Роль метода размерностей для обобщения знаний и познавательных способностей обучаемых при изучении курса физики
Ю.А. Андреенко,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры физики МИСиС (Технологический университет)
Дидактически метод размерностей в узком смысле можно понимать как метод расчета физических задач, а в более широком плане как метод, формирующий физическое мышление. Причем часто в практике обучения как метод расчета он применяется на этапе анализа данных в начале решения задачи и при анализе уже полученного решения. Конечно, в факте использования метода размерностей на этапе анализа ответа выполненного задания уже проявляется обобщающая роль данного метода, но только отчасти. Во-первых, его применение можно распространить на этап поиска решения, а во-вторых, этот метод позволяет наиболее наглядно устанавливать взаимосвязи физических величин и, следовательно, может служить не только отправной точкой решения практических задач, но и при изучении теории, закона, определения физической величины и т.д. К сожалению, как первая, так и вторая из названных возможностей метода в практике обучения используются недостаточно часто.
Рассмотрим упомянутые возможности применения метода размерностей на некоторых конкретных примерах.
Решим задачу из теста по физике для абитуриентского тестирования, предложенного Федеральным центром тестирования в 2005 году.
Задача
Плотность натрия 0,97*103 кг/м3, молярная масса 23*10-3 кг/моль. Найти среднее значение объема, занимаемого одним атомом натрия.
Отметим, что в начале теста приводится таблица физических констант, необходимых для решения предложенных задач. Решим данную задачу, применяя метод размерностей и используя систему единиц СИ.
Обобщающая роль метода должна проявиться на этапе поиска решения, то есть на этапе синтеза данных, так как « синтез - это умение комбинировать факты для получения общего вывода» [1, c. 23].
Итак, требуется найти объем, занимаемый одним атомом натрия. Размерность объема - м3, плотности - кг/м3, молярной массы - кг/моль. Если молярную массу разделить на плотность, то полученная величина будет иметь размерность м3/моль. Если этот результат разделить на величину, имеющую размерность моль-1, то размерность итоговой величины будет м3. Для записи приведенного решения в виде формулы среди данных не хватает величины с размерностью моль-1. Обратимся к табличным данным. Размерность моль-1 имеет число Авогадро. Значит, функция связи перечисленных величин, полученная из формулы связи их размерностей имеет вид:
V = M/pNa (1).
После синтеза переходим к анализу, то есть выявлению частей целого, установлению взаимосвязей между частями. Отношение М/Na дает массу одного атома m. Введя в формулу полученную замену, имеем: V = m/p, то есть приходим к следствию из определения плотности. Таким образом, решение задачи есть решение системы из двух уравнений:
p = m/V и m = M/Na.
В рассмотренном случае формула связи размерностей из перечисленных величин совпала с итоговой формулой решения задачи. Это не частый случай в практике решения задач, но сам метод от этого не становится менее плодотворным. «Особенно плодотворным он оказывается в тех случаях, когда нахождение искомой закономерности прямым путем либо встречает значительные математические трудности, либо требует знания таких деталей процесса, которые заранее не известны» [2, с. 66]. И в том, что его использование может привести к пониманию общих физических закономерностей несложно убедиться на конкретном примере. Решим задачу № 419 из сборника задач [3].
Задача
Напишите физическое уравнение, содержанием которого является следующее положение: «Чтобы уменьшить путь торможения движущегося тела, надо увеличить приложенную к нему силу трения».
Попробуем сформировать из данных в условии задачи физическую величину. Произведение пройденного телом пути на модуль силы трения численно равно работе силы трения и имеет размерность, совпадающую с размерностью энергии. Из смысла приведенного в условии задачи положения следует, что путь торможения и приложенная к телу сила трения находятся в обратно пропорциональной зависимости, то есть F = K/S.
Остается выяснить смысл коэффициента К. Так как его размерность совпадает с размерностью энергии, можно предположить, что он равен кинетической энергии тела. Тогда искомому уравнению можно придать вид: F S = mv2/2 (2).
Проанализируем полученное уравнение. Если движение тела происходит по горизонтальной поверхности, то сила трения окажется равнодействующей приложенных к телу сил. По теореме о кинетической энергии работа равнодействующей силы равна приращению кинетической энергии тела, то есть такой разности, когда от второго значения энергии вычитается первое. Из этой теоремы и условия данной задачи следует:
F S = 0 - mv2/2 (3).
После умножения левой и правой части уравнения (3) на минус единицу приходим к уравнению (2).
Пусть тело спускается по наклонной плоскости. Тогда работа силы трения и равное ей количество выделившейся теплоты будут определяться не только кинетической, но и потенциальной энергией тела. Искомое уравнение в этом случае будет иметь вид:
F S = mv2/2 + mgh (4),
где h - высота, с которой опустилось тело.
Поскольку сила трения является сторонней, тот же результат можно получить, зная соотношение между работой сторонних сил и приращением полной механической энергии, а именно то, что работа сторонних сил равна приросту полной механической энергии тела или системы тел.
Для нашего случая имеем: -
F S = E2 - E1 (5),
где Е2 и Е1 - полная механическая энергия тела в конце и в начале движения соответственно. Если потенциальную энергию отсчитывать от уровня остановки тела, то Е2 = 0, а Е1 = mv2/2 + mgh, и после подстановки этих значений энергий в уравнение (5) приходим к уравнению (4).
Если при движении по наклонной плоскости трение отсутствует, левая часть уравнения (5) обращается в ноль, то есть E2 = E1 (6), и мы приходим к закону сохранения механической энергии в общем виде. Расписав уравнение (6) для двух произвольных точек наклонной плоскости, имеем mv12 /2 + mgh1 = mv22/2 + mgh2, то есть mv2/2 + mgh = const (7), то есть мы получили вид записи закона сохранения механической энергии для тела, движущегося в поле силы тяжести.
Таким образом, рассмотренная задача и ее решение с опорой на метод размерностей помогает обобщить знания обучаемых по использованию энергетического метода и в то же время является хорошей иллюстрацией использования каждого из этих методов для решения задач.
Известные в механике законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии не определяют детально изменение состояния физической системы с течением времени, но позволяют сделать некоторые заключения о характере поведения системы. «Полное описание физической системы возможно лишь в рамках динамических законов» [4, с. 701]. Поэтому, установив закон сохранения каким-либо способом, для простых систем теоретически его справедливость легко проверить, используя законы динамики и формулы кинематики. С другой стороны, можно воспользоваться подходящим для составления уравнения методом и необходимым условием соответствия этого уравнения законам динамики и формулам кинематики для получения каких-либо сохраняющихся величин. Покажем, как это можно сделать с помощью метода размерностей для механической энергии.
Итак, мы пытаемся установить вид сохраняющейся физической величины, имеющей размерность ml2 t-2. В СИ это величины, имеющие размерность кгм2 с-2. Величины mv2 и mgh имеют такую размерность, причем при движении тела в поле силы тяжести с ростом одной величины другая уменьшается. Поэтому логично предположить, что выражение вида mv2 + mgh (8), где и некоторые числовые коэффициенты, может оказаться постоянной величиной, то есть mv2 + mgh = const (9). Найдем эти коэффициенты, исходя из сделанного предположения и наших знаний о характере движения тела.
Пусть тело падает с высоты 20 м без начальной скорости с ускорением g = 10 м/с2. Решив систему уравнений кинематики h = g t2 /2 (10) и v = gt (11), получим числовое значение скорости в нижней точке движения. v = 20 м/с. Уравняв выражение (8) для верхней и нижней точки движения с учетом полученных данных, имеем = /2. Приняв = 1, получим
= 1/2. С учетом полученных коэффициентов уравнение (9) совпадет с уравнением (7), то есть мы пришли к закону сохранения механической энергии.
Попробуем таким же способом установить вид величины с размерностью ml3 t-2, сохраняющейся для материальной точки, находящейся в поле силы тяжести.
Предположим, эта сохраняющаяся величина имеет вид:
mgh2 + mv4 /g + mhv2 = const (12),
где , , - неизвестные числовые коэффициенты.
Для определения числовых коэффициентов опять рассмотрим падение тела без начальной скорости с высоты 20 м с ускорением g = 10 м/с2.
Для высшей и низшей точек движения уравнение (12) примет вид:
размерность познавательный физический
gh2 = v4 /g (13).
Используя формулы кинематики и получив для скорости тела на уровне земли v = 20м/с, подставим данные в исходное уравнение (13). Получим: = 4.
Затем запишем уравнение (12) для точек на уровне 20 м и 10 м с одновременной заменой = 4. После всех преобразований получим = 4. Приняв = 1, запишем исходное уравнение в виде:
4mgh2 + mv4 /g + 4mhv2 = const (14)
Очевидно, что изменение коэффициента в несколько раз привело бы к пропорциональному изменению коэффициентов и и не нарушило бы равенства (12).
Решим при помощи полученного уравнения задачу № 5.2 из сборника задач [5].
Задача
Тело брошено вертикально вверх со скоростью vo = 16 м/с. На какой высоте h кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии?
Запишем уравнение (14) для уровня земли и уровня h:
mvо4 /g = 4mgh2 + mv4 /g + 4mhv2 (15)
По условию mv2 /2 = mgh. Тогда v2 = 2gh. С учетом этой замены после преобразований из уравнения (15) имеем: h = vо2 /4g = 6,4 м, если g = 10 м/с2.
Тот же результат можно было получить при помощи закона сохранения механической энергии.
Решим следующую задачу: «Из окна высотного здания вертикально вверх брошено тело с начальной скоростью vo = 10 м/с. Какую скорость будет иметь тело, опустившись на 10 м ниже уровня бросания? Считать g = 10 м/с2».
Если уровень бросания принять за нулевой, то из уравнения (14) с учетом отрицательного значения h, имеем: mvо4 /g = 4mgh2 + mv4 /g - 4mhv2 (16).
Подставив сразу числовые данные, получим уравнение: v4 - 400 v2 +30000 = 0
Решая это уравнение, получим для квадрата скорости два положительных решения: 300 м2/с2 и 100 м2/с2, то есть два положительных решения для скорости: v1 = 10 м/с и v2 = 103 м/с, одно из которых является посторонним. Решение этой задачи при помощи закона сохранения энергии короче и содержит один положительный корень v = 10 3 м/с.
Итак, полученное нами уравнение (14) не дает никакой новой информации по сравнению с законом сохранения механической энергии и, кроме того, нуждается в проверке для выявления посторонних решений. Уравнение (14) является следствием закона сохранения энергии. Но основной вывод из полученных нами результатов заключается в том, что возможность и целесообразность введения ряда важнейших физических величин - силы, энергии и т.д. - это отражение объективных закономерностей природы. «Эти понятия вводятся не по нашему произволу, не из соображений удобства или «экономии мышления», а вытекают из реальности, из опытных данных» [7, с. 35].
В поисках новой информации продолжим работу с размерностью ml3 t-2 и запишем ее в системе единиц СГС, то есть гсм3 с-2. В СГС такую размерность имеет квадрат величины заряда. Обратимся к фундаментальным физическим постоянным: элементарному заряду, постоянной Планка и скорости света в вакууме. Размерность произведения постоянной Планка и скорости света равна размерности квадрата элементарного заряда. Данное совпадение многообещающе, и можно попробовать сформировать из этих констант новую постоянную, имеющую определенный и, по всей видимости, значительный смысл.
Действительно, в этом случае мы выходим на постоянную,
которая существует и как важная персона имеет два названия: постоянная тонкой структуры и константа связи электромагнитного взаимодействия. Она равна отношению квадрата элементарного заряда к произведению постоянной Планка на скорость света в вакууме. Обсуждение смысла данной константы не предмет нашего исследования. Последние рассуждения были нужны для того, чтобы подчеркнуть важность и плодотворность метода размерностей как в дидактическом плане, так и для развития физики в целом. Однако заметим, что приведенный способ нахождения данной константы не является ее определением. Чтобы понять, как она определяется, нужны дополнительные и весьма обширные знания [4, с. 309, 6, с. 111, 262]. Но, прикоснувшись к вопросу о понятии определения, мы, естественно, рассматриваем его в русле нашего исследования, используя метод размерностей.