Реферат: Теория Хиппеля-Каллена

Теория Хиппеля-Каллена

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕФЕРАТ

по дисциплине Физика пробоя конденсированных сред

на тему Теория Хиппеля-Каллена

Томск 2015 г.

Оглавление

Введение

1.      Первое доказательство теоремы Хиппеля

.        Второе доказательство теории Хиппеля

.        Теория Каллена

Заключение

Список использованных источников

Введение

Теория Хиппеля основана на двух предположениях. Первое предположение состоит в том, что необходимую для ионизации энергию электроны приобретают не за один приём, а в течение нескольких пробегов.

Второе предположение - что энергия, приобретаема электронами в электрическом поле, при некоторых условиях больше теряемой ими при столкновениях с решёткой. Та напряжённость поля, при которой начинают удовлетворяться эти условия, принята Хиппелем за пробивную.

Так как энергия электронов, при которой начинает удовлетворяться второе условие, невелика - порядка 0,1-0,2 эв, то теория Хиппеля была названа теорией ионизации медленными электронами.

Если между двумя столкновениями электрон приобретает в среднем энергию, меньшую величины , соответствующей максимуму рис.1, то электрон может расходовать энергию, приобретённую в поле, только на раскачку атома. При увеличении напряжённости поля средняя энергия, приобретаемая электроном между столкновениями, увеличивается и превышает в то же время энергия, расходуемая электроном на раскачку атома, уменьшается. Появляется возможность накопления энергии. Таким образом, если на длине пробега  электрон приобретает в среднем энергию, меньшую , то ионизация невозможна. Если же средняя энергия, приобретаемая электроном в течение одного пробега, хотя и меньше  - энергии ионизации, но больше , то ионизация возможна. Следовательно, по мнению Хиппеля, критическую напряжённость поля, могущую вызвать ионизацию и, как дальше будет показано, пробой, имеет поле, в котором электрон в течение одного пробега приобретает среднюю энергию, равную , соответствующую максимуму кривой вероятности потери энергии на раскачку атома. В действительности напряжённость поля может быть несколько меньше.

Рис.1.

При ионизации электрон отрывает от отрицательного иона или нейтрального атома электрон, который в свою очередь вместе с первым ускоряется и ионизует. Постепенно образуется лавина электронов, которая движется от катода к аноду и оставляет по пути положительный объёмный заряд. Вследствие этого связь между структурными элементами диэлектрика (атомами или ионами), существовавшая до ионизации, нарушается и возникает механическое напряжение между ними. Если структура диэлектрика недостаточно эластична, что имеет место при низких температурах, происходит скалывание и появляется трещинка. По мере продвижения лавины электронов к аноду вслед за ней растёт трещинка. Рост трещинки происходит не непрерывно, а скачками, наступающими тогда, когда напряжение, вызывающее скалывание, достигает определённой величины. Последнее зависит от величины и распределения объёмного заряда.

Из предложенного механизма можно сделать следующие заключения:

. Критическая пробивная напряжённость поля приближённо равна

пробой диэлектрик ток ионизация

Причём единственным условием наступления пробоя является начало ионизации.

. В диэлектриках с кристаллической решёткой должны существовать предпочтительные направления пробоя, а именно те направления, по которым сила связи между частицами меньше и, следовательно, вероятность потери энергии на раскачку меньше.

. Сила тока, сопровождающая пробой, должна расти по экспоненциальному закону, характерному для процесса образования лавины.

. Для начала пробоя необходимо ограниченное число начальных свободных электронов. Воспроизводства начальных электронов не требуется.

. Основными активными агентами ионизации являются медленные электроны.

1. Первое доказательство теоремы Хиппеля

Доказательство справедливости своей теоремы Хиппель видит в следующем.

В твердом или жидком диэлектрике частицы находятся достаточно близко друг к другу. Электрон находится под воздействием не только поля собственного атома, но и поля соседних атомов. Ионизационный потенциал гораздо меньше, чем в случае изолированного атома. Он примерно такой же, как потенциал возбуждения. Начало свечения диэлектрика может быть принято в первом приближении за начало ионизации. Поэтому для диэлектриков поля, при которой начинается свечение диэлектрика, умноженная на постоянную решётки, должна быть пропорциональна частоте излучения. Эта закономерность подтверждается опытами автора.

В основе этой аргументации лежит утверждение автора о том, что электрон с энергией ниже , соответствующий максимуму потерь на раскачку, возбуждать не может. Это утверждение неочевидно и нуждается в более подробном рассмотрении.

Отложим по оси ординат напряжённость электрического поля, а по оси абсцисс - энергию W, которую электрон приобретает в поле в течение одного пробега (рис. 2). Зависимость между этими величинами изображается прямой линией, обозначенной на рис. 2 буквой Е. На том же рисунке дана зависимость между энергией Q, теряемой электроном на раскачку атома при каждом соударении, и энергией электрона W. Для Q и W выбран одинаковый масштаб. Кроме этого проведём на рисунке прямую А под углом 45°.

Допустим, что диэлектрик находится в поле с напряжённостью  и в течение каждого пробега электрон приобретает энергию . После первого соударения у электрона останется энергия , равная длине отрезка . После второго пробега энергия электрона будет , а после второго соударения - , измеряемая длиной отрезка . После третьего пробега электрон будет обладать энергией , а после третьего соударения - . Нетрудно видеть, что после каждого очередного соударения энергия электрона будет либо больше, либо меньше  и будет стремиться к последнему значению.  определяется пересечением кривой Q с прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку . Когда энергия электрона станет равной , электрон будет в равновесном состоянии: в среднем при каждом соударении электрон будет терять на раскачку атома столько энергии, сколько он в среднем приобретает в течение одного пробега. С увеличением напряжённости поля увеличивается энергия, которую электрон приобретает в течение одного пробега, и следовательно, энергию равновесного состояния. При некоторой величине напряжённости поля равновесное состояние становится невозможным. Это, очевидно, будет тогда, когда остаток энергии после каждого соударения будет непрерывно увеличиваться.

Наибольшая энергия , которую электрон может передать атому при столкновении, равна СВ - ординате у максимума кривой Q. Та напряжённость поля , при которой электрон набирает такую энергию в течение одного пробега, является предельной, при которой ещё возможно равновесное состояние. Однако это равновесное состояние не будет устойчивым. Все равновесные состояния, при которых средняя энергия электрона меньше , являются устойчивыми. Следовательно, всем значениям напряжённости поля ниже  соответствует равновесное состояние, в котором электрон не может приобрести большой энергии, достаточной для возбуждения. При значении , не может быть равновесного состояния; после каждого пробега энергия электрона будет непрерывно увеличиваться. Таким образом, критическая напряжённость поля, при которой начинается возбуждение, будет равно  и . В этой формуле  - постоянная решётки,  - постоянная Планка, a  - частота начального свечения. Эта зависимость, как было указано, подтверждена опытами Хиппеля.

Если кривая Q изображает суммарные потери на раскачку и возбуждение, то аналогичными рассуждениями можно показать, что при напряжённости поля, соответствующей максимуму, начнутся ионизационные процессы. Эта напряжённость поля будет больше, чем напряжённость, соответствующая началу возбуждения. Можно поэтому согласиться с доводами автора, что эксперименты подтверждают теорию начала ионизации. Однако это не может служить подтверждением того, что начало ионизации обязательно ведёт к пробою. Последнее подтверждается другими косвенными экспериментальными данными. Представление об ионизации как о единственном условии возникновения пробоя приводит к заключению о независимости пробивной напряжённости поля от толщины диэлектрика. Это положение приближённо подтверждается экспериментом.

. Второе доказательство теории Хиппеля

Вторым аргументом в пользу справедливости своей теории Хиппель считает экспериментальные данные о существовании предпочтительных направлений пробоя в диэлектриках с кристаллической решёткой. В кристалле каменной соли ближайший одноимённый ион расположен по диагонали квадрата (расстояние между ними ), затем по диагонали куба () и по ребру куба (). Чем ближе расположены частицы, тем ниже потенциальный барьер между ними, тем меньше сила связи и тем ниже максимум потерь на раскачку, а следовательно (см. рис.2), тем меньше . Поэтому в кристаллах каменной соли следует ожидать сначала появление пробоев в направлении плоской диагонали. При повышении напряжения должны возникать пробои в направлении диагонали куба и затем, при ещё более высоком напряжении, - по всем направлениям. Эти ожидания оправдываются экспериментами Хиппеля.

Однако опыты Вальтера и Инге не подтверждают данных Хиппеля. По данным этих авторов направление распространения пробоя в кристаллах зависит от характера поля и температуры. В кристаллах каменной соли при низких температурах и положительном постоянном напряжении пробой распространяется преимущественно по диагонали куба.

Следует также отметить, что предпочтительность пробоя в направлении ближайшей частицы вытекает и из других ионизационных теорий и не является исключительным признаком справедливости теории ионизации медленными электронами.

. Теория Каллена

Математическая теория для ионных кристаллов, базирующаяся на предположениях Хиппеля, также была предложена Калленом.

Согласно теории Борна и Кармана, Каллен описывает колебательные движения ионов волнами. Колебания ионов лежат в двух областях: "оптической" и "акустической", а в каждой области колебания подразделяются на две группы поперечных и одну группу продольных. Таким образом, всего волн 6 N, где N-число ячеек в кристалле (объём ячейки ,  - постоянная решётки).

Смещение ионов в процессе колебаний от положения равновесия автор рассматривает как поляризацию с соответствующей плотностью заряда. Только для продольных колебаний эта плотность отлична от нуля.

Так как существенное значение имеют "оптические" колебания, то автор пренебрегает "акустическими" и принимает, что все N продольных "оптических" колебаний имеют одну частоту , равную частоте наиболее длинной волны.

Полагая, что относительное смещение разноимённых соседних ионов равно разности амплитуд их колебаний, автор определяет напряжённость электрического поля, связанную с этой поляризацией. Поскольку в зоне проводимости очень мало электронов, Каллен пренебрегает взаимодействием электронов между собой и определяет энергию взаимодействия электрона с решёткой как взаимную энергию поля электрона с полем поляризации. Это взаимодействие Каллен рассматривает как возмущение и определяет квантовомеханическими методами вероятности передачи энергии, равной , за одну секунду. Если энергия электрона меньше чем , то передача энергии от электрона решётке невозможна, возможен только обратный процесс. Если энергия электрона больше чем , то вероятность передачи электроном энергии  решётке больше, чем вероятность её получения.

Количество энергии , которую электрон с энергией  передаёт решётке в единицу времени, оказывается равным

Где

Здес  - эффективный заряд иона, меньший его действительного заряда, вследствие смещения электронных орбит и электронной поляризации, вызванной в свою очередь смещением ионов,  - эффективная масса электрона,  - приведённая масса ионов.

Таким образом  является только функцией  и  и имеет пологие максимумы в зависимости от  при разных значениях .

Далее Каллен определяет энергию, которую электрон приобретает в электрическом поле в единицу времени. Эта энергия равна

Врем релаксации определяется Калленом следующим образом: