Контрольная работа: Теория автоматического управления

Теория автоматического управления

Белорусский национальный технический университет

Энергетический факультет

Кафедра "Тепловые электрические станции"

Контрольная работа

По дисциплине "Теория автоматического управления"

Выполнил:

Проверил: Назаров И. Н.

Минск 2014 г.

1. Линейные и нелинейные САР

Динамические процессы в системах регулирования описываются дифференциальными уравнениями.

В линейных системах процессы описываются при помощи линейных дифференциальных уравнений. В нелинейных системах процессы описываются уравнениями, содержащими какие-либо нелинейности. Расчеты линейных систем хорошо разработаны и более просты для практического применения. Расчеты же нелинейных систем часто связаны с большими трудностями.

Чтобы система регулирования была линейной, необходимо (но недостаточно) иметь статические характеристики всех звеньев в виде прямых линий. В действительности реальные статические характеристики в большинстве случаев не являются прямолинейными. Поэтому, чтобы рассчитать реальную систему как линейную, необходимо все криволинейные статические характеристики звеньев на рабочих участках, которые используются в данном процессе регулирования, заменить прямолинейными отрезками. Это называется линеаризацией. Большинство систем непрерывного регулирования поддаётся такой линеаризации.

Линейные системы разделяются на обыкновенные линейные системы и на особые линейные системы. К первым относятся такие системы, все звенья которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

К особым линейным системам относятся:

а) системы с переменными по времени параметрами, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами;

б) системы с распределёнными параметрами, где приходится иметь дело с уравнениями в частных производных, и системы с временным запаздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим аргументом;

в) импульсные системы, где приходится иметь дело с разностными уравнениями.

Рисунок 1 - Характеристики нелинейных элементов

В нелинейных системах при анализе процесса регулирования приходится учитывать нелинейность статической характеристики хотя бы в одном её звене или какие-то нелинейные дифференциальные зависимости в уравнениях динамики системы. Иногда нелинейные звенья специально вводятся в систему для обеспечения наибольшего быстродействия или других желаемых качеств.

К нелинейным системам относятся прежде всего релейные системы, так как релейная характеристика (рисунок 1, а и б) не может быть заменена одной прямой линией. Нелинейным будет звено, в характеристике которого имеется зона нечувствительности (рисунок 1, в).

Явления насыщения или механического ограничения хода приводят к характеристике с ограничением линейной зависимости на концах (рисунок 1, г). Эта характеристика также должна считаться нелинейной, если рассматриваются такие процессы, когда рабочая точка выходит за пределы линейного участка характеристики.

К нелинейным зависимостям относятся также гистерезисная кривая (рисунок 1, д), характеристика зазора в механической передаче (рисунок 1, е), сухое трение (рисунок 1, ж), квадратичное трение (рисунок 1, и) и др. В последних двух характеристиках x₁ обозначает скорость перемещения, а x₂ - силу или момент трения.

Нелинейной является вообще любая криволинейная зависимость между выходной и входной величинами звена (рисунок 1, к). Это нелинейности простейшего типа. Кроме того, нелинейности могут входить в дифференциальные уравнения в виде произведения переменных величин и их производных, а также в виде более сложных функциональных зависимостей.

Не все нелинейные зависимости поддаются простой линеаризации. Так, например, линеаризация не может быть сделана для характеристик, изображенных на рисунок 1, а или на рисунок 1, е.

2. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). Как ее получить из АФЧХ

Представляет собой график, который показывает зависимость усредненного уровня звукового давления от частоты при воспроизведении сигнала с независимой от частоты интенсивности. АЧХ - это график, пики и провалы которого показывают завышенный и заниженный уровень звука на определенных частотах. В идеале АЧХ - это прямая горизонтальная линия.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) линейной цепи называют модуль ее комплексной частотной характеристики. Для четырехполюсного устройства это модуль коэффициента передачи. Из определения следует наиболее простой метод измерения АЧХ: снятие зависимости отношения амплитуд выходного и входного напряжений гармонического сигнала в отдельных частотных точках ("по точкам") с последующей интерполяцией.

Основной частотной характеристикой для любого компонента кабельной системы является амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). Вид кривой АЧХ определяет величину усиления или затухания прибора на любой частоте в пределах его рабочей полосы частот. Применительно ко всей кабельной системе говорят о частотной зависимости коэффициента передачи, получаемой в результате сложения АЧХ всех компонентов системы. Амплитудное искажение спектра передачи объясняется физическими свойствами коаксиального кабеля. С хорошей степенью точности затухание в кабеле можно считать зависящим от квадратного корня из частоты, Частотные свойства других компонентов кабельной сети (активных и пассивных приборов) выражены гораздо слабее, и ими можно пренебречь.

Наклон спектра передачи необходимо выравнивать на каждом кабельном участке для улучшения рабочих показателей всей системы путем введения наклона обратного характера. Для выравнивания спектра в кабельных сетях используются эквалайзеры, характеристика затухания которых в общем случае также нелинейно зависит от частоты. Наклон может корректироваться на выходе кабельного участка, когда эквалайзер включается перед усилительным устройством или методом пред коррекции, когда эквалайзер включается на входе кабельного участка после усилительного устройства. Величина предварительного наклона может сильно различаться в зависимости от количества используемых ответвителей. Она возрастает, например, в распределительном фидерном кабеле городской сети, или, если используется кабель с более высокими потерями или если используются усилители с меньшим усилением. При определении необходимой величины предварительного наклона должны учитываться все эти факторы, но наиболее существенна зависимость этой величины от верхней частоты передачи. Для верхней частоты 10ОО МГц она может достигать 15 дБ…18 дБ.

Частотные характеристики потерь в широкополосных системах требует серьезного внимания и проведения серии расчетов. Необходимо учитывать, что несоответствие частотных характеристик KB и кабеля способно вносить существенный вклад в неравномерность АЧХ КП магистральной сети. Изложенный подход применим к любому участку кабельной системы, независимо от ширины полосы системы передачи и количества пассивных и активных приборов в ней.

Имея выражение ЧХ в комплексной форме, можно в дальнейшем получить формулы для амплитудной частотной характеристики (АЧХ) и фазовой частотной характеристики (ФЧХ) динамической системы. Для этого необходимо отделить вещественные части от мнимых в выражениях ЧХ.

3. Определение передаточных функций САР с применением теории графов. Формула Мезона

Графом называется набор точек (эти точки называются вершинами), некоторые из которых объявляются смежными (или соседними). Считается, что смежные вершины соединены между собой ребрами (или дугами).

Таким образом, ребро определяется парой вершин. Два ребра, у которых есть общая вершина, также называются смежными (или соседними).

Граф называется ориентированным (или орграфом), если некоторые ребра имеют направление. Это означает, что в орграфе некоторая вершина может быть соединена с другой вершиной, а обратного соединения нет. Геометрически граф часто изображают точками плоскости, причем соседние вершины соединены дугами (для орграфа некоторые дуги имеют направление, что обычно отмечают стрелкой).

Помимо этого, в теории графов рассматриваются также мультиграфы - это такие графы, в которых могут быть петли (т. е. некоторая вершина соединена сама с собой ребром) или некоторые пары вершины могут быть соединены между собой несколькими ребрами.

Маршрут в графе - это последовательность соседних (смежных) вершин. Ясно, что можно определить маршрут и как последовательность смежных ребер (в этом случае ребра приобретают направление). Заметим, что в маршруте могут повторяться вершины, но не ребра. Маршрут называется циклом, если в нем первая вершина совпадает с последней.

Путь в графе (иногда говорят простой путь) - это маршрут без повторения вершин (а значит, и ребер).

Контур - это цикл без повторения вершин, за исключением первой вершины, совпадающей с последней.

Последовательности вершин (рис. 1): 1-2-3-4-2-5 не простой путь, а маршрут; последовательности 1-2-3-4-7-5 и 1-2-5 - простые пути; 1-2-3-4-2-5-6-1 -это цикл (но не контур); 1-2-5-6-1 - это контур.

Рисунок 2

Если имеется некоторый маршрут из вершины t в вершину s, заданный в виде последовательности ребер, которые в этом случае приобрели направление, и если в этот маршрут входит ребро, соединяющее вершины (i, j), то это ребро по отношению к вершине i называют иногда прямой дугой, а по отношению к вершине j - обратной дугой (или обратным ребром).

Граф называется связным, если любые две его вершины можно соединить маршрутом (или путем). На рисунке 2 изображен связный граф.

Ребро, при удалении которого граф перестает быть связным, иногда называют мостом или перешейком.

Следующее определение имеет смысл только для графов или мультиграфов без петель (но не для орграфов).

Степень вершины - это число ребер, входящих в эту вершину. Вершина называется висячей, если ее степень равна единице.

В случае громоздких систем с большим числом звеньев и перекрестных связей наиболее эффективным является использование для получения эквивалентных передаточных функций правила Мейсона. В связи с этим введем необходимые дополнительные определения.

Согласно правилу Мезона, передаточная функция  между входом в точке  и выходом в точке  равна

динамический линейный цепь колебательный

Где - число прямых путей между вершинами  и ;

- передаточная функция k-го прямого пути от вершины к вершине (она равна произведению передаточных функций всех ребер, входящих в последовательность прямого пути);

- определитель графа;

- k-й минор определителя графа, равный определителю более простого графа, который получается из данного графа путем удаления из него всех ребер и вершин, лежащих на k-м прямом пути, а также всех ребер, входящих в эти вершины и исходящих из этих вершин.

Определитель графа определяется из соотношения

Где - передаточные функции различных контуров графа;

- произведения передаточных функций непересекающихся пар контуров;

       - произведения передаточных функций непересекающихся троек контуров.

4. Как определить степень затухания по переходной характеристике колебательного звена

Ответ:

Степень затухания (y) - показывает, насколько сильно затухают колебания.

y=1-A3/A1 , где

A1,A3-амплитуды первого и третьего пиков переходной кривой соответственно.

Чем больше степень затухания - тем меньше будет колебаний переходной кривой до достижения установившегося значения. Чем меньше степень затухания - тем больше будет колебаний переходной кривой до достижения установившегося значения. Для незатухающих колебаний с постоянной амплитудой y=0. Для апериодического процесса y=1.

) Перерегулирование (s) - показывает, насколько сильно регулируемая величина в процессе регулирования отклоняется от установившегося значения.

s=A1/уст , где

уст-установившееся значение регулируемой величины.

Во избежание возникновения аварийных ситуаций значение перерегулирования должно быть таким, чтобы не допустить выхода значений регулируемого параметра за рамки нормального технологического режима.

) Статическая ошибка (e) - показывает, на сколько отличается задание и установившееся в результате регулирования значение.

e=x-уст, где

x-задание, уст-установившееся значение регулируемой величины.

) Время регулирования (tр) - время, через которое отклонение регулируемого параметра от установившегося значения не превышает 5%. Оно определяется следующим образом: проводится прямая y=уст, проводятся линии y=yуст-5% и y=yуст+5% (границы области 5%-ого отклонения). Последняя точка пересечения переходной кривой и этих границ определяет время регулирования (tр).

Рисунок 3

Звено называется колебательным, если выходная величина после подачи на вход единичного воздействия стремится к установившемуся значению, совершая колебания. Такие звенья содержат обычно два элемента, способные запасать энергию или вещество и обмениваться ими через третий элемент, создающий сопротивление протеканию энергии или вещества. Звенья с колебательными свойствами, содержащиеся в автоматических системах регулирования, придают переходному процессу системы колебательный характер. Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка: Передаточная функция звена имеет вид: где k - коэффициент усиления звена; Т\ и Т2 - постоянные времени звена. При 7*1=0 звено превращается в инерционное.

На рисунок 3, в показаны переходные процессы колебательного звена. Если в процессе колебаний происходит увеличение запаса энергии, полученной звеном в результате скачкообразного изменения возмущения на входе, то колебания усиливаются и их амплитуда растет (кривая /); в этом случае колебательное звено называется неустойчивым.

Если в процессе колебаний запас энергии уменьшается, то колебания затухают, и звено называется устойчивым колебательным звеном (кривая 2). Устойчивые колебательные звенья различаются степенью демпфирования (затухания).

Если звено сильно демпфировано, то переходный процесс протекает сравнительно медленно, и колебания относительно установившегося значения отсутствуют (кривая 3).

Колебательный процесс характеризуется коэффициентом затухания, т. е. отношением амплитуд колебаний <7,1/(72, и временем установления процесса (временем, необходимым для затухания процесса), когда отклонение выходной величины от установившегося значения не превышает определенной величины. На практике обычно это составляет до 5 % в зависимости от требуемой точности.

Постоянными времени звена являются Tc=RC и Tl=L/R. Вид переходного процесса колебательного контура зависит от отношения постоянных времени Тс и TL.