Методичка: Теория автоматического управления. Линейные системы

Частотные характеристики, основанные на использовании преобразования Фурье, позволяют оценить происходящие в звеньях процессы управления не только при скачкообразных, но и при любых других входных сигналах, действующих в реальных условиях.

При этом любой входной сигнал  представляется в виде суммы гармоник различных частот с определенными, соответствующими данному сигналу амплитудами и фазами, а реакция на сумму входных гармоник, т.е. выходной сигнал  равен сумме реакций на каждую из них.

Для отдельной гармоники на входе линейного звена  реакцией будет совокупность вынужденной и переходной составляющих, последняя из которых по истечении некоторого времени затухает, и на выходе звена установится синусоидальный сигнал той же частоты, что и на входе, т.е. .

Реакция звена на гармоники различных частот характеризуется его комплексным коэффициентом передачи, который представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФХ) звена определяется следующим образом:

,

где  и  - соответственно амплитудная (АЧХ) и фазовая (ФЧХ) частотные характеристики исследуемого звена.

Подставляя выражение для входного и выходного сигналов звена в (2.1), получим уравнение

,

дающее возможность рассчитать АФХ звена через коэффициенты дифференциального уравнения (2.1) следующим образом:

,                                         (2.3)

где ,  - соответственно вещественная (ВЧХ) и мнимая (МЧХ) частотные характеристики исследуемого звена.

При этом очевидны следующие соотношения:

, .                                            (2.4)

Из (2.2) и (2.3) видно, что для получения АФХ исследуемого звена достаточно использовать соотношения (2.4) и его передаточную функцию

, .

Таким образом, АФХ, вид которой иллюстрируется рис. 2.1, представляет собой годограф конца вектора , положение которого определяется фазой  в декартовой системе координат  при изменении частоты .

Рис. 2.1. Вид амплитудно-фазовой частотной характеристики

Кроме АФХ звеньев в теории автоматического управления широкое распространение нашли логарифмические амплитудные (ЛАХ) и фазовые (ЛФХ) частотные характеристики (ЛЧХ). При их построении по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, а по оси ординат - величина  в децибелах и . При этом наибольшее применение получили асимптотические ЛАХ.

.2 Порядок выполнения работы

Перед началом работы следует получить у преподавателя номер варианта параметров исследуемых типовых звеньев.

1. Исследование основных характеристик апериодического звена первого порядка

а) Определение  при отрицательных начальных условиях. В пакете расширения Simulink создайте структуру, соответствующую подаче ступенчатой функции с коэффициентом  (табл. 2.1.) на вход исследуемого звена, задайте требуемые значения параметров. Для задания передаточной функции звена с начальными условиями используйте блок Transfer Fcn (with initial states), находящийся в дополнительной группе блоков Simulink Extras, подгруппе Additional Linear. В параметрах моделирования задайте время моделирования не менее 5Т. Проведите имитационное моделирование, получите на экране график переходной функции и напечатайте его. Отрицательные начальные условия соответствуют значению  со знаком "минус" (табл. 2.1).

б) Определение  при положительных начальных условиях. Отредактируйте значения параметров исследуемого звена и повторите моделирование. Нанесите на полученный в предыдущем пункте график новые значения переходной функции в узловых точках, постройте график.

в) Определение  при нулевых начальных условиях. Выполните п. 1,б.

г) Определение частотных характеристик при номинальных значениях параметров. Постройте и распечатайте ЛЧХ и АФХ исследуемого звена. На полученной ЛАХ постройте асимптотическую ЛАХ, определите ошибку сопряжения.

. Исследование основных характеристик реального дифференцирующего звена. Задайте на входе ступенчатую функцию с коэффициентом усиления  (табл. 2.1).

а) Определение  при номинальных значениях параметров. Выполните п. 1,а при , задав время моделирования не менее .

б) Определение  при увеличенной постоянной времени. Выполните п. 1,б.

в) Определение частотных характеристик при номинальных значениях параметров. Отредактируйте значения параметров исследуемого звена и выполните п. 1,г.

г) Определение частотных характеристик при увеличенной постоянной времени. Отредактируйте значения параметров исследуемого звена и получите на экране требуемые частотные характеристики. Используя их, нанесите на полученные в предыдущем пункте графики новые значения характеристик в узловых точках, постройте графики.

. Исследование основных характеристик колебательного звена

а) Определение  при отрицательных начальных условиях и . Выполните п. 1,а. Отрицательные начальные условия выбираются из табл. 2.1 для положения  и скорости  со знаком "минус".

б) Определение  при положительных начальных условиях и . Выполните п. 1,б.

в) Определение  при нулевых начальных условиях и . Выполните п. 1,б.

г) Определение  при нулевых начальных условиях и . Выполните п. 1,а.

д) Определение  при нулевых начальных условиях и . Выполните п. 1,б.

ж) Определение частотных характеристик при . Выполните п. 1,г.

з) Определение частотных характеристик при удвоенном . Выполните п. 2,г, положив , где .

2.3 Варианты заданий

В данной работе исследуются основные временные и частотные характеристики апериодического, реального дифференцирующего и колебательного звеньев, т.к. характеристики безынерционного и интегрирующего звеньев очевидны, а реализация операции идеального дифференцирования средствами цифровой вычислительной техники невозможна.

При этом с помощью апериодического звена 1-го порядка описывается двигатель постоянного тока, реального дифференцирующего звена - дифференцирующая RC-цепь, колебательного звена - акселерометр для измерения угловых ускорений. Схемы исследуемых звеньев приведены на рис. 2.2.

Исходные данные для моделирования указанных звеньев приведены в табл. 2.1.

.4 Содержание отчета по работе

. Цель работы.

. Схемы исследованных типовых звеньев, их передаточные функции с числовыми значениями параметров и экспериментально полученные графики.

. Ответы на контрольные вопросы.

2.5 Контрольные вопросы

. Как зависит характер переходной функции в апериодическом звене от начальных условий?

. Чему равна ошибка на сопрягающей частоте при использовании асимптотической ЛАХ?

. Как влияют параметры апериодического звена на вид АФХ?

Рис. 2.2. Исследуемые типовые звенья САУ: а - двигатель постоянного тока; б - дифференцирующая цепь; в - акселерометр угловых ускорений

Таблица 2.1.

4. Как зависит характер переходной функции от параметров k и Т реального дифференцирующего звена?

. Зависит ли вид ЛЧХ от параметра k реального дифференцирующего звена?

. Как зависит вид АФХ от параметра Т реального дифференцирующего звена?

. Как сказывается введение ненулевых начальных условий по первой производной выходной величины колебательного звена на характер переходной функции?

8. Как зависит характер переходной функции колебательного звена от параметра .

. Как зависит вид ЛЧХ колебательного звена от параметра ?

10. Как зависит вид АФХ колебательного звена от его параметров?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ САУ ЧАСТОТНЫМИ МЕТОДАМИ

Цель работы

Изучение и приобретение практических навыков применения критерия Найквиста и метода ЛЧХ для анализа устойчивости САУ.

.1 Основные сведения

Процессы управления в линейных разомкнутых САУ описываются уравнениями вида:

                         (3.1)

Общее решение однородного уравнения

имеет вид , , где  являются корнями характеристического уравнения

                       (3.2)

и определяют устойчивость системы, т.е. способность возвращаться в установившееся состояние после прекращения действия, которое вывело её из этого состояния.

Система является устойчивой, если все корни располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной, т.е. являются отрицательными или имеют отрицательные вещественные части. Для определения устойчивости используются различные критерии, позволяющие определять знаки корней без их вычисления.

Наибольшее применение нашли частотные критерии устойчивости, а среди них критерий Найквиста и метод ЛЧХ, основанные на принципе аргумента. При переходе в частотную область анализа заменой , изменение аргумента каждого сомножителя  в уравнении (3.2) при  определяется в среднем следующим выражением:

,

где знак "+" соответствует корню  левой, а "-" - правой полуплоскости (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Изменение аргумента  для корней левой и правой полуплоскости

Если характеристическое уравнение имеет  корней в правой и  в левой полуплоскости, то

 при .

Для устойчивой разомкнутой системы  и принцип аргумента с учетом симметрии  определяется выражением

 при .

Анализ устойчивости замкнутых САУ основывается на применении принципа аргумента к выражению

,                                                (3.3)

где  - передаточная функция разомкнутой системы,  - характеристический полином замкнутой системы.

Согласно данному принципу изменение аргумента определяется выражением

 при .

При наличии  корней в характеристическом уравнении замкнутой системы, расположенных в правой полуплоскости комплексной переменной, и при условии устойчивости разомкнутой системы справедливо равенство

 при .

Отсюда очевидно, что для систем, устойчивых в разомкнутом и замкнутом состояниях, выполняется условие критерия Найквиста

 при .

Графическая интерпретация этого условия для статической системы показана на рис. 3.2,а.

Переход к АФХ САУ, т.е. к её комплексному коэффициенту передачи, полученному из (3.3) по выражению

,

дает возможность сформулировать критерий Найквиста следующим образом.

САУ, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом состоянии в том и только в том случае, если АФХ разомкнутой системы, построенная при , не охватывает критическую точку с координатами  (рис. 3.2,б).