Алгоритм работы разработанной программы приведён на рисунке 4.
Рисунок 4 - Алгоритм синтеза управления
Поясним работу алгоритма. В блоке ВВОД производится ввод корней желаемого характеристического полинома (35). Благодаря программной реализации процедуры синтеза, можно для разных находить разные решения системы уравнений (36), описывающей тепловой зонд.
Далее, согласно представленному алгоритму, вычисляются коэффициенты полинома и строится полином (33). Вычисляется матрица N по формуле . Так как А(p) и D(p) полиномы 4-ой степени, т.е. имеют по пять коэффициентов, а матрица N должна быть 4-ой размерности, то необходимо взять первые четыре коэффициента, начиная с 0-ой степени и заканчивая 3-ей степенью. Причем, матрица N составляется, начиная с . Следующим действием является запись специальной матрицы (43). После этого вычисляется вектор L, который является решением системы уравнений (36), (43). На основании полученной матрицы, составляется управление u и система уравнений замкнутой системы, решением которой является управляемая переменная у.
В блоке ВЫВОД производится вывод управления u и графика управляемой переменной y.
Полученная в результате работы данной программы система управления исследуется путём моделирования. При этом оценивается устойчивость синтезированной системы управления зондом, а также длительность переходного процесса и его характер. Для этого строится график переходного процесс при единичном ступенчатом воздействии. На основе полученного графика, определяется время регулирования и характер переходного процесса. Если время регулирования меньше или равно заданному, то на этом процедура заканчивается. Если же оно больше - то мы возвращаемся в начало программы и подбираем другие корни характеристического полинома.
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
3.1 Модель замкнутой системы
Согласно [4] коэффициенты в модели зонда (19) имеют следующие численные значения:
(44)
Учитывая (44), запишем систему уравнений ОУ (19) и закон управления, полученный методом полиномиального синтеза с помощью пакета прикладных программ MATLAB в следующем виде:
(45)
(46)
Система уравнений (45) и уравнение (46) представляют собой замкнутую систему стабилизации положения руки робота.
3.2 Качество процессов управления
Понятие качества процесса управления объединяет различные характеристики качественных сторон процессов, протекающих в системе управления. Количественные характеристики этих же процессов называются показателями качества. Именно в терминах показателей качества сравниваются системы автоматического управления и формулируются требования, предъявляемые к ним [13].
В различных условиях работы системы управления ее качество характеризуется (определяется) различной совокупностью показателей, однако среди них всегда должен быть показатель, характеризующий устойчивость. Кроме этого, обычно требуется, чтобы система осуществляла управление достаточно быстро, плавно, точно и т.д. Для того чтобы оценить эти и другие качественные характеристики процесса, вводятся показатели качества - их численные эквиваленты. При этом процесс в системе разделяется по времени на переходный процесс и установившийся режим, для каждого из которых вводятся различные показатели качества [13].
Переходный процесс соответствует моментам времени, когда система переходит от одного установившегося режима к другому. Теоретически переходные процессы в нелинейных системах длятся бесконечно долго. Однако на практике оперируют с конечным временем переходного процесса (временем регулирования) tp. Эта величина является одним из важнейших показателей качества систем автоматического управления. Те свойства системы, от которых зависит характер переходного процесса (быстрота, плавность, колебательность и т.д.), называются динамическими или динамикой системы.
Говорят, что показатели качества в переходном режиме характеризуют динамику данной системы.
По окончании переходного процесса начинается установившийся режим. Главными показателями качества здесь являются точностные. Именно в этом режиме объект управления должен совершать то желаемое или программное движение, ради достижения которого и создается система управления.
3.3 Описание программы моделирования
Моделирование будем проводить с помощью интерактивной системы MATLAB версии 6.5, которая позволяет решать различные задачи, связанные с техническими вычислениями, особенно в которых используются матрицы и вектора, в несколько раз быстрее, чем при написании программ с использованием «скалярных» языков программирования, таких как Си или Фортран. Кроме того, данная программа была выбрана из условия, что в ней наилучшим образом реализован процесс интегрирования функций методом Рунге-Кутта 4-го порядка от непрерывных дифференциальных уравнений второй степени [10].
Процесс моделирования заключается в численном интегрировании замкнутой системы уравнений (45)-(46). Для этого используется функция ode45, основным методом интегрирования которой является метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Величина шага интегрирования контролируется методом Рунге-Кутта 5-го порядка.
Для моделирования используется следующий алгоритм:
1. Создается M-файл сценарий
2. Загружается список переменных, используемых в данной программе.
3. Вводится вектор начальных значений x0[].
4. Вызывается функция интегрирования ode45.
5. Устанавливаются параметры функции ode45.
5.1 имя функции - строка символов, представляющая собой имя М-файла, в котором вычисляются правые части системы дифференциальных уравнений (45)
5.2 x0 - вектор начальных значений переменных состояния
5.3 [t0 tfinal] - вектор строка содержащая два значения: t0 - начальное значение аргумента и tfinal - конечное
6. Строятся графики переходных характеристик замкнутой системы. Для этого используются функции plot и grid on.
7. Создается M - файл процедуры
8. Вводится строка заголовка
8.1. Указываются имя процедуры, перечень входных величин, перечень выходных величин
9. Вводится функция, которую необходимо интегрировать
10. Сохраняется M-файл под именем процедуры
Есть две разновидности M- файлов - это так называемые файлы-сценарии и файлы-процедуры. В виде файлов-сценариев оформляют основные программы, управляющие от начала до конца организацией всего вычислительного процесса. Как файлы-процедуры оформляются отдельные процедуры и функции, то есть те части программы, которые рассчитана на неоднократное использование файлами-сценариями при измененных значениях исходных параметров и не могут быть выполнены, если предварительно не задать значения переменных, называемых входными. Главным отличием кода этих двух видов M-файлов является то, что файлы-процедуры имеют первую строку вида
Function <ПКВ>=<имя_процедуры>(<ПВВ>)
Здесь ПКВ - перечень выходных величин; ПВВ - перечень входных величин. Файлы-сценарии такой строки не имеют.
В файлах-процедурах все имена переменных, находящиеся внутри файла, а также имена указанные в заголовке (ПКВ и ПВВ), воспринимаются как локальные, то есть все значения этих переменных после завершения работы процедуры исчезают, и область оперативной памяти, которая была отведена под их запись, освобождается для значений других переменных.
В файлах-сценариях все используемые переменные образуют так называемое рабочее пространство (Work Space). Значения переменных сохраняются не только во время работы программы, но и на протяжении всего сеанса работы с системой, а значит, и при переходе от выполнения одного файла-сценария к выполнению другого.
Для наглядности каждый график переходной характеристики строится в отдельном окне (figure()). Размеры осей устанавливаются автоматически в ходе выполнения операции интегрирования. Шаг интегрирования можно задавать, но удобнее использовать автоматический выбор шага интегрирования [10].
3.4. Исследование замкнутой системы
Проведем исследование замкнутой системы управления движениями теплового зонда (45) - (46). В качестве начальных условий возьмем следующий вектор переменных состояния x0=[0.1 0 0 0].
Моделирование проводилось для различных значений корней характеристического полинома pi.Требуемое качество процесса управления - длительность переходного процесса tp. не более 1,5 с, достигается при следующих значениях pi: для
Рисунок 5 - Переходная характеристика углового отклонения зонда
Рисунок 6 - Переходная характеристика угловой скорости зонда
Рисунок 7 - Переходная характеристика горизонтального перемещения оси зонда
Рисунок 8 - Переходная характеристика скорости перемещения оси зонда
В процессе исследования системы стабилизации руки манипулятора принимались различные значения корней желаемого характеристического полинома с целью получения различных переходных характеристик. Ниже представлены некоторых из них.
Для , т.е. при увеличении значений корней длительность переходного процесса значительно увеличивается, но уменьшается амплитуда колебаний переходных характеристик углового отклонения зонда и угловой скорости зонда, в то время как амплитуда переходных характеристик перемещения оси зонда и скорости перемещения оси наоборот увеличивается (см. рис.9-рис.12). Т.к. требуемым показателем качества все-таки является длительность переходного процесса, то лучшими считаются те значения pi, при которых обеспечивается необходимая длительность.
Рисунок 9 - Переходная характеристика углового отклонения зонда
Рисунок 10 - Переходная характеристика угловой скорости зонда
Рисунок 11 - Переходная характеристика горизонтального перемещения оси зонд
Рисунок 12 -. Переходная характеристика скорости перемещения оси зонда
Если выбирать разные корни желаемого характеристического полинома, то получаются следующие результаты:
При , , , графики переходных процессов координат пространства состояний будут иметь следующий вид:
Рисунок 13 - Переходная характеристика углового отклонения зонда
Рисунок 14 - Переходная характеристика угловой скорости зонда
Рисунок 15 - Переходная характеристика горизонтального перемещения оси зонда
Рисунок 16 - Переходная характеристика скорости перемещения оси зонда
Согласно рис. 13 - 16 длительность переходного процесса также не соответствует заданной длительности.
Таким образом, в результате исследования замкнутой системы (45) - (46), были выбраны значения корней pi равные . Синтезированная система стабилизации положения зонда в этом случае является асимптотически устойчивой и длительность переходного процесса не превышает 1,5 с.
ГЛАВА 4. РЕАЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ
4.1 Описание алгоритма вычисления управления
Для синтеза управляющего воздействия применялся полиномиальный метод синтеза [7]. Процедура этого метода заключается в следующем:
1. Задаются
2. Задается полином
3. Вычисляется полином A(p,x) = det(pE-A)
4. Вычисляется разность полиномов D(p) - A(p, x) =и по этой разности определяются коэффициенты , необходимы в дальнейших вычислениях
5. Вычисляются
6. Из коэффициентов полиномов v составляется матрица V, имеющая размерность 4х4.
7. Составляется система уравнений:
8. Находится решение этой системы L
9. Задается управление в виде:
10. Конец
Т.к. система стабилизации положения руки манипулятора была синтезирована с помощью пакета прикладных программ MATLAB, то представим алгоритм программы синтеза.
Рисунок 17 - Алгоритм программы синтеза управления
С помощью представленной программы было вычислено следующее управление, стабилизирующее положение зонда:
Т.к. полученное выражение очень громоздкое, то упростим его, введя следующие обозначения:
С учетом введенных обозначений управление примет вид:
(48)
Вычисление значений управления на основе упрощенного выражения (48) осуществляется с помощью микропроцессорного устройства управления, период работы которого настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Перейдем к выбору его элементов.
4.2 Выбор элементов устройства управления
Для реализации устройства управления, необходимо подобрать модули устройства управления, предназначенного для стабилизации положения руки манипулятора. Для этого зададимся необходимыми параметрами:
Диапазон измерения угла отклонения от положения равновесия:
точность поддержания:
.
Коэффициент передачи между выходом ЦАП и выходом ОУ составляет:
.
Для выбора датчика и АЦП необходимо задать - долю общей погрешности, приходящейся на датчик, и - долю общей погрешности, приходящейся на АЦП так, чтобы произведение располагалось в диапазоне
. (1)
В частности, чем меньше будет , тем точнее, но и дороже, будет датчик, а чем меньше будет , тем с большей разрядной сеткой потребуется АЦП. В связи с этим примем и , что удовлетворяет неравенству (1).
Для расчета периода квантования запишем характеристический полином системы:
.
Корни этого уравнения равны:
Выберем период квантования из условия:
.(2)