 (2.15)

Проведя аналогичные операции с уравнением (2.12), получаем:

 (2.16)

где В - постоянный коэффициент,

k_v = nπ/b - постоянный коэффициент, n - любое целое положительное число, b - поперечный размер узкой стенки волновода.

Подставив (2.15) и (2.16) в (2.8), имеем:

 (2.17)

Подставив (2.17) в E(ζ,n,z) = E(ζ,n)A^E exp(-jKz) и обозначив произведение коэффициентов В, D и А как Е₀,получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Е-волн в прямоугольном волноводе

 (2.18)

Чтобы воспользоваться уравнениями связи для определения поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей Е-волн в прямоугольном волноводе, необходимо найти частные производные  и . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (2.18) по переменным х и у:

Анализ уравнения (2.18) и его частных производных показывает, что для Е-волн целые числа тип, входящие в выражения для коэффициентов k_x и k_y, не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие векторов Е и Н этих волн будут равняться нулю.

Подставляя значения вычисленных частных производных в уравнения связи, получим систему уравнений для составляющих векторов Е и Н поперечно-магнитных волн (Е-волн) в прямоугольном волноводе:

,

где E_x(x,y), E_y(x,y), E_z(x,y), H_x(x,y), H_y(x,y) - амплитуды векторов Е и Н, E_0x, E_0y, E_0z, H_0x, H_0y - максимальные значения этих амплитуд.

.2 Система уравнений для Н-волн в прямоугольном волноводе

Отличие решения уравнения (2.6) для Н-волн от решения для Е-волн заключается в применении граничных условий. Дело в том, что уравнение E_τ=0, которое в случае Е-волн непосредственно трансформируется в граничные условия для составляющей E_z, в данном случае может быть использовано лишь опосредованно с помощью системы уравнений связи. Причем граничные условия могут быть получены не непосредственно для составляющей H_z, а лишь для ее частных производных  и . Так как Е_х является касательной составляющей при у=0 и при у=b, а Е_у является касательной составляющей при х=0 и при х=а, то получаем:

 при у=0 и при у=b,

 при х=0 и при х=а.

Используя эти граничные условия при решении уравнения (2.6) находим выражение для составляющей H_z магнитных волн (Н-волн) в прямоугольном волноводе H_z:

 (2.20)

Анализ уравнения (2.20) показывает, что, в отличие от уравнения (2.18), в данном случае целые числа тип порознь могут равняться нулю.

Найдя частные производные  и , подставляя полученные значения в уравнения связи, получаем систему уравнений для векторов Е и Н магнитных волн (Н-волн) в прямоугольном волноводе:

,

, E_z=0,

,

, (2.21)

.

3. АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА

Полученные выше системы уравнений ((2.19), (2.21)) являются решениями уравнений Максвелла, удовлетворяющих физическим условиям рассматриваемой задачи и граничным условиям. Следовательно, в соответствии с теоремой единственности, эти решения однозначно описывают законы изменения в пространстве и во времени векторов Е и Н внутри волновода. Попробуем на основе этих математических выкладок описать физическую картину электромагнитных процессов, происходящих внутри волновода.