При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности системного оператора снимается. В программном распоряжении системы могут находиться как "прошлые", так и "будущие" значения входных отсчетов, при этом уравнение (1.3) будет иметь вид:
y(k) =bn x(k-n).
При N' = N система называется двусторонней симметричной. Симметричные системы, в отличие от каузальных, не изменяют фазы обрабатываемых сигналов.
Техника выполнения свертки в координатной области не отличается от техники выполнения обычной дискретной свертки двух массивов данных.
Представим, что на одной полоске бумаги выписаны по порядку сверху вниз значения данных x(k). На второй полоске бумаги находятся записанные в обратном порядке значения коэффициентов системы bn. Для вычисления y(k) располагаем вторую полоску против первой таким образом, чтобы значение b0 совпало со значением x(k), перемножаем все значения bn с расположенными против них значениями x(k-n) и суммируем результаты перемножения. Результат суммирования является выходным значением сигнала y(k). Сдвигаем окно системы - полоску коэффициентов bk, на один отсчет последовательности x(k) вниз (по порядку возрастания номеров k) или массив x(k) сдвигаем на отсчет вверх и вычисляем аналогично следующее значение, и т.д.
Описанный процесс свертки в вещественной области массива данных x(k) с нерекурсивным оператором системы bn (массивом весовых коэффициентов системы) обычно называют нерекурсивной цифровой фильтрацией данных, а саму систему, если она выполняет только данную операцию, нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ).
Рис. 1.3. Пример РЦС.
Рекурсивные цифровые системы. Системы, которые описываются полным разностным уравнением (1.2), принято называть рекурсивными цифровыми системами (РЦС) или рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих значений выходного сигнала участвует не только входной сигнал, но и значения выходного сигнала, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные системы называют системами с обратной связью. Пример рекурсивной системы приведен на рис. 1.3.
Рис. 1.4. Техника вычислений в РЦС.
Полное окно рекурсивной системы состоит из двух составляющих: нерекурсивной части bn,, аналогичной окну нерекурсивной системы и ограниченной в работе текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала (при реализации на ЭВМ возможно использование и “будущих” отсчетов сигнала), и рекурсивной части am, которая работает только с "прошлыми", ранее вычисленными значениями выходного сигнала. Техника вычислений для РЦС приведена на рис. 1.4.
Из примера можно видеть, что реакция РЦС на конечный входной сигнал, в принципе, может иметь бесконечную длительность, в отличие от реакции НЦС, которая всегда ограничена количеством членов bk (окном системы).
Стационарные и нестационарные системы. Система считается стационарной и имеет постоянные параметры, если ее свойства (математический алгоритм оператора преобразования) в пределах заданной точности не зависят от входного и выходного сигналов и не изменяются ни во времени, ни от каких-либо других внешних факторов. Математически это означает задание системы уравнениями типа (1.1-2) с постоянными значениями коэффициентов aj и bi и реакция системы на какое-либо воздействие не зависит от времени (координат) его приложения. В противном случае система является нестационарной или параметрической (системой с переменными параметрами). Среди последних большое значение имеют так называемые адаптивные системы обработки данных. В этих системах производится, например, оценивание определенных параметров входных и выходных сигналов, по результатам сравнения которых осуществляется подстройка параметров преобразования (переходной характеристики системы) таким образом, чтобы обеспечить оптимальные по производительности условия обработки сигналов или минимизировать погрешность обработки.
2. Импульсная характеристика системы
Импульсный отклик системы. По определению, импульсными характеристиками систем (второй широко используемый термин - импульсный отклик систем) называются функции h(t) для аналоговых и h(k?t) для цифровых систем, которые является реакцией (откликом) систем на единичные входные сигналы: дельта-функцию ?(t) для аналоговых и импульс Кронекера ?(k?t) для цифровых систем, поступающие на вход систем соответственно при t=0 и k=0. Эта реакция однозначно определяется оператором преобразования:
y(t) = T[?(t)] h(t).
y(k?t) = T[?(k?t)] h(k?t).
Импульсный отклик аналоговой системы, как результат операции над дельта-функцией, в определенной мере представляет собой математическую абстракцию идеального преобразования. С практической точки зрения под импульсным откликом аналоговой системы можно понимать математическое отображение реакции системы на входной сигнал произвольной формы с площадью, равной 1, если длительность сигнала пренебрежимо мала по сравнению со временем реакции системы или с периодом ее собственных колебаний. Под временем (длиной) реакции системы обычно понимают интервал, на котором значения функции h(t) существенно отличаются от нуля после прекращения действия единичного сигнала на ее входе.
Для цифровых систем импульсный отклик однозначно определяется реакцией системы на импульс Кронекера ?(k?t)=1 при k=0. Функцию импульсного отклика называют также весовой функцией системы.
Рис. 2.1. Импульсный отклик системы h(t), входной сигнал s(t) и выходная реакция системы y(t).
На рисунке 2.1 приведен пример импульсного отклика h(t) интегрирующей RC-цепи. При подаче на вход RC-цепи импульса заряда ?q емкость С заряжается до напряжения Vо = ?q/C и начинает разряжаться через сопротивление R, при этом напряжение на ней изменяется по закону v(t) = Voe-t/RC = (?q/C)e-t/RC. Отсюда, отклик RC-цепи по выходному напряжению на входной сигнал ?q = 1: h(t) = (1/C)e-t/RC. По существу, импульсным откликом системы h(t) определяется доля входного сигнала, которая действует на выходе системы по истечении времени t после поступления сигнала на вход (запаздывающая реакция системы).
Реакция системы на произвольный сигнал. Если функция импульсного отклика системы известна, то, с учетом принципа суперпозиции сигналов в линейной системе, можно выполнить расчет реакции системы в любой произвольный момент времени на любое количество входных сигналов с любыми моментами времени их прихода путем суммирования запаздывающих реакций системы на эти входные сигналы, как это показано на рис. 2.1 для трех входных импульсов. В общем случае произвольный сигнал на входе системы может быть разложен в линейную последовательность взвешенных единичных импульсов:
y(t) = T[s(t)] T[s(?)?(t-?) d
На основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла, т.к. последний представляет собой предельное значение суммы. При этом операция преобразования действует только по переменной t: рекурсивный цифровой сигнал импульсный
y(t) =s(?) Т[?(t-?)] d???s(?) h(t-?)d
Это выражение представляет собой интеграл Дюамеля или свертку (конволюцию) входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t-??= ??можно убедиться в том, что эта операция, как и положено свертке, коммутативна:
s(?) h(t-?) d? h(?) s(t-?) d?.
Аналогично, для дискретных сигналов:
y(k?t) =s(n?t) h(k?t-n?t) h(n?t) s(k?t-n?t).
В символической форме математического представления:
y(t) = s() ? h(t-?) s(t-?) ? h() s(t) ? h(t).
В реальных физических системах импульсный отклик h(t) равен нулю при t<0 (реакция на выходе системы не может опережать входной сигнал) и, как правило, отличен от нуля только на определенном интервале r, по которому и ведется интегрирование или суммирование в выражениях свертки. При обработке данных на ЭВМ требований по односторонности импульсного отклика не предъявляется, равно как и по его размерам вперед и назад от нуля по координатам.
Усиление постоянной составляющей сигнала. Подадим на вход системы постоянный сигнал s(t) = A. При этом сигнал на выходе системы:
y(t) = h(?) s(t-?) d? = Аh(?) d????АКпс,
т.е. площадь импульсного отклика (для цифровой системы соответственно сумма коэффициентов импульсного отклика) является коэффициентом Кпс усиления постоянной составляющей входного сигнала. Если при обработке сигналов должны изменяться только динамические характеристики их формы без изменения постоянной составляющей, а равно и различных постоянных уровней (фона, пьедесталов, региональных трендов и т.п.), то площадь импульсного отклика (сумма коэффициентов) должна нормироваться к единице.
Рис. 2.2.
На рис. 2.2 приведен пример выполнения свертки рассмотренной нами выше RC-цепью при нормированной к 1 площади импульсного отклика h(?). Входной сигнал s(t) находится на постоянном фоновом значении, в данном случае - нулевом, при этом, как и следовало ожидать, площадь выходного сигнала y(t) равна площади входного сигнала.
Усиление шумов. Критерием качества системы при использовании любого метода обработки информации можно считать выполнение целевого назначения с минимальным усилением шумов (максимальным их подавлением). Допустим, что система имеет нормированный к 1 импульсный отклик h(k). Обозначим через ?(k) аддитивный шум с математическим ожиданием M{?(k)}= = 0 и дисперсией D?????2, который в сумме с сигналом поступает на вход системы. Значения ?(k) статистически независимы и некоррелированы с сигналом. С учетом помехи во входном сигнале значение сигнала на выходе системы:
y(k) = h(n)[x(k-n)+?(k-n)].
Математическое ожидание значений выходного сигнала:
M{y(k)} = h(n)[x(k-n)+M{?(k-n)}] = h(n) x(k-n).
Вычислим дисперсию распределения отсчетов выходного сигнала:
D{y(k)} = M{[h(n)[x(k-n)+?(k-n)]-M{y(k)}]2} = M{[h(n) ?(k-n)]2}.
Если правую часть последнего выражения представить в виде
M{[h(n) ?(k-n)][ h(m) ?(k-m)]},
то в этом выражении математические ожидания всех членов произведения с сомножителями ?(n)?(m) при n m равны 0 в силу статистической независимости значений шума. Остаются только члены с n = m, т.е.:
M{h2(n)?2(n)} = h2(n) M{?2(n)} = D?? h2(n) = ?2 h2(n).
Отсюда следует, что сумма квадратов значений нормированного импульсного отклика системы представляет собой коэффициент усиления аддитивных шумов во входном сигнале.
Для систем с m входами и n выходами аналогично определяются парциальные импульсные отклики hij(t), i = {1,2, ... ,n}, j = {1,2, ... ,m}, каждым из которых отображается сигнал на i-м выходе при поступлении сигнала ??t) на j-й вход. Полная совокупность импульсных откликов образует матрицу:
,
а выражение свертки приобретает вид:
=d??
Определение импульсной реакции требуется, как правило, для рекурсивных систем, так как импульсная реакция для НЦС специального определения не требует:
h(k) =b(n)?(k-n) b(k).
Если выражение для системы известно в общей форме (1.2), определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях, при этом сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы: y(k) h(k).
Определение импульсной реакции физических систем обычно производится подачей на вход систем ступенчатой функции uo(k) = 1 при k 0, и uo(k) = 0 при k < 0:
g(k) =h(n) uo(k-n) =h(n).
h(k) = g(k) - g(k-1), k=0,1,2,...
Функция g(k) получила название переходной характеристики системы (перехода из одного статического состояния в другое).
3. Передаточные функции цифровых систем
Z-преобразование является удобным методом решения разностных уравнений линейных систем. Применяя z-преобразование к обеим частям равенства (1.2), получаем:
Y(z)amzm = X(z)bnzn,
где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходногосигнала. Из этого выражения, полагая ao = 1, получаем в общей форме функцию связи входа и выхода системы - уравнение передаточной функции системы (или системной функции) в z-области:
H(z) = Y(z)/X(z) =bnzn(1+amzm).
Для нерекурсивных систем при am = 0:
H(z) =bnzn.
При подаче на вход системы единичного импульса Кронекера ?о, имеющего z-образ ?(z) = zn = 1, сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы y(k) = h(k), при этом:
H(z) Y(z) = Y(z)/?(z) = TZ[y(k)] =h(k)zk,
т.е. передаточная функция системы является z-образом ее импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции соответственно получаем импульсную характеристику системы:
h(k) H(z).
Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, как это обычно имеет место для НЦС, то обратное z-преобразование элементарно. Передаточная функция РЦС также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (3.2), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т.е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику. Системы с бесконечной импульсной характеристикой получили название БИХ-систем, с конечной импульсной характеристикой соответственно КИХ-систем. Нерекурсивные системы всегда имеют конечную импульсную характеристику, т.к. длительность импульсной реакции НЦС определяется окном фильтра.