Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå FN — полный ортонормированный набор векторов состояний, F0 — состояние вакуума. Из (14.1.3) немедленно вытекает, что эти

функции удовлетворяют однородному уравнению Дирака

Кроме того, используя антикоммутаторы при равных временах для дираковского поля, можно вывести условие нормировки. Взаимодействие (14.1.1) не влияет на антикоммутаторы, поэтому они имеют тот же вид, что и для свободных полей:

Беря среднее по вакууму и вставляя сумму по состояниям FN,

находим:

Суммирование по N подразумевает интегрирование по состояниям непрерывного спектра и суммирование по всем дискретным связанным состояниям.

Нас главным образом интересует случай не зависящего от времени внешнего поля типа (14.1.2). В подобных случаях состояния FN

могут быть взяты как собственные состояния гамильтониана (вклю- чающего взаимодействие (14.1.1)) с энергиями EN. Из инвариантности относительно временных трансляций следует, что зависимость функций uN(x) è vN(x) от времени имеет вид

Знак «минус» в правой части (14.1.11) указывает на то, что vN являются знаменитыми дираковскими решениями с «отрицательными энергиями». Как видно из (14.1.8), такие решения необходимы для полноты системы волновых функций. Конечно, при умеренных внешних полях в теории нет состояний с отрицательными энергиями, так что все EN положительны. Однако все еще есть существенная разница между состояниями с неисчезающими uN èëè vN: из определений (14.1.4) и (14.1.5) следует, что состояния могут иметь uN ¹ 0 èëè vN ¹ 0 только, если они имеют, соответственно,заряд -å èëè +å.

Именно в этом смысле решения уравнения Дирака с отрицательными энергиями имеют отношение к существованию античастиц. Однако это соображение никак не связано с деталями уравнения Дирака и даже со значением спина электрона.

Из дираковских волновых уравнений (14.1.10) и (14.1.11) легко получить *, что волновые функции с разными энергиями ортогональны. Именно,

(EM - EN* )duN† uM i = Ñ × duN† ig 0γuM i ,

При аналогичных граничных условиях для vN находим тем же путем:

* Следующим ниже, вообще говоря, нестрогим рассуждениям можно придать строгий математический смысл, если исходить из того, что дифференциальный оператор ig 0 gÑ + m + ieg λ Aλ (x) (гамильтониан Дирака

во внешнем поле) является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве дираковских спиноров ψ(x) со скалярным произведением

(y1, y2 ) = z dxy1+ (x)y2 (x) . — Ïðèì. ðåä.

Полагая N = M, получаем из (14.1.12) и (14.1.13), что все энергии действительны. Опуская в (14.1.12)−(14.1.14) знак комплексного со-

пряжения над EM, находим, что функции u с разными энергиями ортогональны, функции v с разными энергиями ортогональны, и (до тех пор пока потенциал недостаточно велик. чтобы порождать состояния отрицательной энергии) все u ортогональны ко всем v. Подбирая подходящим образом дискретные квантовые числа, которые наряду с энергией характеризуют состояния, можно всегда сделать так, чтобы

Умножая (14.1.8) справа на uM(y) èëè vM(y), находим, что эти волновые функции должны удовлетворять условиям нормировки

ãäå dNM - произведение кронекеровских дельта-символов и дельта-

функций в импульсном пространстве, причем нормировка согласована с той, которая использовалась при определении åN, òàê ÷òî åNdNM = 1. Эти условия нормировки непосредственно не имеют отно-

шения к любой вероятностной трактовке дираковских волновых функций, а являются следствиями антикоммутационных соотношений (14.1.7) для полей.

Обратимся к конкретному случаю чисто электростатического внешнего поля с А = 0. В принятом нами стандартном представлении матрицы Дирака имеют вид:

В этих формулах σ — обычный 3-вектор, составленный из 2 ´ 2 матриц Паули, а 1 и 0 — единичная и нулевая матрицы 2 ´ 2. Ââå-

дем двухкомпонентные волновые функции fN è gN, полагая

Уравнение на собственные значения энергии (14.1.10) примет вид:

В нерелятивистском случае, когда eА 0r d Za n 1, энергия связи m - EN порядка Z2a2m, в то время как оператор градиента порядка Zam, òàê ÷òî gN приблизительно в Za раз меньше fN. (Чтобы найти волновые функции позитрона, заменяем везде EN íà -EN,

так что в этом случае fN меньше gN во столько же раз.) В конце раздела мы вернемся к нерелятивистскому случаю.

Физические состояния можно расклассифицировать на четные и нечетные по отношению к пространственной инверсии:

ãäå hN — знаковый множитель, равный ±1. Напомним, что если

определить внутреннюю четность электрона равной +1, то дираковское поле преобразуется по отношению к инверсии по закону

Py(x, t)P−1 = by(-x, t) ,

так что из уравнений (14.1.4) и (14.1.5) следует, что дираковские волновые функции удовлетворяют условию четности:

Обратим внимание, что четность состояния совпадает с четностью

fN(x), íî íå gN(x).

Если потенциал А 0 инвариантен относительно вращений, решения волновых уравнений можно охарактеризовать их полным