Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 754-759

12. 2. Сокращение расходимостей

697

Рассмотрим сначала интегрирование только по р′. Каждое из

первых двух слагаемых логарифмически расходится, однако их разность конечна. Третье слагаемое также логарифмически расходится (при калибровочно инвариантной регуляризации), но расходимость в этом слагаемом (в противоположность двум первым) имеет вид полинома второго порядка по q с конечным остатком. Эта остающаяся расходимость сокращается со слагаемым −(Z3 − 1)(q2ημν − qμqν),

которое уничтожает все слагаемые второго порядка в разложении Π*μν(q). Таким образом, подинтегрирование по р′ приводит к конеч-

ному результату. Из симметрии выражения (12.2.16) следует,

чтоточно таким же образом дает конечный результат подинтегрирование по р. Общего вида подинтегрирования по р и р′ при фикси-

рованном значении ap + bp′ (a è b − произвольные ненулевые кон-

станты) явно сходятся, а результат совместного интегрирования по р и р′ приводится к конечному ответу с помощью включения контр- члена −(Z3 − 1)(q2ημν − qμqν). Таким образом, интеграл (12.2.18) и лю-

бой его подинтеграл удовлетворяют требованиям сходимости по индексу, и поэтому согласно теореме 2, сформулированной в предыдущем разделе, все выражение действительно сходится.

** *

Âэлектродинамике существует естественное определение перенормированных констант связи, масс и полей. Однако так бы-

вает не всегда. Например, рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля ϕ(x) с лагранжианом

L = − 21 ∂λϕ ∂λϕ − 21 m2ϕ2 −	1	gϕ4 .	(12.2.19)
	24

В однопетлевом приближении матричный элемент скаляр−

скалярного рассеяния согласно фейнмановским правилам имеет вид

S(q q → q′q′ ) =

1 2 1 2

−i(2π)	4	δ	4	′	′	− p1 − p2 )
−i(2π)		δ		(p1	+ p2	− p1 − p2 )

(2π)6 (16E′E′ E E )1/2

1 2 1 2

F(q q → q′q′ ) ,

1 2 1 2

(12.2.20)

ãäå

698 Глава 12. Общая теория перенормировок

−i(2π)

4

′ ′

4

1

−i(2π)

4

g

2 L

−i

O

M

P

F(q1q2 → q1q2 ) = −i(2π)

g + 2

π

4

N

Q

(2 )

X

L

1

× Y d4kM

+ k)2

+ m2 − iε

− k)2 + m2 − iε

Y

M

(q

1

(q

2

Z

N

′

O

(12.2.21)

+(q2 → −q1) + (q2 → −q2 )P ,

Q

è q1, q2, q′1, q′2 − входящие и выходящие 4-импульсы. Объединяя

знаменатели и обычным способом поворачивая контур интегрирования по k0, получаем:

g2

X∞

3

X1

2

−2

F = g −

Y

k

dk Y

dx {

k

+ m

− sx(1 − x)

2

16π

Z0

+ k2 + m2 − tx(1 − x) −2 + k2 + m2 − ux(1 − x) −2 }, (12.2.22)

ãäå s, t è u − мандельстамовские переменные

s = −(p	+ p )2	,	t = −(p	− p′ )2	,	u = −(p	− p′ )2	,	(12.2.23)
1	2		1	1		1	2

связанные соотношением s + t + u = 4m2, à x − фейнмановский

параметр, вводимый при объединении знаменателей. Совершая ультрафиолетовое обрезание при k = Λ, приходим к выражению (при Λ . m)

F = g −

g2

X1

R

F

Λ2

I

Y dxSlnG

J

32π

2

− sx(1

Z0

T

H m

− x)K

F

Λ2

I

F

Λ2

I

U

+ lnG

J

+ lnG

J

− 3V .

(12.2.24)

2

H m

− tx(1 − x)K

H m

− ux(1 − x)K

W

Мы можем определить перенормированную константу gR как значение F в любой точке s, t, u, при условии, что мы остаемся в области, где F действительна. Например, предположим, что с целью сохранить симметрию между скалярами, мы выбираем

12. 3. Нужна ли перенормируемость?

699

точку нормировки p2	= p2	= p′2	= p′2	= μ2, s = t = u = −4μ2 / 3 âíå
1	2	1	2

массовой поверхности *. Определяя перенормированную константу gR как значение F в этой точке, имеем

3g2 g = gR + 32π2

L	F	Λ2 I
MlnG		μ	2	J	− 1 −
M	H	μ		K
N

X1	F	4x(1 − x)		m2 I O
Y	dx lnG		+			J P	+ . . .	(12.2.25)
Y	dx lnG	3	+	μ	2	J P	+ . . .	(12.2.25)
Z0	H	3		μ		K P
Z0						Q

Зависимость от обрезания в (12.2.24) сокращается в порядке gR2, и в результате остается конечная формула для F, выраженная через gR:

F = gR −

g2

X1

R

F m2

+ 4x(1 − x)μ2 / 3I

R

Y

dxSlnG

J

2

− sx(1 − x)

32π

Z0

T

H

m

K

F m2 +

4x(1 − x)μ2 / 3I

F m2 + 4x(1

− x)μ2 / 3I U

+ lnG

J

+ lnG

J V

+ . . .

m

2

− tx(1 − x)

m

2

H

K

H

− ux(1 − x) K W

(12.2.26)

Здесь μ2 можно считать любой действительной величиной, большей −3m2, и в этой области gR действительна. Явная зависимость (12.2.26) от μ, конечно, сокращается с зависимостью от μ

перенормированной константы. Эта свобода изменять рецепт перенормировки (которая, конечно, существует и в электродинамике, и в других реалистичных теориях) будет иметь большое значение, когда мы перейдем к рассмотрению в т. II метода ренормгруппы.

12.3.Нужна ли перенормируемость?

Âпредыдущем разделе мы обнаружили специальный класс теорий, в лагранжиане которых имеется лишь конечное чи- сло слагаемых, и к которым тем не менее применима программа

* Проследив еще раз вывод формулы (12.2.25), можно убедиться, что в

нем не использовались условия	2	=	2	=	′2	=	′2	= −	2	, так что форму-
	p1		p2		p1		p2		m

ла (12.2.24) верна при любых значениях масс внешних линий.

700 Глава 12. Общая теория перенормировок

перенормировок. Это теории, в которых все взаимодействия удовлетворяют условию перенормируемости

Di º 4 - di - å nif (sf + 1) ³ 0 ,

f

ãäå di è nif − числа производных и полей типа f во взаимодейст-

âèÿõ òèïà i, à sf есть (с некоторыми уточнениями) спин полей типа f. Чтобы в таких теориях была осуществима перенормировка, обычно еще необходимо, чтобы все разрешенные принципами симметрии перенормируемые взаимодействия действительно содержались в лагранжиане.

Важно, что существует лишь ограниченное число взаимодействий такого типа. Величина Di становится отрицательной, ес-

ли у нас слишком много полей или производных, или полей со слишком большими значениями спина. Если нет специальных сокращений, вообще не существует перенормируемых взаимодействий, включающих поля спина sf ³ 1, поскольку единственное возможное слагаемое в лагранжиане с Di ³ 0, включающее такое

поле вместе с двумя или более другими полями, должно содержать одно поле с sf = 1 и два скаляра без всяких производных, что противоречит лоренц-инвариантности. В т. II мы увидим, что произвольные безмассовые калибровочные поля спина 1 в соответствующей калибровке эффективно имеют sf= 0 как у фотона. кроме того, в т. II будет показано, что даже массивные калибровочные поля могут эффективно иметь sf = 0 в зависимости от того, каким образом они приобрели массу. Если не считать этих особых случаев, в табл. 12.2 приведен список всех перенормируемых слагаемых в лагранжиане, разрешенных лоренц-инвариант- ностью и калибровочной инвариантностью и включающих скаляры (s = 0), фотоны (s = 0) и фермионы спина 1/2 (s = 1/2).

Мы видим, что требование перенормируемости накладывает жесткие ограничения на возможные физические теории. Подобные ограничения являются ценным ключом к пониманию структуры этих теорий. Например, лоренцовская и калибровочная инвариантности сами по себе разрешают введение «паулиевского» слагаемого, пропорционального`y[gμ,gν]yFμν в лагранжиан кванто-

вой электродинамики, что сделало бы магнитный момент электрона настраиваемым параметром, но мы исключаем подобные слагаемые, поскольку они неперенормируемы.

12. 3. Нужна ли перенормируемость?							701
							Таблица 12.2

			nif		di	i	Hi
		Cкаляры	Фотоны	Ñïèí 1/2
	1		0	0	0	3	ϕ
	2		0	0	0	2	ϕ2
	2		0	0	2	0	∂μϕ∂μϕ
	3		0	0	0	1	ϕ3
	4		0	0	0	0	ϕ4
	2		1	0	1	0	ϕ∂μϕAμ
	2		2	0	0	0	ϕ2AμAμ
	1		0	2	0	0	ϕ`ψψ
	0		2	0	2	0	FμνFμν
	0		0	2	0	1	`ψψ
	0		0	2	1	0	`ψγμ∂μψ
	0		1	2	0	0	`ψγμAμψ

Табл. 12.2. Допустимые перенормируемые слагаемые в лагранжиане, содержащие скалярные поля ϕ, дираковские поля ψ и поля фотонов Aμ.

Величины nif è di — число полей типа f и число производных во взаимодействии типа i, i — размерность соответствующего коэффициента

Успешные предсказания квантовой электродинамики вроде описанного в разделе 11.3 вычисления магнитного момента электрона можно рассматривать как подтверждения принципа перенормируемости. Это же относится и к стандартной модели слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий, обсуждаемой в т. II. Есть множество слагаемых, которые можно было бы добавить в лагранжиан этой теории, например, четырехфермионные взаимодействия между кварками и лептонами, и которые полностью исказили бы все предсказания стандартной модели, но такие слагаемые исключаются только на том основании, что они неперенормируемы.

Должны ли мы верить утверждению, что лагранжиан может содержать только перенормируемые взаимодействия? Как мы ви-

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: