Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

11.4. Собственная энергия электрона

669

å

*

(p) =

ie2 X

4

2i(p - k/ )

+ 4m

1LOOP

Y d

k

e

(2p)4 Z

/

X1

L

1

´ Y

dxM

- px)2 + p2 (1 - x)

+ m2x + m2

(1 - x) - ie)2

Y

M((k

Z0

N

e

(11.4.6)

-

1

O

P .

((k - px)2 + p2x(1 - x) + m2x + m2 (1 - x) - ie)2

P

e

Q

Совершая сдвиг переменной интегрирования k ® k + px и повора-

чивая контур интегрирования, получим

å

*

(p) =

-2p2e2 X1

[2i(1 - x)p + 4m

X∞

dk k

3

Y dx

]Y

1LOOP

(2p)4 Z0

/

e Z0

L

1

1

O

´ M

-

P .

+ p2x(1

- x) + m2x)2

(k2

+ p2x(1

- x) + m2x + m2

(1 - x))2

M(k2

P

N

e

e

Q

Интеграл по k тривиален:

(11.4.7)

å*

(p) =

-p2e2

X1 dx

[2i(1 - x)p + 4m

]

e

1LOOP

Y

/

(2p)4 Z0

F p2x(1 - x) + me2x + m2 (1 - x)I

(11.4.8)

´ lnG

J .

2

2

H

p

x(1 - x) + mex

K

Контрчлены (11.1.9) также вносят вклад в å* в виде перенормирующих слагаемых −(Z2 − 1)(ip/ + me ) + Z2δme , ãäå Z2 è dme определяются условием, что точный пропагатор S′(p), рассматриваемый как функция ip/ , должен иметь полюс при ip/ = −me с единичным вычетом. (В следующей главе мы увидим, что это условие делает å* конечнымпри m ® ¥ во всех порядках по е.) В низшем порядке находим:

dme = - å1* LOOP |ip/ = −m

e

2mep2e2 X1

F me2x + m2 (1 - x)I

(11.4.9)

=

Y dx (1

+ x) lnG

J

,

(2p)

4

2

Z0

H

me x

K

670

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

Z2 - 1 = -

= - 2p2e2

(2p)4

¶ å1* LOOP

i ¶p/ |ip/ = −me

|

F m

x + m

(1 - x)I

X

1

R

- x) ln

2

2

-

dx

(1

G

e

J

2

Y

S

Z0

|

H

me x

K

T

2m

2

(1 - x)

2

(1

U

+ x) |

V .

x(me2x + m2 (1

- x)) |

W

(11.4.10) (В этом порядке нет разницы между dme è Z2dme.) Опуская слагаемые, обращающиеся в нуль при m2 ® ¥, получаем из (11.4.8)−(11.4.10):

å1* LOOP

(p) =

-p2e2

(2p)4

X1 dx

[2i(1 - x)p + 4m

] lnF

m2 (1 - x)

I ,

Y

/

e

G

2

2

J

Y

Z0

H p

x(1 - x) + me xK

(11.4.11)

2mep2e2 X1

F m2 (1 - x)I

dme

=

Y

dx (1 + x) lnG

J ,

(11.4.12)

(2p)

4

2

2

Z0

H mex

K

Z - 1

= -

p

X

dx

(1

- x) lnF m

-

I -

-

x2 ) U

.

2

2e2

Y

1

R

2 (1

x)

2(1

2

S

G

J

V

(11.4.13)

(2p)

4

2

2

x

Z0

T

H

mex

K

W

Видно, что в точной собственно-энергетической функции слагаемые с ln m2 сокращаются, и мы приходим к выражению

å*порядок e2 (p) = å1* LOOP

2

e

2

X1

R

=

-2p

Y dx

|

-

S[i(1

(2p)4

Y

|

T

Z0

F 1

- xI

-me(1

+ x) lnG

J

- (

H

x2 K

(p) - (Z

2

- 1)(ip + m

) + Z dm

e

/

e

2

x)p + 2m

] lnF

me2 (1 - x)

I

e

2

J

/

G 2

L

H p

x(1 - x) + me xK

- x

2(1 - x

2

ip + m

) (1 - x) lnF

1

I -

)

/

e

M

G

J

N

H x2 K

x

OU

|

PV Q|W

(11.4.14)

.

Приложение

671

Все еще остается расходимость в последнем слагаемом при x → 0.

Можно проследить, что она связана с сингулярным поведением интеграла (11.4.5) по фотонному импульсу k при k2 = 0, когда при вы- числении Z2 − 1 мы берем р2 в точке p2 = −me2. Детальное обсуждение

таких инфракрасных расходимостей дано в гл. 13. Сейчас для нас самое главное, что сократились ультрафиолетовые расходимости.

* * *

Результат (11.4.9) для δme интересен сам по себе. Заметим, что δme/ me > 0, как и следовало ожидать для электромагнитной собственной энергии, обязанной своим происхождением взаимодействию заряда с собственным полем. Однако, в противоположность классиче- ским оценкам электромагнитной собственной энергии, выполненным Пуанкаре, Абрагамом и др. 9, в формуле (11.4.9) содержится только логарифмическая расходимость в пределе μ → ∞, когда сни-

мается обрезание. В этом пределе

δme

→

6meπ2e2

F

μ

I

lnG

J .

(11.4.15)

(2π)4

H me

K

При вычислении лэмбовского сдвига в разделе 14.3 нас будет интересовать противоположный предел μ n me. В этом случае из (11.4.9)

получаем

δm

→

e2μ L

−

μ

+ . . .

O

(11.4.16)

1

P

.

8π

2πm

e

M

N

e

Q

Приложение. Некоторые инегралы

Чтобы объединить знаменатели N пропагаторов, необходимо заменить произведение типа D1−1 D2−1... DN−1 на интеграл от функции,

содержащей линейную комбинацию D1, D2, ..., DN. С этой целью часто удобно воспользоваться формулой

672

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

1

1

1

1

=

(N - 1)! z0 dx1 z0 dx2 . . . z0 dxN−1

D D . . . D

1

2

N

(11.À.1)

´D1xN−1 + D2 (xN−2 - xN−1)+. . .+DN (1 - x1) −N .

Âэтой главе мы использовали частные случаи этой формулы при N = 2 и N = 3.

После объединения знаменателей, сдвига переменной интегрирования, виковского поворота и учета инвариантности относительно четырехмерных вращений, мы обычно приходим к интегралам вида

X

(k2 )n

Y d4k

,

(k2 + n2 )

m

Z

ãäå (k2 + n2)m возникает от объединения знаменателей, а (k2)n − îò

числителей пропагаторов и импульсных множителей в вершинах. Такие интегралы расходятся при 2n+4 ³ 2m, но их можно сделать

конечными, аналитически продолжая по размерности пространст- ва-времени от 4 к комплексному значению d. Для вычисления полу- чающегося интеграла используем хорошо известную формулу

X

∞

kl−1

= nl−2m

G(l / 2)G(m - l / 2)

Y

dk

,

(11.À.2)

(k2 + n2 )

m

Z0

2G(m)

где l = d + 2n. В разделе 11.2 использовались частные случаи этой формулы при n = 0, m = 2 и n = 1, m = 2.

Ультрафиолетовые расходимости проявляются в (11.А.2) как полюсы в множителе G(m−l/2) = G(m−n−d/2) ïðè d ® 4 и фиксирован-

ном целом n. В случае 2 + n = m этот множитель ведет себя как

F 4

− dI

2

GG

J

®

+ g ,

(11.À.3)

d - 4

H

2 K

ãäå g = 0,5772157... − постоянная Эйлера. Предельное поведение для

случая 2 + n > m можно найти из (11.А.3) и рекуррентных соотношений для гамма-функций.

Список литературы

673

Задачи

1. Вычислите вклады в функцию поляризации вакуума p(q2) è â

Z3 однопетлевых диаграмм, содержащих заряженные бесспиновые частицы массой ms. Какое влияние окажут эти поправки на сдвиг уровней 2s состояния в атоме водорода, если ms . Zame?

2.Пусть взаимодействие нейтрального скалярного поля j массой

mϕ с полем электронов имеет вид gj`yy. Какое влияние окажет

это взаимодействие в однопетлевом приближении на магнитный момент электрона и величину Z2?

3.Рассмотрите нейтральное скалярное поле j массой mϕ и самодействием gj3/6. Рассчитайте матричный элемент S-матрицы для скаляр-скалярного рассеяния в однопетлевом приближе-

íèè.

4.Рассчитайте в однопетлевом приближении влияние нейтраль-

ного скалярного поля из задачи 2 на поправку dme к массе элек-

трона.

Список литературы

1.Feynman, R.P., Phys. Rev., 76, 769 (1949).

2.Wick, G.C., Phys., Rev., 80, 268 (1950).

3.¢t Hooft, G. and Veltman, M., Nucl. Phys., B44, 189 (1972).

Phys. Lett., 20, 682 (1966); 21, 720 (1966); Erickson, G.W. and Liu, H.H.T., UCD-CNL-81 report (1968).

4.Uehling, E.A., Phys. Rev., 48, 55 (1935). Однопетлевая функция p(q2) впервые была вычислена при q2 ¹ 0 в работе: Schwinger,

J., Phys. Rev., 75, 651 (1949).

5.Schwinger, J., Phys. Rev., 73, 416 (1948).

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)