Материал: Распространение монохроматических волн в нелинейных средах (110
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Л. И. Аверина, А. А. Лещинский
РАСПРОСТРАНЕНИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Учебное пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2011
Утверждено научно-методическим советом физического факультета 30 ноября 2010 года, протокол № 9
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент А. Н. Алмалиев
Учебное пособие подготовлено на кафедре электроники физического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3-го курса дневного отделения и 5-го курса вечернего отделения физического факультета Воронежского государственного университета, сдающих экзамен по курсу «Физика волновых процессов».
Для специальности 010801 – Радиофизика и электроника
|
Содержание |
|
Введение........................................................................................................... |
4 |
|
1. |
Уравнения для нелинейных волн. Классификация нелинейных |
|
|
эффектов ...................................................................................................... |
6 |
2. |
Методы решения нелинейных уравнений в теории волн..................... |
13 |
3. |
Генерация второй гармоники................................................................... |
18 |
4. |
Распадная неустойчивость волн. Параметрическое усиление |
|
|
и генерация................................................................................................ |
24 |
5. |
Самовоздействие волн. Нелинейная дисперсия |
|
|
и нелинейное поглощение........................................................................ |
31 |
Литература..................................................................................................... |
35 |
|
3
Введение
Волновые уравнения, описывающие процессы в линейных средах, обладают свойством суперпозиции. Это свойство заключается том, что различные пространственно-временные спектральные составляющие волновых полей – плоские монохроматические волны – распространяются без искажений и не взаимодействуют друг с другом.
Линейная среда представляет собой некоторую идеализированную модель, и поэтому пользоваться ею для описания прохождения волн через реальные среды можно не во всех случаях. Применимость модели линейной среды зависит в первую очередь от величины отношения амплитуды волны
к характерной величине хар, определяющей упругие свойства среды. |
В |
акустике хар – это давление газа или внутреннее давление жидкости, |
в |
электродинамике хар – напряжённость внутреннего поля, действующего на электроны атомов и т. д.
В линейной среде отношение / хар полагается бесконечно малым, в
результате чего волновое уравнение становится линейным:
1
,
где – линейный оператор, описывающий дисперсию и диссипацию среды. Если же величину / хар считать конечной, то в волновом уравнении необходимо удержать нелинейные члены:
где , |
|
|
1 |
|
линейные операторы, имеющие по, |
|
, |
…, |
– |
|
полю порядок |
||
волновом/ хар |
по отношению к линейным членам. Учёт нелинейных членов в |
|||||
уравнении приводит к качественно новым явлениям. В простей- |
||||||
шем случае, |
когда на вход среды падает монохроматическая волна |
|||||
|
|
, нелинейность приводит к последовательному возбуждению |
||||
|
|
|
4 |
|
||
временных гармоник волны , n = 2,3,4,…. Обогащение частотного спектрального состава излучения означает искажение формы синусоидального профиля волны. Сильное электромагнитное поле изменяет оптические характеристики среды (показатель преломления, коэффициент поглощения), которые становятся функциями напряжённости электрическо-
го поля |
волны, |
т.е. поляризация среды нелинейно зависит от |
|
напряжённости. |
|
|
|
Параметр |
характеризует локальную нелинейность среды и |
||
указывает порядок/ величиныхар |
относительного нелинейного изменения ам- |
||
плитуд полей |
за один |
период колебаний . Если в течение времени |
|
совершается |
колебаний, |
/ , то нелинейный эффект увеличивается |
|
враз, т.е. составляет величину / хар. Так как мы имеем дело с волна-
ми, бегущими с конечной скоростью , то время определяется длиной области взаимодействия гармоник или протяжённостью нелинейной среды : / ; при этом равно отношению длины к длине волны , т.е.
// . Таким образом, в волновых системах степень нелиней-
ного |
|
взаимодействия определяется параметром |
/ |
хар |
. |
Поэтому, если |
даже коэффициент локальной нелинейности мал, |
|
, суммарный |
||||
нелинейный эффект за счёт большой протяжённости⁄областихар 1взаимодейст- |
||||||
вия, |
/ |
1 |
|
|
|
|
|
, может быть значителен. |
|
|
|
|
|
Протяжённость области эффективного взаимодействия гармоник во многом зависит от дисперсии и диссипации среды. Действительно, энергообмен между гармониками зависит от соотношения фаз. В среде без частотной дисперсии все волны бегут с одинаковыми скоростями, и фазовые соотношения сохраняются в процессе распространения между всеми гармониками (выполняется условие фазового синхронизма для всех гармоник). Если затухание волн мало, то нелинейные эффекты могут накапливаться пропорционально пройденному расстоянию. Следовательно,
5