754 |
Глава 13. Инфракрасные эффекты |
Отметим также, что для частиц произвольного спина и заряда Ze матричные элементы электрического тока между состояниями с одинаковыми 4-импульсами имеют вид *
p, s¢| Jμ (0)| p, s = |
Zepμdσ′σ |
, |
(13.6.4) |
p0 (2p)3 |
|||
òàê ÷òî |
|||
Gσμ′,σ (p) = 2Zepμdσ′σ . |
(13.6.5) |
||
Важно, что все матрицы (13.6.5) коммутируют, так что их произведение может быть вынесено за скобки в сумме по перестановкам:
G μσ1′,,σμ2 ,...,μN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ® |
|||||
(-i)N −1(Ze)N pμ1 pμ2 . . . pμN |
(2p)4 d4 |
(p¢ + q1 |
+ q2 +. . .+qN |
- p)dσ′σ |
|
p0 (2p)3 |
|||||
L |
1 |
||
´ M |
(13.6.6) |
||
- ie][2p × (q1 + q2 ) - ie]. . . [2p × (q1 +. . .+qN −1) - ie] |
|||
N[2p × q1 |
|||
+перестановки .
Âстаршем порядке по q дельта-функцию можно записать в виде:
d4 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p) =
p0d3 (p¢ + q1 +. . .+qN - p)d(p × (q1 + q2 +. . .+qN )) .
(13.6.7)
К счастью, оказывается, что результат суммирования в этом случае значительно проще чем отдельные слагаемые. При p×(q1 + q2 + ... + qN) = 0 находим:
* Легче всего это доказывается следующим образом. Во-первых, в той системе отсчета, где частица покоится, из требования инвариантности относительно вращений следует, что пространственные компоненты матрич- ных элементов тока обращаются в нуль, а временная компонента пропорциональна δσ′,σ, и более никуда зависимость от σ′ è σ не входит. Во-вто-
рых, константа пропорциональности находится из (10.6.3), после чего преобразование Лоренца приводит к (13.6.4).
13.6. Приближение внешнего поля |
755 |
L |
1 |
|||||||||||||
M |
||||||||||||||
- ie][p × (q1 + q2 ) - ie]. . . [p × (q1 +. . .+qN −1) - ie] |
||||||||||||||
N[p × q1 |
||||||||||||||
+ перестановки |
(13.6.8) |
|||||||||||||
= |
||||||||||||||
(2ip)N −1d(p × q1) d(p × q2 ). . . d(p × qN −1) . |
||||||||||||||
Например, при N = 2 имеем: |
||||||||||||||
1 |
+ |
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
= 2ipd(p × q1) . |
|||||||
[p × q2 - ie] |
[p |
× q1 - ie] |
[-p × q1 |
|||||||||||
[p × q1 - ie] |
- ie] |
|||||||||||||
Общая формула (13.6.8) может быть легче всего получена как фу- рье-преобразование тождества
θ(τ1 − τ2)θ(τ2 − τ3). . . θ(τN−1 − τN) + перестановки = 1.
Подставляя (13.6.8) в (13.6.6), приходим к окончательному выражению для амплитуды (13.6.1):
G μσ1′,,σμ2 ,...,μN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ® (Ze)N (2p)N dσ′σpμ1 pμ2 . . . pμN
(13.6.9)
´ d3 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p)d(p × q1)d(p × q2 ). . . d(p × qN ) .
Этот результат применим как к релятивистским, так и к медленно движущимся тяжелым частицам, и может быть использован при выводе приближенной формулы Вейцзеккера−Вильямса9 äëÿ ðàñ-
сеяния заряженных частиц. В частном случае нерелятивистской тяжелой заряженной частицы с |p| n p0 формула (13.6.9) дополнительно упрощается:
G μσ1′,,σμ2 ,...,μN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ® (Ze)N (2p)N nμ1 nμ2 . . . nμN
(13.6.10)
´ d3 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p)d(q10 )d(q20 ). . . d(qN0 )dσ′σ ,
где n — единичный времениподобный вектор,
n0 = 1, n = 0.
756 |
Глава 13. Инфракрасные эффекты |
Предположим теперь, что в начальном и конечном состояниях присутствует одна тяжелая нерелятивистская частица * зарядом Ze и нормированной волновой функцией в импульсном представлении χσ(p). Используя фурье−представление дельта-функции в (13.6.9),
находим, что матричный элемент G для такого состояния имеет вид
z d3p d3p′ χ*s¢ (p′)χs (p)G sμ1¢,,sμ2 ,...,μN (q1, q2 , . . . , qN ; p) → |
|||
X |
N |
||
Y d3 Xå| ψs (X)|2 |
Õ2πZenmr δ(q0r )e-iqr ×X , |
(13.6.11) |
|
Z |
s |
r =1 |
|
ãäå ψ(X) − волновая функция в координатном представлении: |
|||
ψs (X) ≡ (2π)-3/2 z d3p χs (p)eip×X . |
(13.6.12) |
||
Поэтому, в силу факторизации правой части выражения (13.6.11), результат добавления тяжелой заряженной частицы в данном состоянии с точки зрения фейнмановских правил в импульсном пространстве эквивалентен добавлению любого числа вершин нового типа. В этих вершинах легкие дираковские частицы зарядом −å,
например, электроны, взаимодействуют с внешним полем, причем каждая такая вершина вносит в полную амплитуду множитель ** (теперь уже учтены как фотонный пропагатор, так и электрон−
фотонная вершина)
X |
L |
−i |
1 O |
2πZenmδ(q0 )e-iq×X |
(2π)4 eγ mδ4 (k − k′ − q) |
||||||||
iY d4qM |
P |
, |
|||||||||||
4 |
2 |
||||||||||||
Z |
N |
(2π) |
q |
− iε Q |
|||||||||
(13.6.13)
ãäå k è k′ − начальный и конечный 4-импульсы электрона. Полная
амплитуда рассеяния должна быть усреднена по координате тяжелой
* Имеется в виду — помимо легких частиц. — Прим. ред.
** Первый множитель здесь − обычный множитель i, сопровождающий
по фейнмановским правилам константы в лагранжиане взаимодействия тяжелой заряженной частицы.
13.6. Приближение внешнего поля |
757 |
частицы Х с весовой функцией åσ|yσ(X)|2. Множитель (13.6.13) экви-
валентен тому, который возник бы из-за нового слагаемого в лагранжиане взаимодействия:
Lext (x) = Àm (x)Jeμ (x) , |
(13.6.14) |
||||||||||
ãäå Jeμ = -ieyg my — электрический ток электронов, А μ |
— вектор- |
||||||||||
ный потенциал внешнего поля: |
|||||||||||
1 |
X |
L |
2pZenmd(q0 )e |
-iq×X O |
|||||||
À |
m |
(x) = |
Y |
d4q eiq×x |
M |
P . |
(13.6.15) |
||||
(2p)4 |
q2 - ie |
||||||||||
Y |
M |
P |
|||||||||
Z |
N |
Q |
|||||||||
Естественно, это сводится к обычному кулоновскому потенциалу:
À0 (x) = |
Ze |
, |
À (x) = 0 . |
||
(13.6.16) |
|||||
4p| x - X| |
|||||
Если тяжелых заряженных частиц несколько (как в случае молекулы), следует выразить А μ(x) как сумму слагаемых типа (13.6.16),
каждое со своим зарядом Ze и координатой X.
Полезно представлять, какие диаграммы суммируются при использовании приближения внешнего поля. Рассмотрим взаимодействие отдельного электрона (неважно, релятивистского или нет) с отдельной тяжелой заряженной частицей, например, протоном или дейтроном. Если пренебречь всеми другими взаимодействиями, то фейнмановские диаграммы рассеяния электрона за счет взаимодействия с внешним полем содержат произвольное число вставок вершин внешнее поле-электрон (13.6.14) в электронную линию (рис. 13.4).
Но, как следует из суммы по перестановками в формуле (13.6.2), такие диаграммы в приближении внешнего поля возникают из диаграмм лежащей в основе этого приближения теории, где фотонные линии, подсоединенные к электронной линии, подсоединяются к линии тяжелой частицы всеми возможными способами (рис. 13.5). «Непересекающиеся лестничные диаграммы» (обозначенные буквой L) на рис. 13.5 не являются доминирующими в этой сумме, если только электрон и тяжелая заряженная частица не являются нерелятивистскими. (Такие диаграммы на языке старой теории возмущений содержат вклады от промежуточных состояний, в которых присутствуют