Документ: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011, страницы 181-185

Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Смотрите также:

ческая сумма для эффективной энергии Еэф, правый – лучевая полиэнергетическая сумма, полученнаянареальномтомографе.

Большую сложность при задании требований при проектировании компьютерного томографа вызывает определение заданной интенсивности источника излучения, которое было бы достаточное для получения качественного изображения томограммы.

Сложность в определении заданной интенсивности источника излучения заключается во взаимоисключении (противоречии) многих параметров томографа. С одной стороны, интенсивность излучения должна быть высокой, чтобы квантовая ошибка детектирования выходной интенсивности после объекта исследования диаметром 15– 48 см (Н2О) была не более 1 % (было бы лучше, если она была равна долям процента) и время сканирования (получение одной томограммы) было бы минимальным (не более 6 с).

С другой стороны, интенсивность источника ограничивается допустимой дозой на пациента (не более 3,5–4 рад на одну томограмму, «слой»), что определяет жесткие требования к системе детектирования, которая должна обладать одновременно взаимоисключающими параметрами: высокой чувствительностью, высокой квантовой эффективностью, малой апертурой (шириной входного окна) высокими коллимационными свойствами единичных детекторов и т. д., определяемых пространственное разрешение и разрешение по плотности.

Например, увеличение пространственного разрешения требует уменьшения апертуры ширины (входного окна) единичного детектора, что в свою очередь уменьшит выходной сигнал с детектора и, как следствие этого, уменьшит соотношение сигнал/шум, что приведет к уменьшению разрешения по плотности. Для компенсации этого, необходимо будет увеличивать интенсивность источника, что может привести к недопустимому увеличению дозы на пациента. Другой путь компенсации – увеличение чувствительности и квантовой эффективности детектора, что не всегда возможно по физическим и техническим причинам рабочего тела детектора.

Таким образом, определение интенсивности источника излучения, которая является функцией от квантового шума, чувствительности и квантовой эффективности детектора, чувствительности

181

электронной системы сбора данных, апертуры детектора, дозы облучения пациента, является итерационным процессом в выборе выше названных параметров.

2.4.2. Общие требования к погрешности проекционных данных и алгоритмам реконструкции томограмм

Оценим из самых общих соображений томографического процесса требования к погрешности проекционных данных и к погрешности реконструируемой томограммы.

Как известно из пп. 2.1 и 2.2, для моноэнергетического коллимированного луча рентгеновского излучения проекция определяется как

P (l, θ) = ln

n0

,

(2.135)

x	nx

где п0 – число фотонов, измеренное в отсутствии исследуемого объекта; пх – число фотонов, измеренное за исследуемым объектом в направлении l, θ.

Статистические флюктуации измеряемых величин п0, пх описываются распределением Пуассона и вносят погрешности в оценку точных проекций. Дисперсия (квадрат среднего квадратического отклонения (СКО)) определяется выражением

σ2 {Px(l, θ)} = σ2 {ln n	} + σ2 {ln n	x	}.	(2.136)
0		x

Учитывая, что среднее измеряемое число фотонов n0 сущест-

венно выше nx , а само nx достаточно велико, из (2.135) имеем

	d(ln			) 2
			n x
σ{Px (l, θ)} ≈			n x		σ2 {nx} =



		dnx
		dnx

1 . (2.137)

nx

Учитывая, что функция восстановления изображения, как это показано в п. 2.3, является линейным оператором, измеренные проекции Рх(l, θ) можно представить как сумму точных проекций Р(l, θ) и шумовой составляющей Рш(l, θ) со средним, равным нулю, и дисперсией, определяемой (2.137)

182

В результате реконструкции изображение согласно (2.138) восстановится с погрешностями двумерного распределения линейно-

го коэффициента ослабления μш (x, y) :
μш (x, y) = μ(x, y) + Δμ(x, y) ,	(2.139)

где μ(x, y) – точное значение линейного коэффициента ослабления; Δμ(x, y) – шумовая составляющая μ(x, y) .

Математическое ожидание реконструируемой томограммы равно незашумленной структуре линейного коэффициента ослабления,

которая была бы восстановлена по точным проекциям P(l, θ) : μш (x, y) = μ(x, y) , а квадрат СКО – от этого среднего в предполо-

жении отсутствия корреляции шумов в различных проекциях распределится в виде

π

+∞

K (l

σ2 {μ (x, y)} = σ2 {Δμ(x, y)} = σ2

dθ

∫

−l ') P (l, θ)dl =

ш

∫

ш

0

−∞

πΔl 2 M −1 N −1

K (l −l ')

2

=

∑ ∑

,

(2.140)

M

m = 0 n = 0 nx (n l, m Δθ)

где М – число ракурсов; N – число единичных детекторов (количе-

ство отсчетов); Δθ = π M – единичный ракурс;

l –

единичный

отсчет, l = DN , где D – диаметр однородного фантома.

Формула (2.140) получается при замене интегралов суммами. Если взять наихудший вариант, т.е. СКО в центре однородного

фантома, обладающего круговой симметрией, то согласно (2.140)

σ2 (μ) = σ2 {μш (0,0)} =	π2 l	+∞	K (l −l ')	2
		∫			dl ,	(2.141)


	M nx (0,0)

−∞

или на основании теоремы Парсеваля:

183

	2		π2	l	+νcp	2
σ		(μ) =			∫	\| H (ν) \|	dν,	(2.142)

			M nx
			M nx		−νcp

где νcp =1/ (2 l) – частота «среза», H (ν) – одномерное преобра-

зование Фурье K (l −l ') .

Из (2.114, 2.116') следует, что

H (ν) =

ν

rect

,

(2.143)

2ν

ср

1, при

Z

≤1 2

где

rect (Z ) =

0, при

Z

>1 2.

Подставляя (2.143) в (2.142) и принимая относительную погрешность δ(μ) = σ(μ)μ, квадрат относительной погрешности будет выражен в виде

δ2 (μ) =		π			,	(2.144)
	6 M0 N (	μΔl )2		(0,0)
			nx

где M0 = 2M π N , N = D l = 2νср D

Среднее число фотонов, которое необходимо регистрировать на каждый отсчет проекции (каждым единичным детектором) для обеспечения заданной относительной величины СКО в реконструируемой томограмме может быть определено из (2.144) как

С помощью (2.137) и (2.145) можно оценить соотношение между относительными величинами квантового шума при эксперимен-

тальной оценке проекций δ(P) = σ(P)μ D и в реконструированной томограмме δ(μ) = σ(μ) / μ :

σ(μ) =		π	N δ(P) .	(2.146)
		6M

	184

При π6M0 ≈ 0,7 (при М0 ≈1) погрешность исходных проекций должна быть меньше примерно в N раз погрешности томограммы. Например, для типичного случая δ(μ) =0,5 %, N =500 погрешность проекций должна не превышать δ(P) ≈ 0,03 %.

Можно оценить погрешность измеряемых исходных («сырых»)

данных, входящих

в проекцию. Учитывая, что

σ(Р) =1

,

nx

σ(Р)

D = δ(Р) ,

σ(nx ) =

, получим

μ

nx

δ(nx ) =

σ

(nx )

= (

D)δ(Р) .

(2.147)

μ

nx

При μ D 1 требования к погрешности измеряемых исходных данных более «мягкие», чем требования к погрешности проекций. Например, для приведенного выше примера при δ(P) ≈ 0,03 %, диаметре однородного водного фантома D = 30 см, μ =0,2 1/см погрешность измеряемых исходных данных не должна превышать δ(nx ) ≤ 0,18 %. При этом единичный детектор должен регистриро-

вать при μ l = 0,03 среднее число фотонов (2.145) не менее nx = 4,6 104 , а источник излучения в направлении единичного де-


тектора должен излучать не менее				=			eμD =1,7 107	квантов
тектора должен излучать не менее			n	=	n	x	eμD =1,7 107	квантов
0						x
при D = 30 см и		=0,2 1/см.
при D = 30 см и	μ	=0,2 1/см.

Основной проблемой при построении алгоритмов реконструкции изображения является определение устойчивого решения основного уравнения компьютерной томографии (2.108). Физически неустойчивость может проявляться таким образом, что при незначительных погрешностях проекций погрешность томограммы будет изменяться (в том числе от томограммы к томограмме) в значительных диапазонах, нежели, как это показано выше.

Основная задача в поиске устойчивого алгоритма – это нахождение такой функции ядра уравнения томографии, которая бы обеспечивала фильтрацию (подавление) высоких частот. Обычно

185

Px (l, θ) = P(l, θ) + Pш (l, θ),