Материал: семинар 10

Однофазные цепи синусоидального тока

Задача 1:

Рассмотрим задачу по расчету тока в цепи с последовательным соединением источника ЭДС , резистора R = 10 Ом, индуктивной катушки L = 100 мГн и конденсатора C = 100 мкФ при частоте f = 50 Гц (схема на рис.1). Требуется найти комплексные и мгновенные ток и напряжения на элементах, построить векторные диаграммы тока и напряжений и потенциальную диаграмму на комплексной плоскости.

Рис.1. Схема замещения с последовательным соединением элементов: для мгновенных значений (а), для действительных величин (б).

Перед расчетами необходимо на схеме разместить стрелки токов и напряжений с условно-положительными направлениями, которые необходимы для однозначной записи уравнений состояния.

Затем следует перевести исходные данные в комплексные значения. Действующее комплексное значение ЭДС равно:

В.

Угловая частота

рад/c.

Комплексные сопротивления элементов:

Ом;

Ом;

Ом.

Определяем комплексное эквивалентное сопротивление цепи относительно полюсов источника ЭДС:

Ом.

Комплексный действующий ток:

А.

Комплексные напряжения на элементах цепи:

В;

В;

В.

Мгновенные действующие ток и напряжения:

А;

В;

В;

В.

Векторные диаграммы (рис.2) на комплексной плоскости удобно строить использую показательную форму значения режимного параметра. Векторные диаграммы играют в основном вспомогательную роль. Если они не используются для вычислений, то можно ограничиться примерным соотношением длин векторов и углового их положения. Построение начинается с вектора тока I. Далее строятся векторы напряжений с наибольшей длиной U_С и U_L. Вектор U_С имеет отрицательный аргумент -90^°, он направлен вниз, «отстает от вектора тока I». Вектор U_L «из точки 0 и опережает вектор тока I». Направление вектора U_R «совпадает с вектором тока I». Эти наглядные результаты являются достаточно надежным критерием для проверки результатов расчета.

а)	б)
Рис.2. Векторная диаграмма и напряжений (а) и потенциальная диаграмма (б) на комплексной плоскости

 Потенциальная диаграмма на комплексной плоскости дает бóльшие возможности для анализа результатов расчетов. Она строится в следующем порядке. В схеме выбирается узел, которому присваивается нулевой потенциал (точка b на рис. 1). Построение начинается с вектора тока. Далее обходят контур цепи против часовой стрелки, начиная с точки b. Строится вектор напряжения U_С из точки b. Конец вектора U_С обозначим индексом d, так как положение этой точки определяется комплексным потенциалом точки d. Далее в последовательности обхода строится из точки d вектор U_L и получается на диаграмме точка с, из которой строится вектор U_R. Конец его определяет точку a. Вектор входного напряжения U должен соединить точки b и a, как и на векторной диаграмме. Завершается диаграмма вектором входного напряжения или ЭДС источника. Угловое положение векторов напряжения относительно вектора тока совпадает с положением на векторной диаграмме.

В рассмотренном примере цепь имеет практически режим резонанса напряжений, при котором сумма напряжений

, ,

и возможно .

На потенциальной диаграмме напряжение . Ток и напряжения достигают максимально возможного значения. Возможно, что амплитуда напряжения и ток реактивных элементов (L и С) могут превысить допустимые значения для элементов цепи.

Задача 2:

В приведенной схеме входное напряжение U создается источником ЭДС E = 200 В. Ветви содержат последовательно соединенные элементы с комплексными сопротивлениями Z_R1 = R₁, Z_L = jX_L и Z_R2 = R₂, Z_С = -jX_С; R₁ = R₂ = X_L = X_С = 10 Ом. Требуется найти напряжение U_cd и построить векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму при заданном комплексном потенциале V_b = 0 точки b.

Решение задачи начинаем с определения эквивалентных сопротивлений ветвей:

Ом;

Ом.

Напряжение на каждой ветви равно U = E = 200 В. Поэтому комплексные токи равны:

Ток источника равен

А.

Для расчета напряжение U_cd запишем контурное уравнение для контура cdb при обходе по часовой стрелке:

.

Отсюда следует:

Для построения потенциальной диаграммы определим потенциалы точек c, d и a при V_b = 0:

В,

В,

В.

Векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма

Построение векторной и потенциальной диаграмм начинается с векторов входного напряжения U и токов I₁, I₂ и I из начала координат комплексной плоскости. Вектор тока в индуктивной ветви I₁ должен отставать от вектора U , а в емкостной ветви I₂ опережать от него. Вектор тока I не имеет мнимой составляющей, как и вектор

U. Поэтому они совпадают по направлению.

Затем строятся векторы напряжений на элементах ветвей U_L, U_r1 и U_C, U_r2. Векторы напряжений на резисторах должны быть коллинеарны, а на реактивных элементах ортогональны векторам соответствующих токов. Сумма векторов напряжений на элементах каждой ветви равна вектору U = U_ab. Выполнение всех этих требований подтверждает правильность расчетов. Обратите внимание на направление стрелок напряжения на схемах от первого индекса ко второму (например, для U_ab от a к b) и на потенциальной диаграмме от второго индекса к первому (от b к a).

Задание для самостоятельного решения:

Найти напряжение U_cd, если E=10 В. Построить векторную диаграмму.

Вариант	1	2	3	4
Параметры элементов, Ом	XC=10 XL=5√3 R1=5 R2=10√3	XC=10 √3 XL=5 R1=5√3 R2=10	XC=20 XL=10 R1=10√3 R2=20√3	XC=10 XL=20 R1=20√3 R2=10√3

Вариант выбирается по номеру в журнале:

1,5,9,13 – Вариант 1

2,6,10,14 – Вариант 2

3,7,11,15 – Вариант 3

4,8,12,16 –Вариант 4