Дипломная (вкр): Теория игр в экономике

Теория игр в экономике

Введение

История циклична. История мировой экономики не исключение. Мировая экономика переживает взлеты и падения, которые вытекают в страшные кризисы («Великая депрессия» (1929-1933), «Нефтяной кризис» 1973-75 годов, финансовый кризис 2007-2008 гг. и др.). Многие ученые умы пытаются найти причины неминуемых кризисов, падений в экономике. В этой связи встает и вопрос о том, что классическая экономическая теория не отражает действительности. Различий между реальным положением дел и фактическим представлением экономической ситуации в цифрах, на бумагах, на словах создают уязвимость в стабильности экономической ситуации.

Одним из таких различий между реалиями и описывающими их экономическими теориями предстает и формальность разделения экономики на макро- и микроэкономику. Макроэкономика рассматривает агрегированные показатели экономики: ВВП, уровень цен в масштабах страны, рыночную ставку процента, - не учитывая при этом роли влияния отдельных индивидуумов (игроков) рынка, в отличие от микроэкономики, концентрирующей свое внимание на отдельных игроках рынка, их производстве, формировании цены на их товары. Но что, если можно рассматривать всю экономическую модель как макро- и микроэкономическую сразу? Что если учитывать влияние всех игроков рынка на формирование средних цен? Что если процентные ставки и средний уровень цен на самом деле тоже зависят не только от независимых агрегированных показателей, а от действий всех игроков рынка и степени влияния каждого их них на процесс ценообразования?

Одним из подходов к исследованиям экономической модели с целью поиска альтернативного классической экономике объяснения является приложение теории игр в экономике. Стратегические рыночные игры рассматривают рыночную экономику как модель игры. Приложение стратегических рыночных игр служит снижению значимости исторически сложившихся границ между макро- и микроэкономикой, путем выведения эндогенного спроса на деньги. Такой подход очень важен для изучения и развития денежно-кредитной политики.

Так, например, в работе Martin Shubik and Charles Wilson, 1977 классическая макроэкономическая проблема хранения фиатных денег конечно время была сведена к стандартной микроэкономической проблеме. Денежно-кредитная политика, вопрос достаточности денег были исследованы через стратегически рыночные игры Shubik, 2004; Goodhart, Sunirand and somoscos, 2006;Tsomoscos, 2006.

Продолжая по сути своей исследования M. Shubik and C. Wilson, «The Optimal Bankruptcy Rule in a Trading Economy Using Fiat Money», 1977 и M.Shubik and D.P.Tsomoscos, «A strategic market game with a mutual bank with fractional reserves and redemption in gold » 1990, M.Shubik, C, Goodhart, D.P.Tsomoscos and N,Romanids, «Macro-modelling, default and money», 2016, в данной работе исследуется одношаговая стратегическая рыночная игра с двумя игроками и внешним банком. В игре будут возникать два рынка потребительских товаров и рынок кредитов. Правилами рынка кредитов определено наказание за дефолт, которое определяет мотивацию для возврата кредита. Взаимодействие рынков и наличие наказания за дефолт определяют общее равновесие в стратегической рыночной игре, основанное на рациональном поведении игроков. Эта макроэкономическая проблема одна из наиболее интересных и слабо исследованных на сегодня, несмотря на наличие множества работ по данной теме. В итоге, было найдено приближение распределения смешанных стратегий для каждого игрока. Такое распределение характеризует распределение индивидуально-рациональных стратегий поведения каждого игрока. Точное аналитическое выражение для решения уравнения Фредгольма 1-ого рода не существует, поэтому численное моделирование - это единственные способ получения результата. На основе индивидуально-рациональных стратегий спроса на деньги, полученного как предельное распределение решения, подсчитано вероятностное распределение процентной ставки. Анализ этого распределения показывает, что изменения в стратегии игрока при прочих неизменных показателях модели приводит к изменению процентной ставки. Этот эффект показывает непостоянство процентной ставки в ответ на рациональное использование смешанных стратегий каждым игроком. Полученный результат требует дальнейшего изучения и применения для понимания взаимодействия реального и финансового секторов экономики.

Актуальность данной работы обусловлена значимостью исследований в области макро- и микроэкономических теорий, а именно изучение влияния рынков друг на друга и стратегий отдельных игроков рынка на показатели, которые классическая экономическая теория называет макроэкономическими. Изучение рационального поведения игроков рынка в условиях торговли с кредитованием и штрафами за дефолт. Таким образом, важным аспектом актуальности работы является реалистичность отраженной модели. Исследования стратегических рыночных игр может позволить в будущем концептуально пересмотреть классическую экономику и разработать экономические модели, которые смогут отвечать реальному миру экономики, претерпевшему сильнейшие изменения со времен введения классической экономической теории.

Новизна данной работы заключается в выводе эндогенного спроса на деньги из численно смоделированного совместного распределения смешанных стратегий двух игроков в общем равновесном решении (индивидуально-рациональных стратегий поведения). В результате работы установлена зависимость вероятностного распределение процентной ставки от выбора различных индивидуально-рациональных стратегий каждого игрока. Такие результаты не были получение ни в одной из упомянутых ранее работ [1,2,4] по стратегическим рыночным играм.

Перед непосредственным переходом к рассмотрению самой работы хочется выразить благодарности людям, без которых эта работа не состоялась бы в таком виде, в каком она есть. В первую очередь, моему научному и идейному руководителю, Левандо Дмитрию Владимировичу. Следом за ним помощнику и соавтору в программировании решения задачи на Wolphram Mathematica, Сахарову Максиму Константиновичу. И, наконец, Бурмана Юрия Михайловича, внесшего вклад в решение проблемы с тензорной алгеброй, возникшей в процессе вычислений.

Глава 1. Необходимые теоретические сведения из математического и функционального анализа, тензорной алгебры и теории игр

В работе используются определения, методы и факты, которые необходимо знать для четкого понимания всех аспектов работы. Поэтому приведем ниже самые основные и не упомянутые далее по тексту работы определения, методы и факты.

Математический и функциональный анализ

Уравнения Фредгольма первого рода и регуляризация Тихонова

Уравнение Фредгольма первого рода, где ядро  и функция заданы, а функцию необходимо найти, относится к классу некорректных задач [3,5]. Поэтому его решение требует использование методов регуляризации. Одним из таких методов является метод регуляризации Тихонова. Метод регуляризации Тихонова заключается в возмущении исходной матрицы А в матричном уравнении  Применение метода к классу некорректных задач, в ом числе задач решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода было взято из [5].

Тензорная алгебра

Пусть у нас есть тензор  размерности . Тогда T может быть представлен в виде

,

где  являются матрицами , определенными . Такая операция над тензором третьего ранга будет называть уплощением. Структура уплощения тензоров третьего ранга может быть различной, например [7]:

,

.

Использование такой операции было необходимо для произведения вычислений численного решения задачи максимизации стратегической рыночной игры.

Определения из теории игр

Чистая стратегия - определенная реакция игрока на возможные варианты поведения других игроков.

Смешанная стратегия - вероятностная (не определенная точно) реакция игрока на поведение других игроков.

Равновесие по Нэшу

Пусть есть множество игроков . Пусть для обоих игроков есть набор стратегий  соответственно. Пусть определены функции выигрыша для игроков .

Тогда s называется ситуацией равновесия (Нэша), если выполняется следующее условие:

По сути, это означает, что ситуации равновесия ни одному из игроков в отдельности менять стратегию не выгодно. Или, другими словами, в ситуации равновесия стратегия равновесия каждого игрока является его оптимальным ответом на стратегии других игроков.

Глава 2. Построение модели и индивидуального спроса на деньги в рамках стратегических рыночных игр

2.1 Построение модели и постановка игры

Введение базовых понятий и переменных

Опишем рассматриваемую модель как стратегическую игру. Игра одноходовая (хотя легко может быть трансформирована в многоходовую, но анализ результатов будет уже совершенно иной задачей). В игре задается набор игроков , то есть участвуют двое игроков: Игрок 1 и Игрок 2. Также в игре есть участник, которого мы не рассматриваем, как игрока, а рассматриваем как «механизм», работа которого в модели строго задана и роль его важна - это Банк (по сути, Банк - внешний фактор игры). Предметом торговли в экономике будет множество потребительских товаров , то есть будет два различных типа потребительских товаров: товар А и товар В. Плюс в экономике присутствует третий товар - деньги. У каждого игрока есть количество запасов товара А и товара В. Количество запасов товаров будет обозначаться следующими переменными:

 - количество товара А в запасе у  игрока,

 - количество товара В в запасе у  игрока,

Где

. (1)

И введем переменные для обозначения агрегированного количества запасов, находящихся в модели:

, где .           (2)

Далее введем ряд понятий, используемых в работе и необходимых для дальнейшей постановки игры: предложение на продажу, ставка на покупку и ставка на кредит. Введем понятие предложения в рассматриваемой игре. Здесь и далее под предложением на продажу будет пониматься предложенное игроком количество имеющегося у него в запасе товара, которое он готов и может продать другому игроку. Введем следующие переменные для обозначения предложений на продажу игроков:

- предложение на продажу товара А, сделанное Игроком 1;

- предложение на продажу товара А, сделанное Игроком 2;

- предложение на продажу товара B, сделанное Игроком 1;

 - предложение на продажу товара B, сделанное Игроком 2;

. (3)

Введем понятие ставки на кредит. Здесь и далее под ставкой на кредит игрока будет пониматься количество денег, которое игрок обязуется вернуть банку после завершения игры взамен суммы полученного кредита. Полученные в кредит деньги - банковские деньги. При этом игрок не знает, какую сумму банковских денег он получит в кредит, то есть не знает размер кредита. Такая ставка на кредит по своей сути напоминает вексель - письменное долговое обязательство, установленной формы, наделяющее его владельца (в нашем случае банк) безоговорочным правом требовать с векселедателя (игрока) безусловной оплаты указанной суммы денег к определенному сроку. Введем следующие переменные для обозначения ставок на кредит игроков:

 - ставка на кредит, сделанная Игроком 1;

 - ставка на кредит, сделанная Игроком 2;

где .- количество денег Банка, которое он выделяет под цели кредитования игроков, .

Вместе с переменными для обозначения ставок на кредит для каждого игрока введем параметры наказания за невыполнение договора займа (за дефолт):

, где .                           (4)

Введем понятие ставки на покупку. Здесь и далее под ставкой на покупку будет пониматься предложенное игроком количество банковских денег, определение которых будет дано позже, которое он может и готов отдать на покупку определенного товара у другого игрока. Введем следующие переменные для обозначения ставок на покупки игроков:

- ставка на покупку товара А, сделанная Игроком 1;

- ставка на покупку товара А, сделанная Игроком 2;

- ставка на покупку товара B, сделанная Игроком 1;

 - ставка на покупку товара B, сделанная Игроком 2;

.                      (5)

Для обоих понятий введем также дополнительные переменные для обозначения агрегированных показателей:

,

.                         (6)

2.2 Формирование цены товара

Введем переменные для обозначения цены товаров А и B:

 - цена на товар А,