Методичка: Теория автоматического управления. Линейные системы

Рис 3.2. Критерий устойчивости Найквиста: а - в плоскости ; б - в плоскости ; 1 - устойчивая САУ; 2 - неустойчивая САУ

Следует отметить, что при  АФХ астатических систем претерпевает разрыв. При этом , а фаза меняется на , где  - порядок астатизма, за счет того, что нулевой корень  относят к левой полуплоскости (рис. 3.3,а), т.е. производят замену , где , а  меняется от  до .

Следовательно, для интегратора справедливо выражение

,

объясняющее вид его АФХ, приведенный на рис. 3.3,б.

Критерий Найквиста, интерпретированный в область ЛЧХ, получил название метода ЛЧХ. Согласно этому методу САУ, устойчивая в разомкнутом состоянии в том и только в том случае, когда на частоте среза разомкнутой системы, т.е. частоте, при которой , , фазовый сдвиг  не превосходит значения .

Рис. 3.3 АФХ интегратора: а - в плоскости ; б - в плоскости

Применение метода ЛЧХ к анализу устойчивости астатической системы первого порядка показано на рис. 3.4. На этом же рисунке показано определение запасов устойчивости по фазе  и по модулю .

Рис. 3.4. Интерпретация критерия Найквиста в области ЛЧХ: а - устойчивая астатическая система первого порядка; б - метод ЛЧХ

.2 Порядок выполнения работы

Перед началом работы следует получить у преподавателя номер варианта параметров исследуемых САУ.

1. Анализ устойчивости статической системы

а) Определение устойчивости методом ЛЧХ

Создайте структуру замкнутой системы с единичной обратной связью, на вход которой подается единичное ступенчатое воздействие, а передаточная функция прямой цепи соответствует заданной передаточной функции разомкнутой системы. Задайте требуемые значения параметров.

Получите ЛЧХ исследуемой системы, подобрав диапазон изменения частоты таким образом, чтобы в него входили все сопрягающие частоты.

На полученной ЛАХ постройте асимптотическую ЛАХ, определите частоту среза и фазовый сдвиг на этой частоте.

Сделайте вывод об устойчивости исследуемой системы. Для устойчивой системы определите запасы устойчивости по фазе  и модулю .

б) Определение устойчивости по критерию Найквиста

Получите качественный вид АФХ, исследуемой системы при изменении частоты от верхней границы выбранного диапазона частот до минимально необходимого значения.

Путем изменения нижней границы частоты найдите критическую точку на мнимой оси и напечатайте АФХ исследуемой системы вблизи этой точки.

По полученной АФХ определите фазовый сдвиг на частоте среза.

Сделайте вывод об устойчивости исследуемой системы. Для устойчивой системы определите запасы устойчивости по фазе и по модулю. Сравните результаты с п. 1,а.

в) Проверка устойчивости методом моделирования

Проведите имитационное моделирование. Получите график переходной функции, подобрав экспериментально время моделирования, исходя из возможности вывода об устойчивости исследуемой системы. Напечатайте график.

. Анализ устойчивости астатической системы первого порядка

Выполните операции п. 1.

. Анализ устойчивости астатической системы второго порядка

Выполните операции п. 1.

3.3 Варианты заданий

В данной работе применяются критерий Найквиста и метод ЛЧХ для анализа устойчивости статических и астатических систем первого и второго порядка.

Передаточные функции исследуемых систем в общем виде определяются следующим образом:

.

Исходные данные для моделирования указанных систем приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

3.4 Содержание отчета по работе

. Цель работы.

. Структурные динамические схемы исследованных систем, их передаточные функции с числовыми значениями параметров и экспериментально полученные графики АФХ, ЛЧХ и переходных функций.

. Ответы на контрольные вопросы.

.5 Контрольные вопросы

. На каком принципе основан частотный критерий устойчивости Найквиста?

. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста?

. Чему равны координаты критической точки?

. В чем особенность построения АФХ для астатических систем?

. Чему равен фазовый сдвиг вблизи нулевой частоты для статических и астатических систем?

6. К чему стремится АФХ статических и астатических систем при бесконечно большом увеличении частоты ?

. Как определяются запасы по фазе и модулю с помощью АФХ исследуемой системы?

. Как определяются запасы по фазе и модулю с помощью ЛЧХ исследуемой системы?

. В чем заключается связь между АФХ и ЛЧХ САУ?

10. В чем физический смысл запасов устойчивости по модулю и фазе?

амплитудный фазовый колебательный звено

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ

Цель работы

Практическое освоение методики исследования переходных режимов функционирования САУ на структурных моделях и приобретение соответствующих знаний о влиянии параметров исследуемой системы на основные показатели качества управления.

4.1 Основные сведения

Исследование САУ заданной структуры в переходном режиме соответствующем реакции на одно из типовых воздействий, проводится с целью оценки показателей качества процессов управления и определения зависимости этих показателей от вариации параметров.

К типовым воздействиям при исследовании САУ относятся следующие функции:

- ступенчатая ,

линейная ,

квадратичная ,

гармоническая .

Рис. 4.1. Определение показателей качества по переходной функции

Обычно качество процессов управления оценивается по реакции системы на ступенчатое воздействие, т.е. по переходной функции, которая в общем случае имеет вид, показанный на рис. 4.1. При этом качество управления в переходном режиме характеризуется следующими показателями:

1. Начальное значение , определяемое выражением

.

. Установившееся значение , определяемое выражением

.

. Перерегулирование , определяемое выражением

,

где  - максимальное значение регулируемой величины.

. Время первого согласования , исчисляемое от начала процесса до момента, когда регулируемая величина впервые становится равной установившемуся значения.

. Время установления , определяемое как время достижения переходной функции первого максимума.

. Время переходного процесса , отсчитываемое с момента приложения к системе воздействия до момента, после которого в интервале  выполняется условие

.

. Частота колебаний , определяемая выражением

где  - "период" колебаний.

. Колебательность системы , определяемая числом максимумов или минимумов в течение переходного процесса, т.е.

.

Основными показателями качества в рассматриваемом режиме функционирования САУ являются перерегулирование  и время переходного процесса .

аналитические, графические и графоаналитические методы решения дифференциальных уравнений САУ, из которых наибольшее распространение получил операторный метод на основе преобразования Лапласа;

частотные методы, наиболее известным из которых является метод использования вещественных частотных характеристик;

метод математического моделирования.

Рассматриваемый в данной работе, метод математического моделирования, реализуемый средствами цифровой вычислительной техники, при наличии развитого программного обеспечения значительно снижает трудоемкость и повышает эффективность проводимых исследований.

4.2 Порядок выполнения работы

Перед началом работы следует получить у преподавателя номер варианта параметров исследуемой системы.

. Получение переходной функции при заданных значениях параметров исследуемой системы

а) Создайте структуру исследуемой системы, на вход которой подается единичное ступенчатое воздействие. Задайте требуемые значения параметров.

б) Проведите имитационное моделирование, подобрав время решения, исходя из получения на экране переходной функции исследуемой системы. Напечатайте график и определите по нему показатели качества процесса управления.

в) Получите и напечатайте график изменения указанных преподавателем промежуточных величин моделируемой системы.

. Получение зависимости основных показателей качества от изменения добротности исследуемой системы

а) Изменяя коэффициент передачи прямой цепи  и оставляя неизменными прочие параметры системы, установите такое его значение, при котором визуально наблюдается заметное изменение переходной функции.

По полученной переходной функции определите основные показатели качества, т.е. перерегулирование  и время переходного процесса . Время  удобно определять, пользуясь выводом результатов моделирования в таблицу.

б) Проанализируйте качественно влияние изменения параметра  на указанные преподавателем промежуточные величины моделируемой системы.

в) Подобным образом получите три - пять переходных функций, отличающихся друг от друга и дающих представление основных показателей качества и промежуточных величин от изменяемого параметра  системы.

г) Постройте зависимость перерегулирования и времени переходного процесса от изменяемого параметра.

д) Установите номинальное значение изменяемого параметра, обеспечивающее исходный вид переходной функции.

. Получение зависимости основных показателей качества от изменения коэффициента передачи цепи положительной прямой связи. Выполните п.2, изменяя коэффициент передачи демпфирующего трансформатора  аналогично изменению коэффициента передачи .

. Получение зависимости основных показателей качества от изменения коэффициента передачи  цепи гибкой обратной связи.

Выполните п.2, изменяя коэффициент передачи  аналогично изменению коэффициента передачи прямой цепи .

4.3 Варианты заданий

В данной работе исследуются переходные режимы работы следящей системы копировально-фрезерного станка, структурная схема которой приведена на рис. 4.2. Исходные данные для моделирования указанной системы приведены в табл. 4.1.

Рис. 4.2. Структурная схема исследуемой системы

Таблица 4.1

.4 Содержание отчета по работе

. Цель работы.

. Схема исследованной системы с числовыми значениями параметров и экспериментально полученные графики.

. Ответы на контрольные вопросы.

.5 Контрольные вопросы

. Какие воздействия являются типовыми при исследовании САУ?

. По реакции на какое воздействие оценивается качество процессов управления?

. Какими показателями характеризуется качество процессов управления в переходных режимах работы САУ?

. Какие показатели качества являются основными?

. Какими методами можно получить переходную функцию исследуемой системы для анализа качества процессов управления?

. Как зависит вид переходной функции исследуемой системы от изменения её добротности?

. Как зависят основные показатели качества исследуемой системы от коэффициента передачи цепи положительной прямой связи?

. Как зависят основные показатели качества исследуемой системы от коэффициента передачи цепи гибкой обратной связи?