Материал: Типовой расчет по статистике. Методические указания для организации самостоятельной работы

Здесь x_i^*, y_j^* – означают середины интервалов группировки. В клетках таблицы записываются частоты (то есть число пар исходной выборки, попавших в данный прямоугольник) для каждого прямоугольника на диаграмме рассеивания.

Для вычисления искомых оценок параметров распределения по сгруппированной выборке можно использовать те же формулы (4)–(7), в которых x_i, y_j следует заменить на x_i^*, y_j^*, а , , – на частоты попадания элементов выборки в соответствующие интервалы , , .

Однако, если x_i^*, y_j^* достаточно велики, то для упрощения вычислений рекомендуется ввести вспомогательные случайные величины

где d_x, d_y – наиболее часто встречающиеся значения x_i^* и y_j^*. Найти их параметры распределения по формулам, аналогичным (4)–(7), а затем воспользоваться соотношениями

(11)

В заданном примере .

Результаты промежуточных вычислений представим в виде таблицы (табл. 11).

По формулам (4) - (7) используя найденные в таблице вспомогательные суммы ,,,, и вычислив имеем

Таблица 11

Возвращаясь к заданным случайным величинам, по формулам (11) получим

Пример 3. По выборке из примера 2 оценить параметры линейной регрессии X на Y и Y на X и составить уравнения прямых регрессии.

Решение. Уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y были получены в курсе теории вероятностей и имеют вид

Заменяя в этих уравнениях числовые характеристики m_x, m_y, , , r_xy их статистическими оценками, получим

(12)

(13)

Подставляя в эти уравнения найденные в предыдущем примере значения , , S_x, S_y, r_xy имеем

Отсюда следует, что уравнения линейной регрессии Y на X и X на Y имеют соответственно вид

Отметим, что эти прямые пересекаются в точке (). Угол между ними уменьшается при увеличении , а при = 1, прямые регрессии совпадают.

Решите примеры, используя данные своего варианта, приведенные в Приложении 2, табл. 1,2.

4. В ходе некоторого эксперимента были многократно измерены две физические величины X и Y. Результаты измерений записаны в таблицу. Обработайте результаты эксперимента по следующему плану:

1) постройте диаграмму рассеивания;

2) составьте корреляционную таблицу;

3) вычислите средние, несмещенные оценки дисперсий среднеквадратичных отклонений и оцените коэффициент корреляции;

4) составьте уравнения прямых регрессии и нанесите эти прямые на диаграмму рассеивания.

5. Вычислить выборочные средние , , несмещенные оценки дисперсий , и коэффициент корреляции для выборки, представленной в табл. 2 приложения 2.

3. Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания а нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

Где =δ – точность оценки, n - объем выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

2. При неизвестном σ (и объеме выборки n<30)

,

где s - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t находят по таблице квантилей распределения Стьюдента по заданным n и γ.

Пример 1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратичное отклонение σ = 5, выборочная средняя = 14 и объем выборки n = 25.

Решение. Требуется найти доверительный интервал

,

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,95/2=0,475. По таблице находим t = 1,96. Подставив t = 1,96, = 14, σ = 5, n = 25, окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04 < a < 15,96.

Пример 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10, представленная в табл. 12.

Таблица 12

варианта xi	-2	1	2	3	4	5
частота ni	2	1	2	2	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратичное отклонение найдем соответственно по формулам:

, .

Подставив в эти формулы данные задачи, получим = 2, s = 2,4. Найдем t_γ. Пользуясь таблицей, по γ = 0,95 и n = 10 находим t_γ = 2,26. Найдем искомый доверительный интервал:

.

Подставляя в эти формулы данные задачи, получим = 2, t_γ = 2,26, s = 2,4, n= 10, получим искомый доверительный интервал 0,3< a < 3,7, покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.

3. Пусть известно, что контролируемое напряжение в задаче 10 параграфа 1 распределено по нормальному закону. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a.

Библиографический список

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике/ В.Е.Гмурман. М.: Высш. шк., 1998.

2. Сборник задач по математике для втузов. Теория вероятностей и математическая статистика / под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990. Т. 3. 432 с..

3. Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика/ А.М.Андронов, Е.А. Копытов, Гринглаз Л.Я. Питер, 2004. 460 с.

Приложение 1

Таблица 1