Курсовая работа (т): Теория спиновых волн в ферромагнетике с периодической доменной структурой

Теория спиновых волн в ферромагнетике с периодической доменной структурой

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: «Теория спиновых волн в ферромагнетике с периодической доменной структурой»

Содержание

Введение

. Постановка задачи

2. Приведение квадратичной формы  к диагональному виду       

. Нахождение элементарных возбуждений и их энергетического спектра

Выводы

Список литературы

Введение

В настоящее время одной из актуальных проблем физики твердого тела является изучение различных дефектов в кристаллических структурах и влияние их на свойства веществ. Магнитные дефекты, как и кристаллографические, могут быть точечными или протяженными.

Цель данной работы - создание общей схемы применения метода вторичного квантования для нахождения спектра элементарных возбуждении в ферромагнетиках с простейшей доменной структурой при учете дипольной энергии. Предлагаемая схема позволяет с единой точки зрения рассматривать некоторые кинетические, релаксационные и другие явления в ферромагнетиках с доменной структурой. Кроме того, такое рассмотрение облегчает изучение влияния других, более сложных, протяженных дефектов в ферро-антиферромагнетиках на их физические свойства.

1. Постановка задачи

Будем рассматривать неограниченный ферромагнетик. Допустим, что спины лежат в плоскости  параллельно оси , ось  направим вдоль оси . Феноменологический гамильтониан для таких ферромагнетиков можно записать так:

,            (1.1)

где ;  - локальная намагниченность;  - намагниченность насыщения;  и  - произвольные постоянные. В уравнении (1.1) первое слагаемое является энергией обмена, второе - энергия анизотропии, третье - магнитодипольной энергией.

Для решения данного уравнения требуется найти все три слагаемых.

Для простоты ограничимся рассмотрение случая, когда образец состоит из плоскопараллельных доменов, разделенных переходными слоями (рис. 1), в состоянии равновесия все домены имеют одинаковую толщину (доменная структура типа Широбокова), в переходном слое .

Для определения равновесной намагниченности  минимизирует . В блоховском приближении , , ; ;  получаем:

,  - толщина доменной границы              (1.2)

Согласно общей схеме, в гамильтониане (1.1) перейдем от классических величин к операторам , которые удовлетворяют соотношениям коммутации

,   - величина спина,     (1.3)

где , ,  принимают значения 1, 2, 3 в циклическом порядке;  ( - постоянная Планка, ,  - фактор Ланде); - единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

В исходной системе координат  ось квантования не фиксирована. Так как распределение намагниченности получилось неоднородным, а с другой стороны имеется представление , , , то необходимо перейти в систему отсчета в которой каждый спин поляризован вдоль оси . Поэтому в неоднородном случае удобно перейти к локальной системе координат, в которой ось  - направлена вдоль равновесного вектора , ось  остается без изменения (рис. 2). Такая система координат поворачивается вокруг оси  вместе с . Тогда ось  можно принять за ось квантования. Следовательно необходимо в каждой точке повернуть систему на соответствующий угол зависящий от .

                     (1.4)

где . Легко проверить, что при таких преобразованиях соотношения (1.3) сохраняются. Дальнейшие вычисления оказываются более простыми, если считать величины ,  и  функциями координат , ,.

Доменные границы могут совершать малые колебания около их положения равновесия. Устойчивость доменных границ по отношению к смещению будем учитывать путем добавления к гамильтониану (1.1) квазиупругой энергии. Строго говоря, добавление такого члена в гамильтониане оправдывается только в пределах переходного слоя. Однако в модели Широкобокова нет резкой границы между переходным слоем и доменами. Кроме того, ввиду малости члена  по сравнению с энергией анизотропии наличие его в гамильтониане не может оказать существенного влияния на определение движения спинов в пределах доменов. В общем случае аналогичный член в гамильтониане обуславливается магнитоупругими силами в образце. При более точном описании движения спинов следует взять в гамильтониане главные члены магнитоупругой энергии.

Подставляем в (1.1) вместо  его проекции в движущейся системе координат :

,

,

.

;        .

При вычислении слагаемого с  заметим, что .

,

тогда

.

,

; ;

;       

Исходя из того что:

,

.

Таким образом энергия обмена … в общем виде

,

но для нашего случая  примет вид

.

Проведем также учет магнитодипольного взаимодействия.

;

;

учитывая что

,  ,

пересчитываем  согласно формуле, получаем

.

Следовательно

.

Но такой вид магнотодипольной энергии неудобен для дальнейших вычислений. Рассмотрим винтеровское приближение (). В нулевом приближении магнитодипольная энергия равна нулю. Перераспределив , мы можем записать энергию анизотропии:

.

.          (1.5)

. Приведение квадратичной формы  к диагональному виду

В общем случае квадратичная форма  имеет весьма сложное выражение, диагонализация ее с учетом  представляет очень трудную задачу. Для системы в состоянии равновесия, отвечающей минимуму энергии в соответствии с (1.5) равновесное распределение дается (1.2). Если же систему выводят из этого состояния, то возникают колебания намагниченности в каждой точке ферромагнетика. Представим энергию возбуждения в виде энергии магнонов и вычислим спектр возбуждений. Вводим бозе-операторы рождения -  и уничтожения , подчиняя их коммутативным соотношениям:

;               

;              

;               

.               (2.1)

Для операторов , ,  используем представление Хольштейна-Примакова:

; ; .

В данном случае

.

Но так как в нулевом приближении , то имеем

; ;                  (2.2)

При учете последующих слагаемых в разложении по степеням  (что справедливо вообще говоря, для больших значений ) возникают более высокие степени операторов. Для их правильной записи в  необходимо ввести упорядочение  левее в это делается с помощью коммутационных соотношений:

. 1.

.

В выражениях , ,  отбросим слагаемые степени :

;

;

.

 -

обменное взаимодействие

Перегруппируем слагаемые и представим  в виде:

,

где

,

.