Материал: Типовой расчет по статистике. Методические указания для организации самостоятельной работы

Пример 5. Представить выборку 55 наблюдений в виде таблицы частот, используя 7 интервалов группировки.

Выборка: 17 19 23 18 21 15 16 13 20 18 15

20 14 20 16 14 20 19 15 19 16 19

15 22 21 12 10 21 18 14 14 17 16

13 19 18 20 24 16 20 19 17 18 18

21 17 19 17 13 17 11 18 19 19 17

Построить полигон и гистограмму частот, полигон относительных накопленных частот и эмпирическую функцию распределения.

Решение. Считаем размах: w = 24 – 10 = 14. Длинна интервала группировки . Результаты группировки сведены в таблицу частот группированной выборки (табл. 4). По результатам группировки строим полигон частот (рис. 6), гистограмму (рис.7), полигон относительных накопленных частот строится аналогично, эмпирическую функцию распределения (рис. 8).

Таблица 4

Рис. 6. Полигон частот

Рис. 7. Гистограмма частот

Рис. 8. Эмпирическая функция распределения

Пример 6. Вычислить среднее и дисперсию группированной выборки, представленный в табл. 5.

Таблица 5

Решение. Длинна интервала группировки b = 4, значение середины интервала, встречающееся с наибольшей частотой, . Таким образом, преобразование последовательности середин интервалов выполняется по формуле:

Вычисления удобно свести в таблицу (табл. 6),

Таблица 6

последний столбец которой служит для контроля вычислений при помощи тождества:

Подставляя в тождество данные последней строки получим: 58 + 2(–6) + 53 = 99, следовательно, вычисления выполнены верно. Находим:

Переходим обратно от u к x:

.

Пример 7. Измерения ёмкости затвор–сток у 20 полевых транзисторов дали следующие результаты:

1,9; 3,1; 1,3; 1,0; 3,2; 1,1; 2,9; 2,7; 2,7; 4,0; 1,7; 3,3; 0,9; 0,8; 3,1; 1,2; 2,6; 1,9; 2,3; 3,3.

Найти выборочное среднее , выборочную дисперсию и несмещенную дисперсию .

Решение. При большом объеме выборки рекомендуется сначала сгруппировать результаты наблюдений. Это вносит определенную погрешность в дальнейшие вычисления, но существенно их упрощает.

Размах выборки W_x . Разобьем на 8 интервалов, тогда длина каждого интервала будет равна b_x Для вычисления искомых параметров распределения воспользуемся формулами:

₍₂₎

где r – число интервалов, – количество элементов выборки, находящихся в i-м интервале, – середина этого интервала. Промежуточные результаты вьчислений для удобства сведем в таблицу и вычислим сначала и (см. последнюю строку табл. 7).

Таблица 7

Затем по формулам (1) – (3) получаем

Решите примеры 8,9,10 используя данные своего варианта. Исходные данные приведены в Приложении 1, табл. 1, 2, 3.

8. Ошибки измерения при 10 измерениях дальности до цели с помощью радиодальномера приведены в табл. 1. Записать выборку в виде вариационного и статистического ряда, определить ее размах, построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения, найти выборочное среднее, несмещенную оценку дисперсии.

9.Частота сигнала собранного радиоэлектронного блока контролируется прибором, не имеющим систематической ошибки. Показатели прибора приведены в табл. 2. Сгруппировать выборку, построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения, найти , и .

10. Регистрирующее устройство контроля каждый час фиксирует напряжение в сети. В табл. 3 приведены данные полученные после первичной обработки выборки. Построить гистограмму и найти , и .

2. Статистические оценки параметров распределения двумерного случайного вектора

Пример1. Вычислить выборочные средние , , несмещенные оценки дисперсий , и коэффициент корреляции для выборки

Решение. Для расчетов воспользуемся формулами

, (4)

где n – объем выборки, n_ij – частота появления пары элементов (x_i, y_j) выборки; n_i – частота появления элемента x_i (при любом y); n_j – частота появления элемента y (при любом x).

В рассматриваемом примере среди значений x_i, y_j нет повторяющихся, поэтому

Вычисления удобно свести в таблицу.

Таблица 8

Последний столбец таблицы служит для контроля вычислений с помощью тождества

(В данном случае: 530 = 334 + 2∙86 + 24).

Используя данные из последней строки и учитывая (8), по формулам (4)–(7) получаем

Пример 2. В табл. 9 приведены результаты измерений двух физических величин в ходе некоторого эксперимента

Таблица 9

Вычислить средние, несмещенные оценки дисперсий и коэффициента корреляции, предварительно сгруппировав выборку и составив корреляционную таблицу.

Решение. Определим размах выборки по х и по у

В данном случае для группировки элементов выборки удобно использовать четыре интервала по х и два интервала по у. Определим длины интервалов группировки

Группировку выборки можно производить по диаграмме рассеивания (см. рис. 9). Для построения этой диаграммы нанесем элементы выборки (x_i, y_j) в виде точек на плоскость с выбранной системой координат.

Рис. 9

Будем считать, что элементы выборки, которые попали на границу двух соседних прямоугольников, относятся к верхнему или к правому прямоугольнику, и составим корреляционную таблицу.

Таблица 10