Статья: Статистические квазициклические методы долгосрочного прогнозирования

Известные в настоящее время методы долгосрочного прогнозирования процессов в экономике, метеорологии, сейсмологии, геофизике недостаточно эффективны. Например, активная разработка в течение трех последних декад физических моделей долгосрочных и супердолгосрочных (климатических) прогнозов не привели к существенному прогрессу. До сих пор мы не в состоянии дать определенный ответ на вопрос: будут последующие декады более холодными или теплыми? Аналогичная ситуация имеет место и для прогноза других глобальных геофизических явлений: землетрясений, ураганов, тайфунов, наводнений [1].

Недостаточное доверие к существующим прогностическим службам в Европе, Азии и Америке может быть объяснено следующими обстоятельствами:

а) реальной сложностью детального прогнозирования с помощью существующих моделей, использование которых требует специального математического обеспечения и мощных компьютеров;

б) игнорированием более простых схем, основанных на цикличности экономических, геофизических и др. процессов;

в) недостаточным учетом влияния солнечной активности на земные процессы.

Фактический материал, накопленный за время существования нашей цивилизации, убедительно доказывает, что процессы, происходящие в природе, в жизни человека и в обществе, являются квазициклическими [2-6]. В частности, первые результаты телескопического изучения циклов солнечных пятен (чисел Вольфа, W) позволили установить их связь с климатическими и экономическими последствиями: например, цены на хлеб понижались с ростом числа этих пятен. В прошедшие два столетия стало ясно, что не только температура воздуха, но и другие геофизические изменения связаны с эволюцией чисел W [2]. В этой связи следует также упомянуть исследования о цикличности в биологических явлениях, исторических и социальных процессах [7].

Поэтому вполне естественно при разработке методов долгосрочного прогнозирования учитывать феномен цикличности. Долгое время данные о наблюдаемых циклических явлениях были объектом изучения с помощью детерминированного и спектрально-корреляционного анализа, особенно в гелио- и геофизике, где имелись достаточно длинные статистические ряды. Однако недостаточность этих методов привела к необходимости введения новых идей, которые возникли в неравновесной термодинамике, синергетике, солитонике, теории фракталов [8-12]. В этих областях науки главное внимание уделялось самоорганизации, волномеханическим аналогиям в макромире, приводящим к определенного рода регулярности, цикличности. Большинство из указанных понятий учитывается нелинейным волномеханическим уравнением Феньеша-Кузьменко-Скоробогатова [5]:

(1)

где = * - плотность вероятности; V -- плотность потенциальной энергии; b - константа марковского (диффузионного) процесса; - лапласиан.

Уравнение (1) очень содержательно. В частном случае, когда U = V, b = h/4m (линейное приближение) мы получим квантовое уравнение Шредингера для частицы массы m с потенциальной энергией V. В макроскопическом случае U = (a+2)V, где V - потенциал в неквантовой системе с постоянной b = D, и мы приходим к солитонно-волномеханическому уравнению с кубической нелинейностью ||2. Такое уравнение описывает много эффектов, включая устойчивость динамических и электромагнитных состояний макросистем, где наблюдается дискретность и естественное квантование [13].

Ниже мы будем рассматривать линейное приближение уравнения (1), ведущее к описанию макроскопического волномеханического осциллятора. Действительно, с одной стороны, реальные циклические процессы включают элементы случайных флуктуации. С другой стороны, хорошо известно [5], что подстановка:

преобразует линейное уравнений Шредингера в два нелинейных уравнения - уравнений непрерывности относительно плотности = R2 и обобщенное уравнение Гамильтона-Якоби для нахождения действия S. Другими словами, по существу, линейное волномеханическое уравнение описывает некоторые элементы нелинейности реальных процессов. Такое «линейное» приближение уравнения (1) может быть использовано для описания колебания, например, геофизической величины в данной географической точке только численно (или с помощью имитационной модели), поскольку это является более сложной проблемой, чем анализ квантового осциллятора. Численное решение уравнения (1) в простейшем случае дает два значения эмпирической плотности вероятности: (t) равно, например, 0 или 1, т.е. определяет только факт возрастания или убывания исследуемой величины по сравнению с ее значениями в соседние моменты времени. Подобная устойчивая стационарность решения может быть использована для долгосрочного прогнозирования случайных процессов.

Упрощенный вариант вышеприведенной волномеханической концепции приводит нас к статистическим квазициклическим методам расчета долгосрочных прогнозов временных рядов. Эти методы дают только качественную информацию о поведении временного ряда на длительном промежутке времени. Основная идея нашего подхода состоит в следующем интуитивно очевидном предположении: максимально высокая надежность долгосрочного прогноза может быть достигнута при минимально возможной точности абсолютного значения прогнозируемых уровней временного ряда.

Это допущение в какой-то степени аналогично принципу неопределенности в квантовой механике. Минимальную точность дает только относительная информация, получаемая при ответе на вопрос: больше или меньше какой-либо уровень временного ряда его среднего значения, вычисленного за достаточно длинный период наблюдений? По этой причине мы назовем наш метод долгосрочного прогноза методом двоичного прогнозирования (МДП).

Пусть {(t)}, t = 1,2,..., Т - стационарная случайная последовательность и Т - длина периода предыстории. Сравним эту последовательность с другой (вспомогательной) последовательностью {(t)}, где

квазициклический волномеханический квантовый

(t) = u((t) -),

u(z) = 1, если z > 0; u(z) = 0, если z < 0;

- среднее значение процесса (t), усредненное по периоду Т.

Предположим, что Т =NT0, где N и Т0 - целые числа. Произвольную двоичную последовательность {(t)}, t= 1,2,...,NТ0 ((t) = 0 или 1) мы назовем квазициклической, если ее элементы удовлетворяют следующим условиям:

(nt) = (nt + T0), n = 1,2,...,N; t = 1,2,...,T0;

,

;

,

Где

-

общее число подпоследовательностей, состоящих только из 0 или 1, внутри последовательности {(t)}, t = l,2,...,T0; [z] означает целую часть z; (T0) - максимально возможная (или желаемая) длина любой подпоследовательности из 0 или 1 внутри последовательности {(t)}, t =1,2,...,T0.

Обозначим через В множество всех квазициклических двоичных последовательностей (при фиксированных T0, r и ). Будем считать, что некоторая двоичная последовательность {(t)}B, является аппроксимацией последовательности {(t)}.

Проблема построения долгосрочного прогноза с периодом упреждения Т0, согласно МДП, формулируется следующим образом: найти последовательность {(t)}B, минимизирующую выражение

(2)

где

при дополнительных ограничениях

(3)

Здесь

.

Отметим, что параметры Т0, r и , формирующие множество В, могут быть найдены эмпирически с помощью вычислительной процедуры (1)-(3) для данного временного ряда. Как показали экспериментальные расчеты по прогнозированию геофизических величин и солнечной активности [1, 5, 15], для месячных прогнозов наилучшими значениями являются Т0 = 27-31, = 4-6, r = 10-13, а для годовых прогнозов - Т0 = 27-33, = 5-7, r =7-10, причем N = 4. Эти значения для Т0 тесно связаны с известным 11,3 летним циклом солнечной активности.

Практическая реализация МДП является сложной вычислительной проблемой из области дискретного программирования. Задача дискретной оптимизации (1)-(3) может быть решена на обычных персональных компьютерах при наличии специального математического обеспечения.

В качестве примера, в таблице приведен ретроспективный прогноз солнечной активности, рассчитанный с помощью МДП на период 1960-1992 (N = 4, T0 = 33, r =7, ).

Как видно из этой таблицы, прогноз выполнен практически полностью. При переходе от периода 1984-1989 к периоду 1990-1992 имеет место случай так называемого относительного повышения: хотя

-362 + 6 53 < 0,

но

-362 + 6 53 +388-3 53 > 0.

Таблица 1. Прогноз чисел Вольфа W(t) на период 1960-1992.

Спад к минимуму стал значительным в 1993-1994 гг., здесь имеет место случай относительного повышения: это означает переход к еще более низким значениям W(t) в 1996-1998 гг. Концентрация максимумов 11-летних циклов на повышенных значениях функции W(t) наблюдалась на периоде предыстории. Там максимумы приходились на 1970, 1979-1980, 1989-1990 гг. Фактические данные [5,6] свидетельствуют, что эти максимумы наблюдались в периодах 1993-1995, 1999-2001, а также в 2005 г. Согласно рассчитанному нами прогнозу, следует ожидать в период 2006-2010 значительное снижение солнечной активности, а в периоды 2011-2016 и 2023-2025 должны наблюдаться ее максимумы.

Экспериментальные расчеты долгосрочных прогнозов на основе МДП показывают высокую степень их оправдываемости (60-100 %). Этот метод позволяет разрабатывать также и месячные климатические прогнозы, если в качестве временного шага взять сутки.

Отметим, наконец, что наш подход применим к разработке супердолгосрочных прогнозов и в случаях, когда наблюдения за прошлый период неполны. Эта проблема была рассмотрена в работах [1,12] на основе роста самоорганизации в пределах длительных временных интервалов в соответствии с уравнением (1). Полученные в этом направлении результаты весьма полезны в решении проблемы глобального потепления.

Комплексный анализ колебаний чисел Вольфа (вместе с результатами изотопного анализа) за 1000-летний период привел нас к такому выводу: следующий вековой максимум солнечной активности будет понижен к середине XXI столетия.

Устойчивая корреляция между солнечной активностью и климатическими изменениями для таких больших временных промежутков доказывает наступление похолодания в течение текущего столетия. Степень этого похолодания будет определяться влиянием парникового эффекта.

Список литературы

1. Kuzjmenko G.I., Voevudskiy E.N., Postan M.Ya. On Global Geophysical Long-Term Forecast // Proc. of the 2nd Intl. Conf. on Systems Science and System Engineering, ICSSSE'93 (Beijing, China). - 1993. - P.743-746.

2. Дружинин И.П., Самсонов Б.И., Ягодинский В.Н. Космос, Земля, прогнозы. - М.: Мысль, 1974. - 288 с.

3. Борисенков Е.П., Песецкий В.М. Тысячелетняя летопись необычайных явлений природы. - М.: Наука, 1988. - 522 с.

4. Кузьменко Г.И. Долгосрочный геофизический прогноз // Геофизический журнал. - 1999. - 21, № 2. - С.61-69.

5. Кузьменко Г.И. Инженерная наука и геофизические исследования. - Одесса: ТЭС, 2002. - 168 с.

6. Кузьменко Г.И., Постан М.Я. О некоторых особенностях природных циклов и их моделировании // УСиМ. - 2004. - № 2. - С.3-12.

7. Василик П.В. К построению модели циклов исторического развития с учетом процессов акцелерации // УСиМ. - 2000. - № 2. - С.5-19.

8. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 250 с.

9. Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985. - 328 с.

10. Хакен X. Информация и самоорганизация. - М.: Мир, 1991. - 240 с.

11. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов. - М.: Мир, 1983. - 296 с.

12. Кузьменко Г.И. Квазициклический геофизический прогноз // Доп. НАН України. - 1996. - №7. - С.103-108.

13. Kuzjmenko G.I., Zelinskiy I.P. Generalized Statistical-Wavemechanical Equation (GSWE) and Its Applications // Proc. of 16th IMACS World Congress 2000 (Lausanne, Switzerland). - 2000. - CD, File 416-1.

14. Zelinskiy I.P., Kuzjmenko G.I. Geology, Gravitation, Cosmolgy // Astron. and Astrophys. Trans. - 1996. - №11. - P.185-191.

15. Kuzjmenko G.I., Postan M.Ya. Statistical Quasi-Cyclic Methods for Long-Term Forecasting // Abstracts of 15th IMACS World Congress (Berlin, Germany). - 1997. - P. 83.