Мощным инструментом анализа и синтеза нелинейных систем управления является метод функций Ляпунова. Этот метод связан с построением специальных функций, по характеру поведения которых исследуются свойства устойчивости. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления. Значение этого метода далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной нелинейной системы автоматического управления позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение. К таким задачам относятся: оценки изменения регулируемой величины, оценка времени протекания переходного процесса, оценка критериев качества регулирования и т.д.
С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т.е. многообразие всех допустимых по устойчивости начальных возмущений, получить оценку влияния постоянно действующих возмущений. Знание функции Ляпунова позволяет решать задачи устойчивости в «большом», то есть оценивать область начальных возмущений, при которых движения системы не выходят с течением времени за пределы заданной заранее области. С помощью функций Ляпунова можно решать также проблему существования или отсутствия периодических решений. Функции Ляпунова широко используются и в теории оптимального управления.
К недостаткам метода функций Ляпунова можно отнести то, что в настоящее время нет каких-либо универсальных приемов построения функций Ляпунова для нелинейных систем общего вида. Имеется лишь ряд методов интуитивного плана, которые позволяют найти функцию Ляпунова для отдельных случаев нелинейных систем, например, метод деления переменных, предложенный Е.А. Барбашиным.
В заключение еще раз отметим, что выбор того или иного метода зависит от постановки задачи исследования, вида нелинейности и порядка дифференциального уравнения, описывающего систему.
ГЛАВА 2. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ЗОНД КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ
2.1 Математическая модель температурного зонда
Фактически зонд, показанный на рис. 1, представляет собой перевернутый маятник, положение которого изменяется путем перемещения точки опоры. Поэтому в качестве математической модели можно использовать модель перевернутого маятника [4].
Этот маятник показан на рис. 2
Рисунок 2 - Тележка с перевернутым маятником
Ось маятника монтируется на тележке, которая может перемещаться в горизонтальном направлении. Тележка приводится в движение небольшим мотором, который в момент времени t прикладывает к тележке силу u(t), являющуюся входным управляющим воздействием системы. На рис. 3 представлены силы и перемещения. Движения тележки, показанной на рис. 3, очевидно эквивалентны перемещениям шарнира с зондом, который показан на рис. 1.
В момент времени t перемещение оси характеризуется функцией s(t), а угловое отклонение маятника - функцией ??t?. Масса маятника обозначается буквой m, L - расстояние между осью и центром тяжести, J - момент инерции относительно центра тяжести и M - масса тележки. К маятнику приложена сила mg в центре тяжести, а также горизонтальная H(t) и вертикальная V(t) силы реакции у оси маятника. Здесь g - ускорение силы тяжести.
Рисунок 3 - Перевернутый маятник: силы и перемещения.
Для системы справедливы следующие уравнения:
(9)
(11)
где
(12)
Эта величина называется эффективной длиной маятника, так как движение математического маятника длиной описывается уравнением (11) [4].
Запишем полученную математическую модель (9), (11) в форме Коши. Для этого произведем следующую замену:
, , и .(13)
Подставим (13) в уравнения (10), (11), получим:
(14)
(15)
Представим уравнения (14), (15) в виде системы уравнений:
(16)
Путем соответствующих подстановок получим:
(17)
Введем следующие коэффициенты:
(18)
С помощью (18) преобразуем систему уравнений (17) к следующему виду:
. (19)
Система уравнений (19) представляет собой математическую модель перевернутого маятника (рис. 2), а также зонда (рис. 1), используемого для контроля свода нагревательной печи. Уравнения (19) - это модель в форме Коши, т.е. модель в переменных состояния.
Здесь - угловое отклонение зонда, - угловая скорость зонда, - перемещение оси зонда, - скорость перемещения оси.
- сила, с которой приводится в движение каретка, на которой расположен зонд (рис. 1).
Полученная математическая модель является сложной нелинейной моделью. Для того чтобы получить возможность решать задачу синтеза регуляторов и других элементов нелинейных систем управления по аналогии с методами синтеза линейных систем представим полученную математическую модель (19) в квазилинейной форме.
С этой целью преобразуем второе уравнение системы (19):
, (20)
как функцию:
(21)
.(22)
Тогда выражение (20) примет следующий вид:
. (23)
Таким образом, система нелинейных уравнений (19) в квазилинейном представлении (23) выглядит следующим образом:
, (24)
Где
, (25)
Выражение (24) представляет собой квазилинейную систему, которая является точным представлением исходных нелинейных уравнений (19).
2.2 Полиномиальный метод синтеза нелинейных систем управления
Уравнения в переменных состояния управляемых нелинейных объектов широкого класса могут быть представлены в форме Коши, аналогичной линейному случаю, но с функциональными матрицами. Управление для таких объектов обычно ищется с помощью функций Ляпунова в виде квадратичных форм. Однако для получения конструктивных результатов функция Ляпунова, ее производная или искомое управление должны в какой-то мере отражать структуру заданного объекта [5].
С этой целью в ранних работах предлагалось определенным образом модифицировать постоянную матрицу квадратичной формы функции Ляпунова. В работе [6] строится специальная система неравенств, решение которой с учетом функциональной матрицы объекта позволяет при выполнении некоторых условий найти стабилизирующее управление, обеспечивающее устойчивость положения равновесия замкнутой системы. Однако условия достижимости устойчивости имеют здесь неявную форму.
Рассмотрим более подробно аналитическую процедуру полиномиального метода синтеза стабилизирующих управлений.
Полиномиальный метод синтеза нелинейных систем управления базируется на следующем положении: для экспоненциальной устойчивости в целом нулевого положения равновесия нелинейной системы, допускающей квазилинейное представление, достаточно, чтобы характеристический полином специальной матрицы имел постоянные коэффициенты и был гурвицевым [7].
Метод нелинейных преобразований переменных состояния, входных воздействий (управлений) или выходов системы часто позволяет найти аналитическое решение задачи синтеза нелинейной системы управления. Наиболее эффективен этот подход в случае систем, допускающих квазилинейное представление их уравнений, и при использовании нелинейного аналога матрицы управляемости. С помощью этого аналога решение задачи синтеза сводится к решению алгебраической системы уравнений.
Рассмотрим нелинейную управляемую систему, которая описывается уравнением
, (26)
где - доступный измерению вектор состояния системы; - вектор-функция, причем
, , (27)
при . Здесь - некоторая область пространства Rn. В этих условиях уравнение (26) допускает квазилинейное представление
, (28)
где и - функциональные n-вектор и n x n- матрица, Т - символ транспонирования [7].
Задача синтеза управления , обеспечивающего асимптотическую устойчивость положения равновесия х = 0 замкнутой системы (26), или (28) в области , заключается в выполнении следующих условий.
Управление ищется в виде , где . Поэтому с учетом (28) уравнение системы (26) принимает вид
, (29)
Итак, необходимо найти вектор l(x) из (29), при котором
, (30)
где - решение системы (26), (28) или (29); ; - некоторые положительные постоянные. Здесь , а область такова, что при всех и решение .
Условия устойчивости квазилинейных систем. Пусть в уравнении (29) матрица L(x) полностью определена и существует вектор .
Пусть также - матрица, столбцы которой определены соотношениями:
, (31)
Производные по времени в (31) определяются на траекториях системы (29). Условия устойчивости положения равновесия x = 0 этой системы определяются теоремой и следствием теоремы приведенными в [7]. В соответствии с этой теоремой для исследования устойчивости нелинейных систем типа (29) необходимо построить по (31) матрицу HL(x). Если она невырожденная и ограничена в некоторой области, охватывающей точку x = 0, то по равенству
(32)
строится матрица и определяется ее характеристический полином . Область , в которой будут выполняться условия теоремы, будет являться областью притяжения положения равновесия x = 0.
Процедура синтеза. Для этого, согласно [7], определяем полиномы:
, (33)
, (34)
где, , ,…, . Пусть
(35)
- желаемый Гурвицев полином. На основе полиномов (33)-(35) составляем систему
, (36)
где , .
В (36) аргументы нелинейных функций из выражений (33), (34) опущены. Если алгебраическая система уравнений (36) имеет решение l(x), зависящее только от вектора x, то при этом l(x) решение системы (31) удовлетворяет (28) в некоторой [7].
2.3 Синтез нелинейного управления температурным зондом
Задача синтеза, возникающая при проектировании системы автоматического регулирования, заключается в таком выборе структурной схемы системы и технических средств ее реализации, при котором обеспечиваются требуемые динамические и эксплуатационные свойства всей системы в целом. В процессе синтеза рассматриваются задачи выбора и расчета параметров специальных корректирующих устройств, обеспечивающих заданные статические и динамические характеристики системы. При этом предполагается, что основные функциональные элементы системы (исполнительные, усилительные и измерительные устройства) уже выбраны в соответствии с техническим заданием и вместе с объектом регулирования представляют собой неизменяемую часть системы. Такая задача чаще всего возникает при проектировании систем автоматического управления различного рода техническими процессами [8].
Система автоматического управления и регулирования представляет собой совокупность объекта управления и управляющего устройства, связанных между собой определенным образом. Назначение системы автоматического управления и регулирования состоит в обеспечении с возможно большей точностью определенной, заранее предписанной взаимосвязи управляемых величин с задающими воздействиями, более полном подавлении влияния возмущающих воздействий и помех, если они имеются [8].
Реальные системы не могут обеспечить требуемую взаимосвязь абсолютно точно, так как не все управляемые величины могут быть измерены. Процесс управления в системе осуществляется посредством управляющих воздействий (управлений), которые автоматически (без участия человека) вырабатываются в управляющем устройстве. Управления формируются на основе результатов измерения выходных и других величин, которые образуют совокупность наблюдаемых величин [9].
Таким образом, с целью обеспечения желаемого функционирования объекта регулирования, необходимо произвести синтез управляющего воздействия, т.е. воздействия оказываемого со стороны регулятора на зонд.
Перед тем, как синтезировать управление, необходимо исследовать математическую модель на управляемость. Для этого воспользуемся критерием управляемости Калмана [7].
Согласно данному критерию, объект управления (24) является управляемым, если определитель матрицы не равен нулю:
, . (37)
Для проверки управляемости зонда вычисляются следующие произведения:
,
Далее в соответствии с выражением (37) составляется матрица:
Вычислять определитель матрицы Q(x) удобнее всего при помощи пакета прикладных программ Mathcad. Подставляя численные значения коэффициентов (18), в выражение для матрицы Q(x) и вычисляя определитель, получим следующее выражение:
.
Определитель матрицы Q(x) равен 0 при значении x1 = 1,57. Следовательно, объект (24) является управляемым при .
Т.к. математическая модель зонда (24) - управляемая, то можно приступать к синтезу управляющего воздействия.
Для этого по формулам (33), (34) находим соответствующие полиномы:
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
По уравнениям (39) - (42) составим специальную матрицу V согласно системе уравнений (36).
. (43)
В настоящее время для целей синтеза систем автоматического управления широко используются вычислительные машины, позволяющие производить полные или частичные расчеты, а так же моделирование проектируемой системы. При таком моделировании становится возможным наиболее полно исследовать влияние различных факторов нелинейности, зависимость параметров от времени и т. п.
2.4 Синтез системы управления перемещением зонда
Решения системы уравнений (36) с матрицей (43) удобнее находить с помощью пакета прикладных программ MATLAB [10]. Это объясняется следующим фактом. В приведенной системе уравнений левая часть остается постоянной, меняются только коэффициенты , зависящие от выбора корней желаемого характеристического полинома. Поэтому для решения задачи разрабатывается программа, решающая систему (36) с матрицей (43).