Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 716-720

11.3. Аномальные магнитные моменты

659

	μ	(p′, p)u =	−4π2e2	X1	Xx	X∞	3	dκ

u′Γ1LOOP			(2π)4	Y	dx Y	dy Y	κ
				Z0	Z0	Z0


	′oγ μ		−κ2 + 2m2 (x2 − 4x + 2) + 2q2 (y(x − y) + 1 − x)

u
+4imp′μ (y − x + xy) + 4impμ (x2 − xy − y)su					(11.3.6)
×		κ2 + m2x2 + q2y(x − y)		−3
				−3
				.

Воспользуемся теперь симметрией последнего множителя в подынтегральном выражении относительно отражения y → x − y. В результате такого отражения функции y − x + xy è x2 − xy − y, на которые умножаются p′μ è pμ соответственно, меняются местами,

поэтому их можно заменить на среднее

1 (y

− x + xy)

+

1

(x2

− xy − y) = −

1

x(1 − x) .

2

Окончательно получаем

μ

−4π2e2 X1

Xx

X∞

3

u′Γ1LOOP

(p′, p)u =

Y

dx Y

dy Y

κ

dκ

(2π)4

Z0

× u′oγ μ −κ2 + 2m2(x2 − 4x + 2) + 2q2(y(x − y) + 1 − x) (11.3.7)

−2im(p′μ + pμ )x(1 − x)su κ2 + m2x2 + q2y(x − y) −3 .

Заметим, что теперь pμ è p′μ входят только в комбинации pμ + p′μ,

как и требуется сохранением тока.

Необходимо принять во внимание и другие диаграммы. Конеч- но, в Γμ есть вклад нулевого порядка γμ . Слагаемое, пропорцио-

нальное (Z − 1), в контрчленах (11.1.9) дает в Γμ вклад
2
Γμ	= (Z − 1)γ μ .	(11.3.8)
L 2	2

Кроме того, поправка во внешний фотонный пропагатор дает слагаемое

660		Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД
	μ	′		1	μν		′

			, p) =	(p′ − p)2 − iε Π				− p) γ ν .	(11.3.9)
	Γполяриз. вак.(p		, p) =	(p′ − p)2 − iε Π		(p		− p) γ ν .	(11.3.9)

Форма каждого из этих слагаемых находится в согласии с общим результатом (10.6.10) (с H(q2) = 0):

L

i

O

u′Γμ (p′, p)u = u′Mγ μF(q2 )

−

(p

+ p′)μ G(q2 )Pu .

(11.3.10)

N

2m

Q

В порядке е2 форм-факторы имеют вид:

2

4π2e2 X1

Xx

X

∞

3

F(q

) =

Z2 + π(q

) +

Y

dx Y dy Y

κ dκ

(2π)4 Z0

Z0

×

κ2 − 2m2 (x2 − 4x + 2) − 2q2 (y(x − y) + 1 − x)

,

(11.3.11)

κ2 + m2x2 + q2y(x − y)

3

2

) =

−4π2e2 X1

Xx

X∞

4m2x(1 − x)κ3dκ

G(q

Y dx

Y

dy Y

,

(11.3.12)

π

4 Z

Z

κ

2

x

2

+ q

2

y(x − y)

3

(2 )

0

+ m

ãäå π(q2) − функция поляризации вакуума (11.2.22).

Интеграл, определяющий форм-фактор G(q2), конечен и ра-

âåí

	2	) =	−e2m2	X1	Xx	x(1 − x)
G(q				Y	dx Y dy		.	(11.3.13)
			4π2
				Z0	Z0	m2x2 + q2y(x − y)

Это позволяет сразу вычислить аномальный магнитный момент. Как отмечалось в разделе 10.6, в магнитный момент дает вклад только слагаемое, пропорциональное γμ, так что результатом радиацион-

ных поправок является умножение дираковского значения магнитного момента e/2m на F(0). Однако определение е как истинного заряда лептона требует, чтобы

F(0) + G(0) = 1,

(11.3.14)

так что магнитный момент можно записать в виде

11.3. Аномальные магнитные моменты					661
μ =		e		− G(0)f .	(11.3.15)
			a1
	2m
Из (11.3.13) находим, что
−G(0) =		e2		= 0,001161 .	(11.3.16)
		8π2

Это знаменитая поправка α/2π, впервые вычисленная Швингером 5.

Конечно, это лишь первая низшая радиационная поправка к магнитному моменту. Уже в следующем, четвертом порядке по е количество слагаемых столь велико, что вычисления становятся довольно сложными. Однако из-за большой величины отношения масс мюона и электрона, существует одна поправка четвертого порядка к магнитному моменту мюона, которая несколько больше всех остальных. Она возникает от включения электронной петли в линию виртуального фотона в диаграмме второго порядка (см. рис. 11.5). Включение этой петли приводит к замене фотонного пропагатора 1/k2 â (11.3.1) íà (1 + πe(k2))/k2, ãäå πe(k2) дается формулой (11.2.22),

а масса m полагается равной массе электрона:

	e2		X1		F		k2x(1 − x)I
πe(k2 ) =			Y	x(1	− x) lnG1	+		J dx .
	2π	2					2
			Z0		H		me	K

Рис. 11.5. Двухпетлевая диаграмма для магнитного момента мюона. Жирная прямая линия изображает мюон, тонкая волнистая — фотон, остальные тонкие линии — электроны. Эта диаграмма дает относительно большой вклад в четвертом порядке в гиромагнитное отношение для мюона, пропорциональный ln(mμ/me).

662	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

Анализ выражения (11.3.12) показывает, что при вычислении мюонного магнитного момента эффективное обрезание импульса виртуального фотона k равно mμ. Отношение mμ/me столь велико, что при k2 порядка mμ2 можно приближенно записать

e2

X1

F mμ2 I

e2

F mμ2 I

πe

(k2 )

Y x(1 − x)dx ln

=

ln

,

2π2

G m2

J

12π2

G m2

J

(11.3.17)

Y

Z0

H

e

K

H

e

K

где отброшенные слагаемые содержат вместо ln(mμ2/me2) коэффи-

циенты порядка единицы. Полученное выражение есть константа, поэтому изменение в − G(0), обусловленное добавлением электрон-

ной петли в виртуальную фотонную линию, определяется умножением предыдущего результата (11.3.16) для − G(0) на фактор (11.3.17),

òàê ÷òî

e

F

e2

e4

L

mμ2

OI

μμ

=

G

+

Mln

+ O(1)PJ .

(11.3.18)

8π

2

96π

2

2mμ H

M

me

PK

N

Q

(В т. II мы увидим, что это рассуждение есть упрощенная версия метода ренормруппы.) Формулу (11.3.18) можно сравнить с точным результатом расчета до четвертого порядка включительно 6:

		e	F	e2			e4		L	mμ2
μμ	=		G			+			Mln
μμ	=		G	8π	2	+	96π	2	Mln	2
		2mμ H		8π			96π		M	me
									N

− 25 + 197 + π2 + 9ζ(3) − 3π2 6 24 2 2

F m

ln 2 + OG e

H mμ

I OI	(11.3.19)
J PJ .
K QK

Оказывается, что слагаемые порядка О(1) вносят величину −6,137 в коэффициент при e4/96π2, что немногим меньше, чем ln(mμ2/me2)

= 10,663, так что приближение (11.3.18) определяет вклад четвертого порядка с точностью до множителя порядка 2. Точный результат четвертого порядка (11.3.19) приводит к значению μμ = 1,00116546(e/2mμ),

что можно сравнить с результатом расчета до второго порядка включительно μμ = 1,001161(e/2mμ) и последним экспериментальным результатом 7 μμ = 1,001165923(e/2mμ).

11.3. Аномальные магнитные моменты

663

Обратимся к другому форм-фактору. Интеграл в выражении (11.3.11) для F(q2) содержит ультрафиолетовую расходимость. Однако для того, чтобы удовлетворить условию неперенормировки заряда (11.3.14), необходимо, чтобы константа Z2 имела значение

e2

4π2e2 X1

Xx

X

∞

3

Z2 = 1 +

−

Y

dx Y dy Y

κ

dκ

8π2

(2π)4 Z0

Z0

×

κ2

− 2m2 (x2

− 4x + 2)

.

(11.3.20)

κ2 + m2x2

3

(Напомним, что π(0) = 0.) Это выражение также расходится, при-

чем расходящаяся часть имеет вид

− 1)∞ = −

e2 X∞ dκ

(Z2

Y

.

(11.3.21)

κ

8π2 Z

Подставляя (11.3.20) обратно в (11.3.11), получаем

2

) = 1

+

e2

+ π(q

2

+

4π2e2

X1

Xx

X

∞

κ

3

dκ

F(q

)

Y dx Y

dy Y

8π2

(2π)4

Z0

R

κ

2

− 2m

2

(x

2

− 4x +

2) − 2q

2

(y(x − y) + 1

− x)

|

× S

κ2 + m2x2 + q2y(x − y)

3

|

T

(11.3.22)

κ

2

−

2m

2

(x

2

− 4x + 2)

U

−

|

V .

κ2 + m2x2

3

|

W

Теперь интеграл по κ сходится:

2

) = 1

+

e2

+ π(q

2

) +

2π2e2

X1

Xx

F(q

Y dx Y dy

8π2

(2π)4

Z0

R

−

m

2

(x

2

−

4x

+

2)

−

q

2

[y(x

−

y)

+

1

−

x]

x

2

−

4x

+

2

× S

+

m2x2 + q2y(x − y)

x2

T

Lm2x2

+ q2y(x − y) OU

− lnM

PV .

(11.3.23)

m2x2

N

QW

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: