Реферат: Случайные физические поля и их спектральное представление

Случайные физические поля и их спектральное представление

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Реферат

по дисциплине:

Многомерный анализ обработки сигналов МИИС

Тема:

Случайные физические поля и их спектральное представление

Выполнил: Шабалин К.В.

Студент 5-го курса ВЗФ (ЗО)

Специальность 180304

Санкт-Петербург - 2013 г.

Введение

В морской подводной информационной технике в качестве носителей информации широко используются различные физические поля. Многие из них по ряду причин имеют случайный характер, причем не только поля, образующие помеховый фон, но и поля-сигналы, несущие полезную информацию. По этой причине специалист-разработчик подводной информационной техники вынужден владеть методами математического анализа случайных физических полей и математического моделирования их статистических характеристик.

В структуре любого технического устройства, получающего информацию посредством физического поля, присутствует приемная антенна как преобразователь поля в электрический процесс. В антенне происходит изменение не только физической природы носителя информации, но и его структуры. Вместо поля, функции четырех переменных, им становится процесс - одномерная функция времени. Кроме того, антенна выполняет роль фильтрующего звена, выделяющего сигнал на фоне помехи. Очевидно, что специалист должен владеть методами анализа указанных преобразований и уметь оценивать изменения статических характеристик поля в выходном сигнале антенны.

Пространственная дискретизация полей, происходящая при использовании приемных антенных решеток, и временная дискретизация процессов при их цифровой обработке приводят к необходимости владеть методами математического анализа дискретных выборок из случайных полей и процессов. В основе такого анализа лежит представление выборки в виде одностолбцовой матрицы-вектора, а также использование методов матричной алгебры для получения и анализа статистических характеристик случайных матриц-векторов.

Перечисленные направления подготовки специалистов по подводной информационной технике определили назначение и содержание настоящего учебного пособия. При этом изложение методов анализа случайных полей и дискретных выборок из них, а также преобразований полей приемными антеннами ограничено в пособии рамками корреляционной теории, где рассматриваются только моментные характеристики случайных функций, причем не выше второго порядка. Эти характеристики полностью определяют статистические свойства нормальных случайных полей и выборок из них, а также являются наиболее информативными в полях и процессах, отличных от нормальных.

1. Спектральное представление стационарно-однородных случайных полей

Математическое описание физических процессов и полей функциями времени и пространственных координат во многих случаях оказывается более удобным для анализа и наглядным для понимания, если используется спектральное представление (разложение) сложных функций, т.е. их представление в виде суммы функций элементарных или базовых. Спектральное представление позволяет применять принцип суперпозиции в анализе процессов и полей, а также в анализе их преобразований линейными звеньями информационных систем.

Гармоническим спектральным представлением детерминированной функции времени называют её представление в виде суммы детерминированных временных гармоник. Многомерная функция времени и пространства, описывающая детерминированное физическое поле, также представима суммой детерминированных гармоник, но уже многомерных, пространственно-временных.

Такой же смысл имеет гармоническое спектральное представление случайных функций времени и пространства, описывающих случайные процессы и поля. При этом в качестве элементарных используются случайные временные и пространственно-временные гармоники.

Гармоническое спектральное представление особенно полезно применительно к стационарным процессам и стационарно-однородным полям ввиду того, что случайные гармоники при этом оказываются некоррелированными между собой слагаемыми. Взаимная некоррелированность суммируемых гармоник позволяет распространить принцип суперпозиции на энергетические и корреляционные характеристики стационарно-однородных полей. Обоснованием такой возможности является теорема Винера-Хинчина.

В этой статье показано, как получают формулы гармонического спектрального представления случайных полей и процессов, какой вид имеют эти формулы, какой физический смысл они в себе несут. Для лучшего понимания техники и смысла указанных процедур рассмотрим их первоначально на примере детерминированных процессов и полей.

.1 Одномерные и многомерные гармонические функции

Гармоническая функция времени, периодическая функция одной переменной t, представленная в вещественной тригонометрической форме

характеризуется известными параметрами:

круговой временной частотной  или линейной частотой f;

амплитудами квадратурных составляющих А и В или амплиту¬дой гармоники ;

начальной фазой гармоники;

временным периодом гармоники

Аналогичную структуру и параметры имеет формула пространственной гармонической функции - периодической функции расстояния вдоль прямой линии. Например, гармоническая функция расстояния вдоль оси х имеет вид:

где к - круговая пространственная частота, связанная с пространственным периодом λ соотношением

Такие же функции расстояния можно определить вдоль осей у и z:

Трехмерная пространственная гармоника описывается формулой

Пространственные гармоники (2.5) используются при спектральном представлении статических полей, описываемых функциями только пространственных координат. Для динамических полей необходимы гармонические функции четырех переменных, пространственно-временные гармоники. При этом желательна такая формула четырехмерной гармоники, из которой как частные виды получались бы и пространственная (2.5), и временная (2.1) гармоники. Такая функция может быть определена в четырехмерном пространстве- времени, если в нем ввести ортогональную пространственно- временную систему

В гармоническом спектральном анализе широко используется комплексная экспоненциальная форма представления гармонических функций. Переход от тригонометрической формы к экспоненциальной выполняется при помощи формул Эйлера. Например, для временной гармоники (2.1) используют формулы

Пространственная и пространственно-временная гармоники также записываются в экспоненциальной комплексной форме. Используя формулы Эйлера

1.2 Свойства поля, описываемого пространственно-временной гармоникой

Представление функции, описывающей физическое поле, суммой пространственно-временных гармоник, с физической точки зрения эквивалентно представлению самого физического поля суперпозицией (наложением в пространстве и времени) элементарных полей, описываемых этими гармониками. В связи с этим полезно иметь ясное представление о структуре и динамике изменения элементарного поля.

Наглядное представление о пространственной структуре поля дают поверхности равных значений физического параметра U, характеризующего поле. В гармоническом поле поверхность равных значений - это поверхность равной фазы.

Плоские равнофазовые поверхности поля движутся с той же скоростью, но в направлении, совпадающем с направлением вектора пространственной частоты. Поле с периодической структурой, описываемое функцией

,

называется волновым, поверхности равной фазы в нем - фронтами волн, а скорость Уф - фазовой скоростью волн. Таким образом, формулы

,

описывают поле бегущей плоской гармонической волны, причем в форме (2.16) движение волны имеет направление, совпадающее с направлением вектора пространственной частоты к.

Ввиду особой информативности вектора к относительно свойств поля плоской бегущей гармонической волны он получил название «волновой вектор». Это название мы чаще всего будем использовать в дальнейшем.

.3 Спектральное представление детерминированных полей

По аналогии с процессами, которые могут обладать либо дискретным, либо сплошным частотным спектром, поле так же может быть с дискретным или сплошным пространственно-частотным спектром. В теории волновых полей используется термин «частотно-волновой спектр» поля как синоним спектра пространственно-частотного. Такое название спектра созвучно с названием «волновой вектор

Итак, поле с дискретным частотно-волновым спектром - это поле, образованное суперпозицией конечного числа полей бегущих гармонических плоских волн разных временных и пространственных частот. Математически такое поле описывается конечной суммой пространственно-временных гармоник разных частот и амплитуд и начальных фаз (комплексных амплитуд)

Волновой вектор к можно менять по величине и направлению, внося изменения в любую из его составляющих, поэтому в сумме (2.18) возможна более детальная структуризация, учитывающая изменения отдельных составляющих вектора к

Процесс со сплошным частотным спектром представляют в виде предела суммы бесконечно большого числа гармоник бесконечно малых амплитуд, частоты которых непрерывно заполняют некоторый интервал на частотной оси. Предел такой суммы называется интегралом Фурье. Он и является математической формой спектрального представления процесса со сплошным частотным спектром, то есть имеет место соотношение:

Другая функция одной переменной - функция расстояния вдоль оси х, имеющая сплошной пространственный спектр, представима таким же однократным интегралом Фурье, но по переменной кх - по пространственной частоте

Спектральное представление произвольного поля U (х, у, z, t) как функции четырех переменных может быть получено предельным переходом от конечной суммы (2.19) к бесконечной, т.е. к кратному интегралу Фурье. Однако этот путь громоздок и менее нагляден по сравнению с формальным методом, используемым в спектральной теории полей. Он заключается в последовательном применении однократного интегрального преобразования Фурье к функции U(x,y,z,t) и ее промежуточным (параметрическим) спектрам

Кратный интеграл Фурье (2.27) является математической формой спектрального представления детерминированного поля U(x,y,z,t) со сплошным частотно-волновым спектром. Этот спектр описывается функцией F(kx,ky,kz,ω) которая определяет амплитуду и начальную фазу пространственно-временной гармоники с любым сочетанием четырех составляющих частот.

Компактный вид громоздкой формулы (2.27) достигается бескоординатной векторной формой записи

Физический смысл спектрального представления детерминированного физического поля кратным интегралом Фурье (2.28) очевиден: поле U(t,r) произвольного вида представлено в виде суперпозиции бесконечного числа полей бегущих гармонических плоских волн всех временных и пространственных частот.

Из общих свойств интеграла Фурье следует, что при наличии интегрального преобразования (2.28) существует преобразование, обратное ему. Следовательно, частотно-волновой спектр поля U(t,r) определяется соотношением

где  - элемент объема, выраженный через составляющие вектора г .

1.4 Случайные гармонические функции

При гармоническом спектральном представлении случайных функций в качестве элементарных используют случайные гармоники. Случайная гармоника - это функция, ансамбль реализаций которой представляет собой множество гармонических функций одной и той же частоты, отличающихся друг от друга случайным образом амплитудой и начальной фазой колебаний.

Математическая формула, описывающая случайную гармоническую функцию времени, имеет вид, аналогичный формуле (2.1) для гармоники детерминированной:

однако в этой формуле амплитудные множители А и В - случайные величины. При этом условии формула (2.30) полностью соответствует определению случайной гармоники, так как её амплитуда и начальная фаза  являются случайными величинами, меняющимися от реализации к реализации случайным образом. Заметим, что случайные амплитудные множители А, В, не зависят от времени и координат пространства. Это позволяет с помощью указанных функций описывать стационарные случайные процессы и стационарно-однородные случайные поля. Правда, случайные величины А и В должны для этого обладать дополнительными статистическими свойствами

1.5 Спектральное представление случайного процесса со сплошным частотным спектром

Рассмотрим первоначально вопрос о спектральном представлении случайной функции со сплошным спектром на примере функции одной переменной - случайного процесса £(/). Получим математическую форму такого представления предельным переходом от процесса с дискретным частотным спектром. С этой целью создадим удобную математическую конструкцию, позволяющую наглядно уплотнять на частотной оси гармоники разных частот и искать предел их суммы.

Предельное соотношение (2.37) носит название интеграла Фурье-Стилтьеса.

Более удобной для анализа и для сопоставления с привычным нам интегралом Фурье-Римана является форма записи интеграла Фурье-Стилтьеса, когда суммирование ведется по частотам , а не по номерам частотных интервалов. Чтобы перейти в (2.37) к суммированию по частотам, введем суммарную комплексную амплитуду гармоник, принадлежащих интервалам , как функцию верхней граничной частоты  последнего в сумме интервала .

Предел (2.37) как предел суммы приращений функции на частотах со .

Процедура предельного перехода не изменится с увеличением верхней граничной частоты, в том числе при , поэтому спектральное представление случайного процесса пределом бесконечной суммы случайных гармоник всех частот или интегралом Фурье- Стилтьеса принимает окончательный вид