Материал: Расчёт параметров электрической цепи постоянного и переменного тока

. Расчёт параметров цепи переменного тока методом комплексных амплитуд

Схема цепи переменного тока изображена на рисунке 2.1

Рисунок 2.1 - Схема цепи переменного тока согласно варианту

Элементы цепи имеют следующие параметры:

E = 120 В; L1 = 15,9 мГн; R2 = 4 Ом; C3 = 100 мкФ;R4 = 100 Ом;

Для данной схемы необходимо определить: токи во всех ветвях цепи; напряжение на сопротивлении R2; активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью; построить векторную диаграмму токов и векторную диаграмму напряжений.

Для расчета данной схемы по методу комплексных амплитуд необходимо определить комплексные сопротивления ветвей схемы. Комплексное индуктивное сопротивление определяется по формуле Zl = iωL; комплексное емкостное - Zс = -i/(ωC). Расчет ω производится по формуле ω=2πf. Для данной схемы ω составляет 6,28*50 = 314 Гц. Расчет комплексных сопротивлений для данной схемы:

1 = Zl1 = iωL1;

1 = i*314*15.9*10^-3 ≈ 5i Ом;

= R2 = 4 Ом;= Zс3 = -i/(ωC3);

Z3 = -i/(314*100*10^-6) ≈ -32i Ом;= R4 = 100 Ом;= Zl5 = iωL5;

Z5 = i*314*115*10^-3 ≈ 36i Ом.

Далее необходимо заменить сопротивления, индуктивности и емкости схемы на соответствующие комплексные сопротивления. Схема цепи с комплексными сопротивлениями представлена на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 - Схемы цепи с комплексными сопротивлениями

Решение задачи производится методом контурных токов. Этот метод требует определения контурных токов, контурных ЭДС, собственных и взаимных сопротивлений контуров. Контура и их обходы показаны на рисунке 2.2. Контурные токи имеют следующие значения:

11 = i1;

i22 = i3;

i33 = i5;

Контурные ЭДС определяются, как сумма всех ЭДС, входящих в контур и имеют следующие значения:

11 = E = 120 В;

E22 = 0 В;

E33 = 0 В.

Собственные сопротивления контуров определяются, как сумма всех сопротивлений, входящих в контур и имеют следующие значения:

= Z1 + Z2;= (4+5i) Ом;= Z2 + Z3 + Z4;= (104-32i) Ом;= Z4 + Z5;= (100+36i) Ом.

Взаимными сопротивлениями контуров являются сопротивления, относящиеся к двум контурам. Их значения отрицательны, если направления обходов контуров противоположны на данном сопротивлении и положительны, если направления обхода контуров совпадают. Взаимные сопротивления контуров для данной схемы имеют следующие значения:

12 = Z21 = -Z2;

Z12 = Z21 = -4 Ом;

Z13 = Z31 = 0 Ом;

Z23 = Z32 = -Z4;

Z23 = Z32 = -100 Ом.

Система уравнений контурных токов в общем виде:

После подстановки всех известных величин данная система имеет вид:

В ходе решения данной системы получены следующие значения контурных токов:

= i1 = 20,66*e^-i59;= i3 = 5,343*e^-i59;= i5 = 5*e^-i78.

и i4 определяются из урвнений, составленных по первому закону Кирхгофа:

= i2 + i3;= i1 - i3;= 20,66*e^-i59 - 5,343*e^-i59 = 15,31*e^-i59.= i4 + i5;= i3 - i5;=(2,768-4,57i)-(0,994-4,928i)=1,8*eⁱ¹¹

Определение активной, реактивной и полной мощности цепи предусматривает нахождение комплексной мощности цепи. Она определяется по формуле:

=E*i1;=120*20,66*e^-i59=2479*e^-i59 ВА.

Полная мощность определяется как модуль комплексной мощности:

=|S|=2479 ВА.

Для определения активной и реактивной мощности необходимо представить полную мощность в алгебраической форме:

=P+iQ;

=(1277+2125i);

Следовательно, P=1277 Вт; Q=2125 Вар.

Ваттметр, включенный в цепь последовательно источнику, покажет активную мощность 1277 Вт.

Для построения векторной диаграммы токов и напряжений необходимо расчитать напряжения на каждом участке схемы. Напряжение определяется как произведение комплексного сопротивления участка на ток, протекающий по этому участку цепи. Расчет напряжений для каждого участка:

= i1*Z1 = 103*eⁱ³⁰;= i2*Z2 = 60*e^i-59;= i3*Z3 = 171*e^i-149;= i4*Z4 = 180*eⁱ¹¹;= i5*Z5 = 181*eⁱ¹².

Таким образом вольтметр, ключенный в цепь параллельно R2 будет показывать 60 В.

Векторная диаграмма токов и напряжений представлена на рисунке 2.3

Масштаб напряжений: 1см = 22,5 В.

Масштаб токов: 1см = 2,25 А.

Согласно диаграмме можно сделать вывод, что ток i1 равен векторной сумме токов i2 и i3; ток i3 равен веторной сумме токов i4 и i5, что подтверждает правильность проведенных расчетов. Так же видно, что угол между i3 и U3 равен 90 градусам. Это так же подтверждает правильность расчетов, так как на емкости С3 ток по фазе опережает напряжение на 90 градусов. Между i1,i5 и U1,U5 соответственно, так же углы в 90 градусов. Это свидетельствует о том, что на индуктивности L1 и L5 напряжение опережает ток по фазе на 90 градусов. На сопротивлениях R2 и R4 ток и напряжение протекают с одинаковой фазой, что доказывает векторная диаграмма.

Рисунок 2.3 - векторная диаграмма напряжений и токов

Моделирование данной схемы в программе Electronics Workbench представлено в приложении Б.

В таблице 2.1 представлено сравнение данных, полученных при вычислении параметров данной схемы и при моделировании ее в программе Electronics Workbench.

Таблица 2.1 - Сравнение результатв вычислений

Вывод о проделанной работе

В ходе работы вычислены электрические параметры цепей постоянного и переменного синусоидального тока.

Параметры цепи постоянного тока рассчитаны тремя методами: методом уравнений Кирхгофа, методом контурных токов и методом узловых напряжений. Так же цепь была смоделирована в программе Electronics Workbench и сняты значения токов в каждой из ветвей. В результате расчетов полученные значения токов в ходе решения каждым из методов и моделирования в программе Electronics Workbench, равны. Так же для цепи постоянного тока рассчитан баланс мощности и простроена потенциальная диаграмма.

Параметры цепи переменного тока рассчитаны методом комплексных амплитуд с использованием метода контурных токов. Для данной схемы получены комплексные значения токов и напряжений, представленные в показательной форме. Рассчитана мощность на источнике, определены показания ваттметра и вольтметра. Построена векторная диаграмма токов и напряжений, показывающая правильность расчета. Схема смоделирована в программе Electronics Workbench с последующим сравнением полученных значений токов с рассчитанными значениями. Сравнение показало их полное соответствие.

Список использованных источников

1       #"800159.files/image023.jpg">

Рисунок 1 - Моделирование схемы в программе Electronics Workbench

Приложение Б

Моделирование цепи переменного тока в программе Electronics Workbench представлено на рисунке 1

Рисунок 1 - Моделирование схемы в программе Electronics Workbench