686 |
Глава 12. Общая теория перенормировок |
программа перенормировки. Это так называемые перенормируемые теории, у которых для всех взаимодействий размерности констант связи Di ³ 0. Из формулы (12.1.8) имеем:
D £ 4 - åEf (sf + 1) ,
f
поэтому расходящиеся полиномы возникают только в ограниченном числе типов фейнмановских диаграмм или поддиаграмм с достаточно небольшим числом внешних линий, так что D ³ 0. Вклад
таких расходящихся полиномов точно такой же, какой возник бы после замены расходящейся диаграммы или поддиаграммы единственной вершиной, возникающей от слагаемого в лагранжиане с Ef полями типа f и 0,1,...,D производными. Однако, сравнивая с формулой (12.1.9), видим, что это в точности то же самое, что и взаимодействия, удовлетворяющие требованию перенормируемости Di ³ 0, или, иными словами,
0 £ di £ 4 - å nif (sf + 1) .
f
Для того, чтобы в перенормируемой теории сократились все расходимости, обычно необходимо, чтобы в лагранжиане содержались все перенормируемые взаимодействия, разрешенные требованиями симметрии *. Например, если есть скалярное (или псевдоскалярное) поле j и фермионное поле y со взаимодействиями`yyj (èëè`yg5yj), мы не можем исключить взаимодействие j4,
в противном случае не нашлось бы контрчлена для сокращения логарифмической расходимости от фермионных петель с четырьмя прикрепленными скалярными или псевдоскалярными линиями.
* Кроме того, в лагранжиан могут входить взаимодействия и массовые слагаемые, не разрешенные глобальными симметриями, при условии, что они суперперенормируемы, т. е. имеют i > 0. Дело в том, что наличие суперперенормируемого взаимодействия понижает степень расходимости, так что нарушение симметрии не затрагивает те расходимости, которые сокращаются строго перенормируемыми взаимодействиями с i = 0. Отметим, что именно голые строго перенормируемые взаимодействия должны удовлетворять требованиям данной симметрии; в перенормированных взаимодействиях, определяемых через матричные элементы на массовой поверхности, эффект нарушения симметрии в общем случае проявляется явно.
12. 2. Сокращение расходимостей |
687 |
Рассмотрим более подробно, каким образом происходит сокращение расходимостей в простейшей версии квантовой электродинамики. Из формулы (12.1.11) следует, что единственными диаграммами или поддиаграммами, которые могут приводить к расходящимся интегралам, являются следующие.
Ee = 2, Eg = 1
Это электрон−фотонная вершина Gμ(l) (p¢, p) . (Верхний индекс l указывает, что вершина включает только вклады от диаграмм с петлями.) Для нее индекс расходимости D = 0, так что ее расходящаяся часть не зависит от импульса. В силу лоренц−инвари-
антности расходящаяся константа может быть пропорциональна только gμ, поэтому
Gμ(l) = Lg μ + Gμ( f) , |
(12.2.1) |
где L — логарифмически расходящаяся константа, а Gμ( f) конечна.
Это еще не определяет константу L однозначно, так как всегда можно перенести конечное слагаемое dLgμ èç Gμ( f) â Lgμ. Чтобы
завершить определение, заметим, что, как показано в разделе 9.7, матричный элемент оператора Gμ(p,p), а следовательно и Gμ( f) (р,р), на массовой поверхности между дираковскими спинора-
ми свободных частиц пропорционален такому же матричному элементу оператора gμ, поэтому можно определить L из требования
u( , s¢)G( f) u( , s) = 0 . (12.2.2) p μ p
ïðè p2 + me2 = 0.
Ee = 2, Eg = 0
Это электронная собственно-энергетическая вставка å*(ð).
Для нее D = 1, так что расходящаяся часть линейна по импульсу pμ, который несут входящий или выходящий фермионы. Из лоренц−инвариантности (включая сохранение четности) следует, что она может быть функцией только p/ , так что вклад петли можно
записать в виде
å |
(l) |
/ |
( f) |
/ |
(12.2.3) |
(p) = A - (ip + m)B + å |
(p) , |