Реферат: Распространение волн в диспергирующих средах
. (34)
Так как линейная среда удовлетворяет принципу суперпозиции, то
. (35)
Подставляя соотношение (35) в уравнение (33), можно найти закон дисперсии
k(w), который будет определяться видом
оператора L(u). С другой стороны, подставляя соотношение (34) в уравнение (35),
получим
. (36)
Пусть сигнал на входе среды является узкополосным процессом, или волновым пакетом u0(t) = A0(t)exp(-iw0t), |dA0(t)/dt| << w0A0(t), то есть сигнал является ММА-процессом. Если Dw << w0, где F(w0 ± Dw) = 0,7F(w0), то
и волновой пакет (36) можно записать в виде u(z, t) = A(z, t)exp(i(k0z - w0t)), где
. (38)
В первом приближении теории дисперсии ограничиваются линейным разложением
. Тогда внутренний интеграл по w в уравнении (38) превращается в
дельта-функцию:
u(z, t) = A0(t - zdk/dw)exp(i(k0z - w0t)), (39)
что соответствует распространению волнового пакета без искажения с групповой скоростью
гр = [dk(w0)/dw]-1. (40)
Из соотношения (39) видно, что групповая скорость - это скорость
распространения огибающей (амплитуды) A(z, t) волнового пакета, то есть
скорость передачи энергии и информации в волне. Действительно, в первом
приближении теории дисперсии амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению
первого порядка:
. (41)
Умножая уравнение (41) на А* и складывая его с комплексным сопряжением
уравнения (41), умноженным на А, получим
,
то есть энергия волнового пакета распространяется с групповой скоростью.
Нетрудно видеть, что
.
В области аномальной дисперсии (w1 < w0 < w2, рис. 1) возможен случай dn/dw < 0, что соответствует vгр > c, но при этом существует столь сильное затухание, что не применимы ни сам метод ММА, ни первое приближение теории дисперсии.
Распространение волнового пакета происходит без искажения только в первом
порядке теории дисперсии. Учитывая в разложении (37) квадратичное слагаемое,
получим интеграл (38) в виде:
. (42)
Здесь обозначено t =
t - z/vгр, k" = d2k(w0)/dw2 = d(1/vгр)/dw - дисперсия групповой скорости.
Прямой подстановкой можно показать, что амплитуда волнового пакета A(z, t) вида
(42) удовлетворяет диффузионному уравнению
(43)
с мнимым коэффициентом диффузии D = -id2k(w0)/dw2 = -id(1/vгр)/dw.
Отметим, что даже если дисперсия очень слаба, а спектр сигнала Dw очень узкий, так что в его пределах
третий член в разложении (37) много меньше второго, то есть Dwd2k(w0)/dw2 << dk(w0)/dw, то на некотором расстоянии от входа
в среду искажение формы импульса становятся достаточно большими. Пусть на входе
в среду сформирован импульс A0(t) длительностью tи. Раскрыв скобки в показателе экспоненты в
соотношении (42), получим:
.
Переменная интегрирования меняется здесь в пределах порядка tи, поэтому если 
(дальняя зона), то можно положить 
, тогда интеграл примет вид
преобразования Фурье:
,
где 
- спектр входного импульса,
.
Таким образом, импульс в среде с линейной дисперсией групповой скорости в дальней зоне превращается в спектрон-импульс, огибающая которого повторяет спектр входного импульса. При дальнейшем распространении форма импульса не меняется, но увеличивается его длительность при одновременном уменьшении амплитуды.
Из уравнения (43) можно получить некоторые полезные законы сохранения для
волнового пакета. Если проинтегрировать по времени выражение*L(A) + AL(A*), где
,
то получим закон сохранения энергии:
.
Если проинтегрировать по времени выражение L(A)¶A*/¶t - L(A*)¶A/¶t =
0, то получим второй закон сохранения:
.
Проинтегрировав же по времени само уравнение (43), получим третий закон
сохранения:
.
При выводе всех законов сохранения учитывалось, что A(±¥) = dA(±¥)/dt = 0.
. Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде
При наличии потерь закон сохранения электромагнитной энергии (1.33)
принимает вид:
¶W/¶t + div S + Q = 0, (44)
где S - вектор Пойтинга вида (1.34), Q - мощность тепловых потерь,
которые приводят к уменьшению со временем амплитуды волны. Рассмотрим
квазимонохроматические ММА-волны.
(45)
Используя выражение для дивергенции векторного произведения и уравнения
Максвелла (1.16), (1.17), получаем:
.
Подставляя сюда выражения (45) для ММА-полей и усредняя его по периоду
колебаний электромагнитного поля Т = 2p/w,
что уничтожает быстро осциллирующие компоненты exp(-2iw0t) и exp(2iw0t), получим:
. (46)
Будем рассматривать немагнитную среду с m = 1, то есть B0 = H0, и используем материальное
уравнение вида (2), связывающее вектора D и E, чтобы получить связь между
медленно меняющимися амплитудами полей вида (45) для случая однородной и
изотропной среды без пространственной дисперсии
.
В слабо диспергирующей среде c(t) -
почти дельта-функция, то есть за время запаздывания поляризации поле почти не
меняется и его можно разложить по степеням t, учитывая только первые два слагаемые:
.
Заметим, что величина в квадратных скобках, как следует из соотношения
(11), равна диэлектрической проницаемости среды на частоте w0, поэтому
.
Для узкополосного процесса производная ¶D0/¶t с той же точностью имеет вид ¶D0/¶t = e(w0) ¶Е0/¶t + ....
Тогда соотношение (46) принимает вид:
(47)
Для чисто монохроматической волны постоянной амплитуды ádW/dtñ = 0, тогда из уравнений (44) и (47)
получаем:
. (48)
Если пренебречь диссипацией, то есть положить в уравнении (44) Q = 0, а в
уравнении (47) в силу соотношения (48) e" = 0,то получим:
,
откуда для средней плотности энергии электромагнитного поля следует
. (49)
Литература
1. Беликов Б.С. Решение задач по физике. М.: Высш. школа, 2007. - 256 с.
. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2008. - 464 с.
. Геворкян Р.Г. Курс общей физики: Учеб. пособие для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.: Высш. школа, 2007. - 598 с.
. Детлаф А.А., Курс физики: Учеб. пособие для ВУЗов М.: Высш. школа, 2008 - 608 с,
. Иродов И.Е. Задачи по общей физике 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007. - 416 с.
. Кикоин И.К., Китайгородский А.И. Введение в физику. М.: Наука, 2008. - 685 с.
. Рыбаков Г.И. Сборник задач по общей физике. М.: Высш. школа, 2009. - 159 с.
. Рымкевич П.А. Учебник для инж.- эконом. спец. ВУЗов. М.: Высш. школа, 2007. - 552 с.
. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007. - 288 с.
. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекул. физика М.: Наука, 2009. - 551 с.
. Трофимова Т.И. Курс физики М.: Высш. школа, 2007. - 432 с.
. Чертов А.Г. Задачник по физике с примерами решения задач и справочными материалами. Для ВУЗов. Под. ред. А.Г Чертова М.: Высш. школа, 2007. - 510 с.
. Шубин А.С.
Курс общей физики М.: Высш. школа, 2008. - 575 с.