Реферат: Случайные физические поля и их спектральное представление

где - случайная комплексная амплитуда гармоники частотой .

Заметим, что интеграл Стилтьеса (2.41) переходит в интеграл Римана, если функция  дифференцируема, т.е. имеет в каждой точке производную :

В этом случае между функциями имеет место соотношение спектральный частотный случайный поле

поэтому можно назвать интегральным спектром функции .

В теории случайных функций доказывается, что функция, значения которой получены суммированием большого числа взаимно некоррелированных случайных величин, недифференцируема. В нашем случае функция частоты получается суммированием большого числа случайных амплитуд, и эти амплитуды оказываются взаимно некоррелированными, если формируемый суммированием гармоник случайный процесс стационарен.

Из всего этого следует, что интеграл Фурье-Римана не может быть использован для спектрального представления стационарного случайного процесса ввиду недифференцируемости функции  Интеграл Стилтьеса как сумма приращений любой функции, в том числе недифференцируемой, оказывается единственно применимой интегральной формой спектрального представления стационарных случайных функций.

Этот вывод справедлив и для однородных, и для стационарно-однородных случайных полей, так как однородность - это стационарность применительно к функциям пространственных координат. Стационарные и стационарно-однородные модели полей широко используются в прикладном анализе, поэтому будем в дальнейшем использовать для спектрального представления случайных функций ин¬тегралы Фурье-Стильтьеса вида (2.41).

.6 Спектральное представление случайного поля со сплошным частотно-волновым спектром

Интегральная форма спектрального представления случайного поля может быть получена таким же формализованным методом, какой был использован при спектральном представлении детерминированного поля. Только теперь придется использовать цепочку интегральных преобразований Фурье-Стилтьеса.

где  - обозначение приращения функции по трем составляющим вектора .

Кратный интеграл Фурье-Стилтьеса (2.50) называется стохастическим (случайным) и является математической формой спектрального представления случайного поля со сплошным частотно-волновым спектром. Подынтегральная функция  описывает случайное поле бегущей плоской гармонической волны с детерминированной текущей фазой и случайной амплитудой  При этом случайная амплитуда волны представлена в виде приращения многомерной функции по всем переменным.

Физическая трактовка равенства (2.50) такая же, как и в случае детерминированного поля: случайное поле произвольного вида представлено в виде суперпозиции полей случайных гармонических бегущих плоских волн всех временных и пространственных частот.

1.7 Условия стационарности случайного процесса, представленного в спектральной форме. Спектр мощности стационарного процесса

Спектральное представление случайного процесса стохастическим интегралом Фурье-Стилтьеса (2.41) позволяет получить формулу спектрального представления моментных характеристик процесса, что более важно для практических приложений. Эти формулы оказываются наиболее простыми, если случайный процесс стационарен.

Признаки стационарности случайного процесса в рамках корреляционной теории такие же, как и для стационарного случайного поля (параграф 1.4), т.е. математическое ожидание и дисперсия процесса не зависят от времени:

А автокорреляция зависит только от разности времен отсчета

формула спектрального представления дисперсии стационарного случайного процесса (2.41) интегралом Римана:

где  по размерности и физическому смыслу является частотной плотностью дисперсии и называется «частотной плотностью мощности», или «частотным спектром мощности» стационарного случайного процесса , представленного интегралом Фурье-Стильтьеса (2.41).

Заметим, что значение - это дисперсия амплитуды случайной гармоники частотой  - одного из «кирпичиков», образующих процесс . Мы выяснили, что гармоники разных частот в стационарном процессе взаимно не коррелированы. Тогда выражение (2.64) является математической формулировкой следствия из теоремы о корреляции суммы взаимно некоррелированных функций, а именно: дисперсия суммы некореллированных гармоник равна сумме дисперсий слагаемых.

Спектр  - четная функция частоты (см. задачу 2.10), поэтому

где использована функция линейной частоты, измеряемой в герцах.

формула для расчета величины дисперсии стационарного процесса, если известен его односторонний частотный спектр мощности.

1.8 Автокорреляция стационарного процесса

Теорема Винера-Хинчина

Как выяснилось в предыдущем параграфе, вторым условием стационарности случайного процесса является взаимная некоррелированность случайных амплитуд гармоник, на которые раскладывается процесс

Представление автокорреляции интегралом Фурье-Римана

Cпектр мощности

Сочетание двух интегральных формул, (2.70) и (2.72), является содержанием теоремы Винераг-Хинчина, которая формулируется следующим образом: «Автокорреляция и спектр мощности стационарного случайного процесса связаны между собой парой интегральных преобразований Фурье».

1.9 Пространственно-временная корреляция и частотно-волновой спектр мощности стационарно-однородного случайного поля. Обобщенная теорема Винера-Хинчина

Приращение функции через производную или частотную плотность дисперсии

Интегральная формула для ПВК стационарно-однородного поля

Два интегральных соотношения, (2.86) и (2.87), составляют содержание обобщенной теории Винера-Хинчина, которая формулируется следующим образом: «Пространственно-временная корреляция и частотно-волновой спектр мощности стационарно-однородного случайного поля связаны парой кратных интегральных преобразований Фурье».

1.10 Соотношения между характеристиками стационарно-однородного ноля

Теорема Винера-Хинчина устанавливает соотношение между двумя наиболее полными, наиболее информативными характеристиками стационарно-однородного случайного поля: между пространственно-временной корреляцией (ПВК) и частотно-волновым спектром (ЧВС). Эти характеристики являются функциями наибольшего числа переменных.

Кроме ПВК и ЧВС в анализе полей используются корреляционные и спектральные характеристики меньшего числа переменных. Прежде всего это пространственная и временная корреляции.

Пространственная корреляция (ПК) поля - это среднее по ансамблю реализаций произведение значений поля, наблюдаемых в двух точках пространства в один и тот же момент времени:

В общем случае ПК зависит от времени, но в стационарно-однородном поле она оказывается зависящей только от разности координат . При этом формула ПК получается из формулы ПВК методом совмещения временных координат. При совмещении моментов времени их разность равна нулю. Полагая в формуле ПВК (2.86) , получаем интегральное выражение для расчета ПК

Аналогично, методом совмещения пространственных координат, т.е. при, получаем из (2.86) интегральное выражение для временной корреляции (ВК) стационарно-однородного поля

Заметим, что одновременным совмещением временных  и пространственных  координат из формулы ПВК получают формулу дисперсии поля (2.80), т.е. имеет место равенство

Частотный спектр мощности (ЧС) стационарно-однородного поля связан с ЧВС интегральным соотношением

Пространственный спектр получается из ЧВС согласно равенству

2. Дополнительные вопросы

2.1    Дайте определение случайной гармонической функции

При гармоническом спектральном представлении случайных функций в качестве элементарных используют случайные гармоники. Случайная гармоника - это функция, ансамбль реализаций которой представляет собой множество гармонических функций одной и той же частоты, отличающихся друг от друга случайным образом амплитудой и начальной фазой колебаний.

Математическая формула, описывающая случайную гармоническую функцию времени, имеет вид, аналогичный формуле (2.1) для гармоники детерминированной:

однако в этой формуле амплитудные множители А и В - случайные величины. При этом условии формула (2.30) полностью соответствует определению случайной гармоники, так как её амплитуда и начальная фаза  являются случайными величинами, меняющимися от реализации к реализации случайным образом. Заметим, что случайные амплитудные множители А, В, не зависят от времени и координат пространства. Это позволяет с помощью указанных функций описывать стационарные случайные процессы и стационарно-однородные случайные поля. Правда, случайные величины А и В должны для этого обладать дополнительными статистическими свойствами

2.2 В чем различие интегральных форм спектрального представления детерминированного и случайного полей со сплошным частотно-волновым спектром?

Интегральная форма спектрального представления случайного поля может быть получена таким же формализованным методом, какой был использован при спектральном представлении детерминированного поля. Только теперь придется использовать цепочку интегральных преобразований Фурье-Стилтьеса.

где  - обозначение приращения функции по трем составляющим вектора .

Кратный интеграл Фурье-Стилтьеса (2.50) называется стохастическим (случайным) и является математической формой спектрального представления случайного поля со сплошным частотно-волновым спектром. Подынтегральная функция  описывает случайное поле бегущей плоской гармонической волны с детерминированной текущей фазой и случайной амплитудой  При этом случайная амплитуда волны представлена в виде приращения многомерной функции по всем переменным.

Физическая трактовка равенства (2.50) такая же, как и в случае детерминированного поля: случайное поле произвольного вида представлено в виде суперпозиции полей случайных гармонических бегущих плоских волн всех временных и пространственных частот.

2.3 При каких условиях случайное поле, образованное суперпозицией полей случайных гармонических плоских волн, будет стационарно-однородным?

Стационарно-однородным называют случайное поле, математическое ожидание и дисперсия которого не зависят от времени и координаты пространства (постоянные величины), а пространственно-временная корреляция зависит только от разности моментов времени и разностного координатного вектора точек отсчета поля. В таком поле имеют место соотношения:

2.4 Сформулируйте обобщенную теорему Винера-Хинчина относительно корреляционной и спектральной характеристик стационарно-однородного случайного поля

Приращение функции через производную или частотную плотность дисперсии

Интегральная формула для пространственно-временной корреляции стационарно-однородного поля

Два интегральных соотношения, (2.86) и (2.87), составляют содержание обобщенной теории Винера-Хинчина, которая формулируется следующим образом: «Пространственно-временная корреляция и частотно-волновой спектр мощности стационарно-однородного случайного поля связаны парой кратных интегральных преобразований I Фурье»

2.5 Перечислите основные корреляционные и спектральные характеристики стационарно-однородного случайного поля

Теорема Винера-Хинчина устанавливает соотношение между двумя наиболее полными, наиболее информативными характеристиками стационарно-однородного случайного поля: между пространственно-временной корреляцией (ПВК) и частотно-волновым спектром (ЧВС).