106 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
с противоположной спиральностью −σ. Поскольку T, êàê è P, íå
оставляет инвариантным стандартный 4-импульс, удобно рассмотреть генератор U(R2−1)T, ãäå R2 — вращение (2.6.19), который
также переводит k в (Pk). Это преобразование коммутирует с J3, òàê ÷òî
U(R−1)TΨ |
= ζ |
Ψ |
, |
(2.6.23) |
|||||||||
2 |
k,σ |
σ |
k,σ |
||||||||||
ãäå ζ — другая фаза. Так как R |
−1T коммутирует с бустом (2.5.45), |
||||||||||||
σ |
2 |
||||||||||||
à T коммутирует с вращением, |
то, действуя оператором T íà |
||||||||||||
состояние (2.5.5), получим: |
|||||||||||||
F |
|||||||||||||
TΨ |
= |
κ |
$ |
F |
| p| |
I Iζ |
Ψ |
(2.6.24) |
|||||
p,σ |
p0 |
UG R(p)R2 BG |
J J |
σ k,σ . |
|||||||||
H |
H |
κ K K |
|||||||||||
С помощью (2.6.21) находим окончательно: |
||||
TΨ |
σ = ζσ exp(±iπσ)ΨP |
p, |
σ . |
(2.6.25) |
p, |
||||
Как и ранее, верхний или нижний знак в этой формуле соответствует положительному или отрицательному знаку y−компоненты
вектора p.
* * *
Любопытно, что квадрат оператора обращения времени T2
очень просто действует на одночастичные состояния как массивных,T так и безмассовых частиц. Пользуясь (2.6.18) и вспоминая, что
— антиунитарный оператор, получаем, что для одночастичных состояний массивных частиц
T2Ψ |
= Tζ(−)j − σ Ψ |
= ζ* (−)j −σ ζ(−)j + σ Ψ |
, |
||
p,σ |
Pp,−σ |
p,σ |
|||
или иначе |
T2Ψ |
= (−)2j Ψ |
|||
. |
(2.6.26) |
||||
p,σ |
p,σ |
||||
Для безмассовых частиц мы получаем такой же результат. Если y− компонента вектора p положительна, то y−компонента P p отрица-
тельна и наоборот, поэтому из (2.6.25) находим:
2.6. Пространственная инверсия и обращение времени |
107 |
T2Ψp,σ = Tζσ exp(±iπσ)ΨPp,σ = ζ*σ exp(miπσ)ζσ exp(miπσ)Ψp,σ
= exp(m2iπσ)Ψp,σ .
Если спиральность σ − целое или полуцелое число, этот резуль-
тат можно записать в виде:
T2Ψ |
= (−)2| σ| Ψ |
. |
(2.6.27) |
p,σ |
p,σ |
Под «спином» безмассовой частицы обычно понимают абсолютное значение ее спиральности, поэтому (2.6.27) эквивалентно (2.6.26).
Этот результат приводит к интересному следствию. Когда T2 действует на любое состояние Ψ системы невзаимодействующих массивных или безмассовых частиц, он порождает множитель (−)2j èëè (−)2|σ| для каждой частицы. Поэтому, если состояние содержит
нечетное число частиц с полуцелыми спином или спиральностью (и дополнительно любое количество частиц с целыми спином или спиральностью), мы получим общее изменение знака:
T2Ψ = −Ψ . |
(2.6.28) |
Если теперь «включить» различные взаимодействия, этот результат сохранится, при условии, что эти взаимодействия, нарушая, быть может, вращательную инвариантность, не нарушают инвариантность относительно обращения времени. (Например, приведенные рассуждения применимы в том случае, когда система подвергается воздействию статических гравитационного и электрического полей.) Предположим теперь, что Ψ есть собственное состояние гамильтониана. Так как T коммутирует с гамильтонианом, состояние TΨ также будет собственным со-
стоянием гамильтониана. Будет ли это то же самое состояние? Если так, то TΨ может отличаться от Ψ только фазовым множи-
телем:
TΨ = ζΨ ,
но в этом случае
T2Ψ = T(ζΨ) = ζ* TΨ =| ζ|2 Ψ = Ψ ,
что противоречит (2.6.28). Мы видим, что если у оператора
108 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
энергии есть собственное состояние, удовлетворяющее (2.6.28), то обязательно имеется другое состояние с той же энергией. Этот факт известен как вырождение Крамерса 10. Конечно, вывод тривиален, если система инвариантна относительно вращений, так как полный угловой момент j любого состояния этой системы должен быть полуцелым, и поэтому каждый энергетический уровень будет 2j + 1 = 2, 4, ... -кратно вырожден. Удивительно, что даже в случае, когда инвариантность относительно вращений нарушена внешними полями, например, электростатическим полем, до тех пор, пока эти поля инвариантны относительно T,
сохраняется по крайней мере двукратное вырождение. В частности, если бы любая частица имела электрический или гравитационный дипольный момент, то статическое электрическое или гравитационное поле полностью снимало бы 2j + 1-кратное вырождение по спину, так что подобные дипольные моменты запрещены инвариантностью по отношению к обращению времени.
Для полноты изложения следует отметить, что P- è T-
преобразования могут действовать на мультиплеты частиц одной массы более сложным образом. Эта возможность рассмотрена в Приложении В к данной главе. Примеры ее использования в физике неизвестны.
2.7. Проективные представления *
Вернемся к возможности, указанной в разделе 2.2, когда группа симметрии может действовать на физические состояниÿ проективно, иначе говоря, когда элементы группы симметрии T, T è ò. ä.
могут быть представлåны в физическом гильбертовом пространстве операторами U(T), и т. п., удовлетворяющими правилу композиции:
U(T)U( |
) = exp(iφ(T, |
(2.7.1) |
|||||
T |
T |
))U(TT |
) , |
||||
с действительной фазой φ. (Черта здесь используется только для
того, чтобы отличать один оператор симметрии от другого.) Основ-
* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть опущен при первом чтении.
2.7. Проективные представления |
109 |
|
ное требование, которому должна удовлетворять любая фаза φ
в (2.7.1), вытекает из условия ассоциативности
U(T3 )(U(T2 )U(T1)) = (U(T3 )U(T2 ))U(T1).
Оно имеет следующий вид: |
|||||||
φ(T2 , T1) + φ(T3 , T2T1) = φ(T3 , T2 ) + φ(T3T2 , T1). |
(2.7.2) |
||||||
Конечно, каждая фаза вида |
|||||||
φ(T, |
(2.7.3) |
||||||
T |
) = α(TT |
) − α(T) − α(T) |
|||||
автоматически удовлетворяет (2.7.2), но проективное представление с такой фазой можно заменить на обычное представление, заменив оператор U(T) на
~ |
|||||||
U(T) ≡ U(T) expaiα(T)f , |
|||||||
для которого |
|||||||
~ |
~ |
~ |
|||||
U(T)U(T) = U(TT). |
|||||||
Всякое множество функций φ(T, |
) , óäîâлетворяющих (2.7.2) и от- |
||||||
T |
|||||||
личающихся только на функции |
φ(T, T) вида (2.7.3), называется |
||||||
2−коциклом. Тривиальный |
коцикл содержит функцию φ = 0, |
||||||
и поэтому состоит из функций вида (2.7.3), которые можно устранить переопределением U(T). Нас интересует вопрос, допускает ли группа симметрии существование нетривиальных коциклов, иными словами, может ли эта группа иметь представление на физическом гильбертовом пространñтве, которое внутренне проективно в том смысле, что фаза φ(T, T) не может быть устранена описан-
ным выше образом.
Чтобы ответить на этот вопрос, полезно рассмотреть сначала влияние фазы φ в (2.7.1) на перестановочные соотношения генераторов бесконечно малых преобразований. Если`Ò èëè Ò − единич- ный элемент группы симметрии, фаза φ очевидно должна рав-
няться нулю: |
|
φ(T,1) = φ(1, T) = 0. |
(2.7.4) |
Если оба элемента Т и`Т близки к единичному элементу, фаза
110 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
должна быть мала. Используя для параметризации элементов группы координаты θa (см. раздел 2.2), причем Т(0) ≡ 1, находим, что вследствие (2.7.4) разложение в окрестности θ =`θ = 0 должно начинаться со слагаемых порядка`θ θ :
φ T(θ), T( |
) |
= f θa |
b + . . . , |
||||
θ |
i |
θ |
(2.7.5) |
||||
d |
ab |
||||||
ãäå fab − действительные числовые константы. Подставляя это разло-
жение в степенное разложение соотношения (2.7.1) и повторяя шаги, которые привели к (2.2.22), получаем:
[tb , tc ] = iCabcta + iCbc1, |
(2.7.6) |
ãäå Ñbc − антисимметричный коэффициент, |
|
Cbc = − fbc + fcb . |
(2.7.7) |
Появление в правой части перестановочных соотношений слагаемых, пропорциональных единичному элементу (так называемых центральных зарядов), является для алгебры Ли прямым аналогом наличия фаз в проективном представлении группы.
Постоянные Cbc, òàê æå, êàê Cabc удовлетворяют важным ограничениям, вытекающим из тождества Якоби. Вычисляя коммутатор (2.7.6) с td и добавляя аналогичные выражения, в которых индексы b, c, d заменены на c, d, b и d, b, c, убеждаемся, что сумма всех трех двойных коммутаторов тождественно обращается в нуль, откуда
CabcCead + CacdCeab + CadbCeac = 0 , |
(2.7.8) |
а также |
|
CabcCad + CacdCab + CadbCac = 0 . |
(2.7.9) |
Уравнение (2.7.9) всегда имеет один очевидный класс ненулевых решений для Cab:
Cab = Ceabφe , |
(2.7.10) |
ãäå φe − произвольные действительные постоянные. Для этих реше-
ний можно устранить центральные заряды из (2.7.6) переопределением генераторов:
~ |
≡ ta + φa. |
(2.7.11) |
ta → ta |