Материал: СТ2

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная

технологическая академия им. П. А. Соловьева

Кафедра Общей и технической физики

Лаборатория «Статистическая физика и термодинамика»

Утверждено

на заседании методического

семинара кафедры физики

« » _________ 2007 г.

Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ И ТЕРМОДИНАМИКЕ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №CТ-2

Изучение распределения частиц в гравитационном поле Земли

Методическое руководство

разработано доц. Суворовой З.В.

Рецензент Шувалов В.В.

Рыбинск, 2007 г.

УКАЗАНИЯ ПО

ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ

К работе с прибором допускаются лица, ознакомленные с устройством, принципом работы и прошедшие инструкцию по технике безопасности.

Прибор имеет подключение к электрической сети. Соблюдайте формы электробезопасности и требования инструкции №170 по технике безопасности. Не включайте прибор в сеть, пока не ознакомитесь с его конструкцией и основными требованиями к работе с ним.

Цель работы: изучение распределения частиц воды, получаемых методом ультразвуковой кавитации, в гравитационном поле Земли.

1. Краткие теоретические сведения

1.1.Распределение Больцмана

В отсутствие внешних сил средняя концентрация п молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одина­кова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуа­ция становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находяще­гося под действием силы тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается не­которое равновесие, и концентрация молекул становится зави­сящей от высоты. Найдем эту зависимость.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных (кон­сервативных) сил, действующих для простоты в одном направ­лении и зависящих только от координаты z. При тепловом рав­новесии температура Т должна быть одинакова по всей толщи­не газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.

Для определенности будем счи­тать, что силы внешнего поля на­правлены вниз, а ось Z — вверх (рис. 1). Выделим мысленно бес­конечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S = 1). Запишем условие равновесия этого слоя, ис­пользуя гидростатический подход. На слой dz действует направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp < 0), и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля. При равно­весии должно соблюдаться равенство

(1)

где — проекция внешней силы, действующей на каждую мо­лекулу. Заметим, что левая и правая части этого равенства яв­ляются отрицательными.

Из механики известно, что где U — потенциа­льная энергия молекулы во внешнем поле. Поэтому (1) мож­но переписать так:

.

Будем считать газ идеальным, подставим давление из основного уравнения МКТ p = nkT, продифференцировав, получаем dp = dnkT. Тогда

, или

.

Проинтегрировав последнее уравнение, получим .

Будем считать, что и , тогда

(2)

Этот закон и выражает распределение Больцмана.

С помощью распределения Больцмана можно найти число молекул в интересую­щем нас элементарном объеме dV:

При этом следует иметь в виду, что объем dV может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является вы­полнение условия: во всех точках объема dV концентрация n должна быть одинаковой.

Приведенный вывод фор­мулы распределения Больцмана является чисто гидростатическим: в нем мы по сути рассматривали газ как сплошную среду, отвлекаясь от его молекулярной структуры. Это допустимо лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкновений. Не­обходимо, чтобы средний свободный пробег молекул между по­следовательными столкновениями был мал по сравнению с тол­щиной dz слоя. Только в этом случае имеет смысл говорить о давлении, которое действует на слой dz со стороны соседних слоев. И тем не менее приведенный вывод привел к верному ре­зультату.

1.2. Барометрическая формула

Умножив обе части распределения Больцмана на kT, получим со­гласно основному уравнению МКТ, что давление где — молярная масса, R — универсальная газовая постоянная. Это так называемая барометрическая формула. Она строго спра­ведлива для идеального газа, температура которого не зави­сит от высоты (изотермическая атмосфера). На рис. 2 пока­заны два графика зависимости давления от высоты z при разных температурах . Следует обратить внимание на то, что в отличие от распределе­ний n(z), кривые p(z) на рис. 2 начинаются в одной точке независимо от температуры. Это не случайно и имеет простое объяснение .

Рассмотрим, как ведет себя центр масс газа в поле тяжести. При анализе ситуации, изображенной на рис. 2, мы приходим к выводу, что в результате повышения температуры от до центр масс газа перемещается вверх. Возникает вопрос: под действием какой внешней силы? На первый взгляд вроде ниче­го не изменилось — ни сила тяжести, ни сила реакции со сто­роны поверхности Земли (ведь давление осталось прежним). На самом же деле в процессе нагревания газа равновесие нарушается , вторая сила оказывается большей по модулю. Она на­правлена вверх и вызывает перемещение центра масс.

Представим барометрическую формулу в виде , где — это высота, на которой давление убывает в е раз. Значение h играет роль характерной толщины атмосферы. При = 20 г/моль и Т = 280 К величина h = 8 км. По сравнению с радиусом Земли атмосфера — тонкая пленочка (что и позволяет при получении барометрической формулы счи­тать ускорение g не зависящим от высоты).

Из распределения Больцмана возникает следующий «парадокс»: почему в поле тяжести при движении моле­кул вверх их кинетическая энергия уменьшается, а температу­ра остается прежней, т.е. средняя кинетическая энергия не ме­няется, а при движении вниз кинетическая энергия всех моле­кул увеличивается, а средняя их энергия остается той же? Этот «парадокс» был разъяснен уже Максвеллом. При движении вверх молекулы действительно замедляют­ся, но при этом наиболее медленные молекулы выбывают из потока частиц. При движении же вниз, наоборот, молекулы не только ускоряются, но одновременно их поток пополняется бо­лее медленными молекулами. В результате средняя скорость теплового движения молекул остается неизменной. Сила тяже­сти меняет лишь концентрацию молекул на разных высотах, но не температуру газа. И закон распределения Больцмана как раз и выводится из условия, чтобы температура газа оставалась всюду одной и той же.

1.3. Диффузия в газах

Предположим, что в единице объема двухкомпонентной газовой смеси содержится п₁ молекул одного вида и п₂ молекул другого вида. Полное число молекул в единице объема равно п = п₁ + п₂. Отно­шение:

называется относительной концентрацией моле­кул i-го вида.

Допустим, что в направлении оси Z создаются градиенты кон­центраций dc₁/dz и dc₂/dz, причем dc₁/dz = — dc₂/dz (рис. 3). Тогда

так что п, а следовательно, и р постоянны (р = nkT). В этом случае газодинамических потоков не возникает. Однако вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс вы­равнивания концентраций, сопровож­дающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания ее концентрации. Этот процесс носит наз­вание диффузии. Диффузия наблю­дается также в жидких и твердых телах. Поток молекул i-го вида через перпен­дикулярную к оси Z поверхность S оп­ределяется выражением

(3)

где D — коэффициент пропорциональности, называемый коэф­фициентом диффузии. Знак минус указывает, что поток молекул направлен в сторону убывания концентрации. Умножив обе части этого равенства на массу молекулы i-го вида m_i, получим выражение для потока массы i-й компоненты:

(4)

где ρ_i = n_im_i— парциальная плотность i-й компо­ненты; ее называют также абсолютной концентра­цией.

Формулы (3) и (4) представляют собой эмпирические урав­нения диффузии. Их называют также законом Фика.

Получим уравнение диффузии, основываясь на молекулярно-кинетических представлениях, причем для упрощения расчетов будем считать, что молекулы обеих компонент мало отли­чаются по массе (m₁ m₂ m ) и имеют практически одинаковые эффективные сечения (σ₁ σ₂ σ). В этом случае молекулам обеих компонент можно приписывать одинаковую среднюю скорость теп­лового движения , а среднюю длину свободного пробега вычис­лять по формуле

где n = n₁ + n₂.

Пусть изменение концентрации первой компоненты вдоль оси Z задано функцией n₁ = n₁ (z).

Через поверхность S будут пролетать в положительном направ­лении оси Z молекулы, претерпевшие последнее соударение на раз­личных расстояниях от S. Разобьем все пространство слева от S на слои толщины d (рис. 4). Полный по­ток молекул через поверхность S можно получить, просуммировав по­токи, создаваемые молекулами, испы­тавшими последнее соударение в та­ких слоях.

Из слоя толщины d начинают свой полет к поверхности S те мо­лекулы первой компоненты, которые претерпевают в этом слое столкнове­ние с другими молекулами. Их чис­ло равно

где z — координата плоскости S (d/λ есть вероят­ность претерпеть соударение на пути d). Эти молекулы создают через поверхность S (z – )) поток

Из числа молекул, летящих в этом потоке, достигает поверх­ности S без столкновений и, следовательно, проникает в пространство, расположенное справа от S, количество молекул, равное

.

(е^–l/λ есть вероятность того, что молекула пролетает путь без столкновений). Знак «+» при dN₁ указывает на то, что имеются в виду молекулы, летящие в положительном направлении оси z.

Полный поток молекул первой компоненты через поверхность S получим, проинтегрировав это выражение по :

Воспользовавшись быстрым спадом экспоненты и малостью λ, пред­ставим стоящую под знаком интеграла функцию n₁(z – ) в виде