Реферат: Распространение волн в диспергирующих средах

Распространение волн в диспергирующих средах

Реферат

Распространение волн в диспергирующих средах

Содержание

Введение

. Уравнение электромагнитного поля в среде с дисперсией

. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости

. Соотношение Крамерса-Кронига

. Дисперсия при распространении электромагнитной волны в диэлектрике

. Дисперсия в среде со свободными зарядами

. Волны в средах с пространственной дисперсией

. Распространение волнового пакета в диспергирующей среде

. Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде

Литература

Введение

Общий вид плоской гармонической волны определяется уравнением вида:

(r, t) = Aexp(iwt ± ikr) = Aexp(i(wt ± k'r) - (±k"r)), (1)

где k(w) = k'(w) + ik"(w) - волновое число, вообще говоря, комплексное. Его действительная часть k'(w) = vф/w характеризует зависимость фазовой скорости волны от частоты, а мнимая часть k"(w) - зависимость коэффициента затухания амплитуды волны от частоты. Дисперсия, как правило, связана с внутренними свойствами материальной среды, обычно выделяются частотная (временная) дисперсия, когда поляризация в диспергирующей среде зависит от значений поля в предшествующие моменты времени (память), и пространственная дисперсия, когда поляризация в данной точке зависит от значений поля в некоторой области (нелокальность).

1. Уравнение электромагнитного поля в среде с дисперсией

В среде с пространственной и временной дисперсией материальные уравнения имеют операторный вид

Здесь предусматривается суммирование по повторяющимся индексам (правило Эйнштейна). Это - наиболее общая форма линейных материальных уравнений, учитывающая нелокальность, запаздывание и анизотропию. Для однородной и стационарной среды материальные характеристики e, m и s должны зависеть только от разностей координат и времени R = r - r1, t = t - t1:

, (.2)

, (3)

. (4)

Волну E(r, t) можно представить в виде 4-мерного интеграла Фурье (разложение по плоским гармоническим волнам)

, (5)

. (6)

Аналогично можно определить D(k, w), j(k, w). Взяв преобразование Фурье вида (5) от правых и левых частей уравнений (2), (3) и (4), получим с учетом известной теоремы о спектре свертки

, (7)

где тензор диэлектрической проницаемости, компоненты которого зависят, в общем случае, и от частоты, и от волнового вектора, имеет вид

 (2.8)

Аналогичные соотношения получаются и для mi j(k, w) и si j(k, w).

. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости

При учете только частотной дисперсии материальные уравнения (7) принимают вид:

(r, w) = ei j(w)Ei(r, w), (9)

. (10)

Для изотропной среды тензор ei j(w) обращается в скаляр, соответственно

(r, w) = e(w)E(r, w), . (11)

Поскольку восприимчивость c(t) - действительная величина, то

e(w) = e'(w) + ie"(w), e'(-w) = e'(w), e"(-w) = -e"(w). (12)

Совершенно аналогично получаем

(r, w) = s(w)E(r, w), . (13)

Вводится также комплексная диэлектрическая проницаемость

. (14)

Интегрируя соотношение (11) по частям и учитывая, что c(¥) = 0, можно показать, что

.

С учетом формулы (14) уравнения Максвелла (1.16) - (1.19) для комплексных амплитуд принимают вид

. (15)

Здесь учтено, что 4pr = -i4pdiv (sE)/w = div (D) = div (eE). Соответственно, часто вводится комплексная поляризация  и полный ток

. (16)

3. Соотношение Крамерса-Кронига

Запишем комплексную проницаемость (14) с учетом соотношений (11) - (13) в виде

, (17)

где q(t) - функция Хевисайда, q(t < 0) = 0, q(t ³ 0) = 1. Но c(t < 0) = s(t < 0) = 0, поэтому q(t)c(t) = c(t), q(t)s(t) = s(t). Следовательно,

,

где q(w) - Фурье-образ функции Хевисайда,

. (18)

Таким образом,

 или

. (19)

Аналогично легко получить

. (20)

Заметим, что интегралы в соотношениях (19) и (20) берутся в главном значении. Теперь с учетом соотношений (17), (19) и (20) получаем:

Приравнивая мнимые и действительные части в правой и левой частях этого равенства, получим соотношения Крамерса-Кронига

, (21)

, (22)

устанавливающие универсальную связь между действительной и мнимой частями комплексной проницаемости. Из соотношений Крамерса - Кронига (21), (22) следует, что диспергирующая среда является поглощающей средой.

электромагнитный дисперсия волна энергия

4. Дисперсия при распространении электромагнитной волны в диэлектрике

Пусть Р = Np = Ner - объемная поляризация среды, где N - объемная плотность молекул, r - смещение. Колебания молекул под действием внешнего электрического поля описываются моделью Друде-Лоренца (гармонический осциллятор), соответствующей колебаниям электрона в молекуле. Уравнение колебаний одной молекулы (диполя) имеет вид

,

где m - эффективная масса электрона, w0 - частота нормальных колебаний, mn - коэффициент, описывающий затухание (потери на излучение), Еd = E + 4pP/3 - электрическое поле, действующее на диполь в однородном диэлектрике под действием внешнего поля Е.

Если внешнее поле меняется по гармоническому закону E(t) = Eexp(-iwt), то для комплексной амплитуды поляризации получаем алгебраическое уравнение

Или

.

. (23)

Здесь обозначено . Другая форма соотношения (23):

. (24)

Из формулы (23) следует, что при w << w0 . В газах, где плотность молекул невелика, можно принять , тогда

.

Отсюда в силу формулы (1.31) для показателей преломления и поглощения получаем, учитывая, что tg(d) = e"/e' << 1:

.

График этих зависимостей приведен на рис. 1. Отметим, что при w » w0 получается аномальная дисперсия dn/dw < 0, то есть фазовая скорость волны возрастает с частотой.

5. Дисперсия в среде со свободными зарядами

Примерами среды со свободными зарядами являются металл и плазма. При распространении в такой среде электромагнитной волны тяжелые ионы можно считать неподвижными, а для электронов записать уравнение движения в виде

.

В отличие от диэлектрика здесь нет возвращающей силы, так как электроны считаются свободными, а n - частота соударений электронов с ионами. В гармоническом режиме при E = Eexp(-iwt) получим:

,

Тогда

, (25)

где  - плазменная, или ленгмюровская частота.

Проводимость такой среды естественно определить через мнимую часть проницаемости:

. (26)

В металле w << n, wp << n, s(w) » s0 = const, e(w) чисто мнимая, , поле в среде существует только в скин-слое толщиной d » (kn)-1 << l, R » 1.

Рис. 1. Дисперсия поглощения и

Рис. 2 Дисперсия в плазме

В разреженной плазме n ~ (103 ... 104) c-1 и при w >> n проницаемость e(w) чисто действительная, , то есть

 - (27)

дисперсионное уравнение, его график приведен на рис. Отметим, что при w > wp коэффициент преломления n действительный и волна свободно распространяется, а при w < wp коэффициент преломления n мнимый, то есть волна отражается от границы плазмы.

Наконец, при w = wp получаем n = 0, то есть e = 0, значит, D = eE = 0. Соответственно, в силу уравнений Максвелла (1.16) и (1.19) rot H = 0, div H = 0, то есть Н = const. В этом случае из уравнения (1.17) следует, что rot Е = 0, то есть= -grad j - потенциальное поле. Следовательно, в плазме возможно существование продольных (плазменных) волн.

. Волны в средах с пространственной дисперсией

При учете и пространственной, и временной дисперсии уравнение электромагнитного поля для плоских волн имеет вид (7) с материальными уравнениями вида (8):

Соответственно, для плоских гармонических волн при m = 1 уравнения Максвелла (15) с учетом соотношения (1.25) принимают вид:

 (28)

Умножим второе из соотношений (28) слева векторно на k и, учитывая первое соотношение, получим:

.

В тензорных обозначениях с учетом соотношения (7) это означает

 (29)

Здесь, по-прежнему, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, в данном случае по j.

Нетривиальные решения системы уравнений (29) существуют при равенстве нулю ее определителя

.

Это условие задает в неявном виде закон дисперсии w(k). Для получения явного вида необходимо рассчитать тензор диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим случай слабой дисперсии, когда ka << 1, где а - характерный размер неоднородности среды. Тогда можно считать, что ci j(R, t) отлично от нуля лишь при |R| < a. Экспоненциальный же множитель в уравнении (8) заметно меняется лишь при |R| ~ 2p/k = l >> a, то есть экспоненту можно разложить в ряд по степеням R:

(-ikR) = 1 - iklxl - klkmxlxm/2 + ... , l, m = 1, 2, 3.

Подставляя это разложение в уравнение (8), получим

(30)

Поскольку при слабой дисперсии интегрирование по R в уравнении (30) выполняется в области размером порядка а3, то

Введем вектор n = kw/c и перепишем уравнение (30) в виде:

, (31)

где обозначено .

Поскольку все компоненты ci j тензора восприимчивости - действительные величины, то из уравнения (8) следует свойство эрмитовой сопряженности тензора диэлектрической проницаемости . Для среды с центром симметрии тензор диэлектрической проницаемости так же симметричен: ei j(k, w) = ej i(k, w) = ei j(-k, w), при этом разложение ei j(k, w) по k содержит только четные степени k. Такие среды называются оптически неактивными или негиротропными.

Оптически активной может быть только среда без центра симметрии. Такая среда называется гиротропной и описывается несимметричным тензором диэлектрической проницаемости ei j(k, w) = ej i(-k, w) = e*j i(k, w).

Для изотропной гиротропной среды тензор ei j(w) является скаляром, ei j(w) = e(w)di j, а антисимметрические тензоры второго ранга gi j l nl и gi j l nl в соотношении (31) - псевдоскалярами, то есть gi j l(w) = g(w)еi j l, gi j l(w) = g(w)еi j l, где еi j l - единичный полностью антисимметричный тензор третьего ранга. Тогда из соотношения (31) получаем для слабой дисперсии (a << l):

ei j(k, w) = e(w)di j - ig(w)еi j l nl.

Подставляя это выражение в уравнение (29), получим:

,

или в координатной форме, направляя ось z вдоль вектора k,

Здесь n = nz, k = kz= wn/c.

Из третьего уравнения системы следует, что Ez = 0, то есть волна поперечная (в первом приближении для слабо гиротропной среды). Условие существования нетривиальных решений первого и второго уравнений системы - равенство нулю определителя: [n2 - e(w)]2 - g2(w)n2 = 0. Поскольку a << l, то и g2/4 << e, поэтому

. (32)

Двум значениям n2 соответствуют две волны с правой и левой круговой поляризацией, из соотношения (1.38) следует, что . При этом, как следует из соотношения (32), фазовые скорости этих волн различны, что приводит к повороту плоскости поляризации линейно поляризованной волны при распространении в гиротропной среде (эффект Фарадея).

7. Распространение волнового пакета в диспергирующей среде

Носителем информации (сигналом) в электронике является модулированная волна. Распространение плоской волны в диспергирующей среде описывается уравнением вида:

, (33)

Для электромагнитных волн в среде с временной дисперсией оператор L имеет вид:

.

Пусть диспергирующая среда занимает полупространство z > 0 и на ее границе задан входной сигнал u(t, z = 0) = u0(t) с частотным спектром