116 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
|
настроить фазу матриц λ так, чтобы |
||
Det λ = 1, |
(2.7.42) |
|
что совместимо с (2.7.41). Комплексные 2×2 матрицы с детерминан-
том, равным единице, образуют группу, называемую SL(2, C). (Символ SL означает «специальная линейная», причем слово «специальная» соответствует единичному детерминанту элементов группы, а С означает «комплексная».) Групповые элементы зависят от 4 − 1 = 3 комплексных параметров или шести действительных
параметров, т. е. от того же числа параметров, что и группа Лоренца. Однако группа SL(2, C) не тождественна группе Лоренца: если λ — матрица из SL(2,C), то и −λ принадлежит этой группе, причем как λ, òàê è −λ соответствуют одному и тому же преобра-
зованию Лоренца в (2.3.37). Действительно, легко видеть, что матрица
F eiθ/2 |
0 I |
||
λ(θ) = G |
0 |
e |
−iθ/2 J |
H |
K |
||
отвечает лоренцовскому преобразованию Λ(λ(θ)), представляющему вращение на угол θ вокруг оси z, так что λ = −1 соответствует вращению на угол 2π. Таким образом группа Лоренца не
совпадает с SL(2,C), а равна SL(2,C)/Z2 *, которая представляет группу комплексных 2×2 матриц с единичным детерминантом и с отождествлением пар элементов λ è −λ.
Какова же топология группы Лоренца? В силу теоремы о полярном разложении 12 всякая комплексная несингулярная матрица λ может быть представлена в виде
λ = ueh ,
ãäå u − унитарная матрица, а h − эрмитова матрица, u†u = 1 , h† = h .
* Группа Z2 состоит из двух элементов +1 и −1. В общем случае, когда мы пишем G/H, где H − инвариантная подгруппа группы G, подразумевается, что в группе G отождествлены элементы g и gh, где g G и h H. Подгруппа
Z2 тривиально инвариантна, так как ее элементы коммутируют со всеми элементами SL(2, C).
2.7. Проективные представления |
117 |
|
Так как Det u является фазовым множителем, а Det (exp h) = = exp (Tr h) действителен и положителен, то из условия (2.7.42) вытекает одновременно, что
Det u = 1, Tr h = 0.
(Множитель u соответствует подгруппе вращений группы Лоренца: если1 u — унитарная матрица, то Tr (uvu†) = Tr v, òàê ÷òî V0 = Tr v остается инвариантным под действием Λ(u).) Далее, это
разложение однозначно, так что группа SL(2,C) топологически является просто прямым произведением (т. е. множеством пар элементов) пространства всех матриц u и пространства всех матриц h. Всякая эрмитова 2×2 матрица h со следом, равным
нулю, может быть представлена в виде
F |
c |
a − ibI |
h = G |
J , |
|
H a + ib |
−c K |
|
где a, b, c действительны, но в остальном произвольны, так что пространство всех h топологически эквивалентно обычному трехмерному плоскому пространству R3. С другой стороны, всякая унитарная 2×2 матрица с единичным детерминантом может быть
представлена в виде:
F |
d + ie |
f + igI |
u = G |
− f + ig |
J , |
H |
d − ieK |
где d, e, f, g удовлетворяют единственному нелинейному ограни- чению
d2 + e2 + f2 + g2 = 1 ,
так что пространство SU(2) всех u топологически эквивалентно пространству S3 — трехмерной поверхности сферы в плоском четырехмерном пространстве. Таким образом SL(2,C) топологически эквивалентна прямому произведению R3×S3. Эта группа являет-
ся односвязной: всякая кривая, соединяющая две точки из R3 èëè S3, может быть продеформирована в любую другую, и то же верно для прямого произведения. (Все сферы Sn за исключением окружности S1 являются односвязными.) Однако нас интересует не SL(2,C), а группа SL(2,C)/Z2. Отождествление l и −l эквивалентно отождествлению унитарных множителей u и −u (òàê êàê eh всегда поло-
жительно), так что топология группы Лоренца — это топология
118 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
R3×S3/Z2, ãäå S3/Z2 — трехмерная сферическая поверхность с
отождествленными противоположными точками. Эта группа не является односвязной; например, на S3 ïóòü èç u â u′ нельзя непрерывно продеформировать в путь из u в −u′, тогда как в
S3/Z2 эти два пути соединяют одни и те же точки. Фактически, S3/Z2 — двусвязная группа: пути между любыми двумя точками разделяются на два класса, в зависимости от того, включают ли они инверсию u → −u, и каждый путь из одного класса можно
продеформировать в другой путь того же класса. Эквивалентным является утверждение, что двойная петля, дважды проходящая один и тот же путь из какого-то элемента обратно в него же, может быть непрерывным образом сжата в точку. (Как показано в Приложении Б, математически это выражается в утверждении, что для группы S3/Z2 фундаментальная или первая гомотопическая группа есть Z2.) Аналогично, неоднородная группа Лоренца имеет ту же топологию, что и группа R4×R3×S3/Z2, è
поэтому она также двусвязна.
Так как группа Лоренца (однородная или неоднородная) неодносвязна, она имеет внутренне проективные представления.
Однако поскольку двойная петля, дважды проходящая путь из 1 в Λ, èç Λ â Λ`Λ, и обратно в 1, может быть сжата в точку, мы
должны иметь
[U(Λ)U(Λ)U−1(ΛΛ)]2 = 1,
и поэтому фаза eiφ(Λ,Λ) является просто знаковым множителем:
U(Λ)U( |
(2.7.43) |
||||
Λ |
) = ±U(ΛΛ |
) . |
|||
Аналогично для неоднородной группы Лоренца
U(Λ, a)U( |
Λ |
, |
) = ±U(ΛΛ |
, Λ |
+ a) . |
(2.7.44) |
||
a |
a |
Нам знакомы такие «представления с точностью до знака»: это состояния с целым спином, для которых знаки в (2.7.43) и (2.7.44) всегда равны +1, и состояния с полуцелым спином, для которых эти знаки равны +1 или −1 в зависимости от того, можно ли сжать в точку путь от 1 к Λ, затем к Λ`Λ, и назад к единице. Это различие обусловлено тем, что вращение на угол 2π вокруг оси z, действуя
на вектор состояния с проекцией углового момента на ось z, равную
2.7. Проективные представления |
119 |
|
σ, дает фазовый множитель e2iπσ, и поэтому никак не влияет на
состояние с целым спином и изменяет знак вектора состояния с полуцелым спином. (Два этих случая соответствуют двум неприводимым представлениям первой гомотопической группы Z2.) Итак, (2.7.43) и (2.7.44) выражают правило суперотбора: мы не должны смешивать состояния с целым и полуцелым спином.
Для случая конечных масс ограничения целым или полуцелым спином были ранее выведены чисто алгебраическими методами из хорошо известных представлений генераторов малой группы, которые в данном случае есть просто матрицы углового момента J(j) с целым или полуцелым значением j. С другой стороны, для нулевых масс действие малой группы на физические одночастич- ные состояния сводится к вращению вокруг направления импульса, так что поэтому здесь нет алгебраических причин ограничиваться целыми или полуцелыми значениями спиральности. Однако существует топологическая причина: вращение на угол 4π вокруг направления импульса можно непрерывным образом
продеформировать в тождественное преобразование, так что множитель exp(4πiσ) должен равняться единице, и поэтому величи- на σ должна быть либо целой, либо полуцелой.
Вместо того, чтобы иметь дело с проективными представлениями и накладывать правила суперотбора, можно расширить группу Лоренца, взяв ее равной SL(2,C), а не SL(2,C)/Z2, как ранее. Обычная инвариантность по отношению к вращениям запрещает переходы между состояниями с целым или полуцелым полным спином, так что единственной разницей будет теперь то, что группа односвязна и имеет поэтому только обычные, а не проективные представления, так что теперь нельзя потребовать выполнения правил суперотбора. Это означает не то, что теперь можно реально приготовить физи- ческую систему в виде линейной комбинации состояний целого и полуцелого спина, а лишь то, что наблюдаемая в природе лоренцовская инвариантность не может быть использована для того, чтобы доказать невозможность таких суперпозиций.
Такие же соображения применимы к любой группе симметрии. Если алгебра Ли этой группы допускает существование центральных зарядов, всегда можно расширить такую алгебру, включив в нее генераторы, которые коммутируют с любым элементом алгебры и собственными значениями которых являются центральные заряды. Именно так мы действовали, когда
120 Глава 2. Релятивистская квантовая механика
добавили оператормассы к алгебре Ли группы Галилея в конце раздела 2.4. Расширенная алгебра Ли теперь, конечно, свободна от центральных зарядов, так что часть группы в окрестности единицы имеет только обычные представления, и никаких правил суперотбора не требуется.
Аналогично, даже если группа Ли G не является односвязной, ее всегда можно представить в виде C/H, где С — односвязная группа, которую называют универсальной накрывающей группой группы G, а H — инвариантная подгруппа * группы С. В общем случае, можно взять в качестве группы симметрии вместо G группу C, так как нет никакой разницы в следствиях этого выбора, за исключением того, что G налагает правило суперотбора, а С — нет. Короче говоря, проблема правил суперотбора есть нечто ирреальное: может быть, и можно приготовить физическую систему в виде произвольной суперпозиции состояний, но нельзя решить, так это или нет, ссылаясь на принципы симметрии, поскольку какую бы ни группу симметрии мы не приписывали природе, всегда существует другая группа, приводящая к тем же следствиям, но без правил суперотбора.
Приложение А. Теорема о представлении симметрии
В этом приложении мы дадим доказательство фундаментальной теоремы Вигнера 2, утверждающей, что всякое преобразование симметрии может быть представлено в гильбертовом пространстве физических состояний линейным и унитарным или антилинейным и антиунитарным оператором. При этом главным для нас будет то, что преобразования симметрии являются преобразованиями T лучей, сохраняющими вероятности переходов в том смысле, что если Ψ1 è Ψ2 — векторы состояний, принадлежащие лучам R1 è R2, то любые векторы состояний Ψ′1 è Ψ′2, принадлежа-
* Первая гомотопическая группа C/H есть H. Мы видели, что накрывающая группа однородной группы Лоренца есть SL(2, C), а накрывающая группа трехмерной группы вращений есть SU(2). Подобная связь групп SL и SU справедлива для случая трех, четырех или шести измерений. Для общего случая d измерений накрывающая группа SO(d) носит специальное наименование Spin(d).
Приложение А |
121 |
щие преобразованным лучам TR1 è TR2, удовлетворяют условию
| (Y¢, Y¢) |2 |
= | (Y |
, Y ) |2. |
(2.À.1) |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Мы требуем также, чтобы преобразование симметрии имело обратное преобразование, сохраняющее вероятности переходов в указанном выше смысле.
Для начала рассмотрим некоторую полную ортонормированную систему векторов состояний Yk, принадлежащих лучам Rk, причем
(Ψk , Ψl ) = δkl . |
(2.À.2) |
Пусть Y¢k — некоторая произвольная выборка векторов состояний,
принадлежащих преобразованным лучам TRk. Из (2.А.1) имеем:
′ |
′ |
2 |
=| (Ψk |
, Ψl )| |
2 |
= δkl . |
||||
| (Ψk |
, Ψl )| |
|||||||||
Но величина |
( |
Ψ′ Ψ′ |
автоматически |
действительна и положи- |
||||||
k , |
k ) |
|||||||||
тельна, так что отсюда вытекает, что она должна иметь значе- ние, равное единице. Поэтому
(Ψ′ |
, Ψ′) = δ |
kl |
. |
(2.À.3) |
k |
l |
|||
Легко видеть, что преобразованные |
состояния |
Y ¢k также обра- |
||
зуют полную систему, так как если бы существовал какой-ни- будь ненулевой вектор состояния Y¢, который был бы ортогонален ко всем Y¢k, то луч, полученный обратным преобразованием луча, к которому принадлежит Y¢, состоял бы из ненулевых векторов Y¢¢, для которых
| (Ψk , Ψ |
′′ |
2 |
′ |
′ |
2 |
= 0 |
)| |
=| (Ψk |
, Ψ )| |
для всех k. Это невозможно, так как предполагалось, что Yk
образуют полную систему.
Теперь следует принять соглашение о фазах для состояний Y¢k. С этой целью выделим одно из состояний Yk, например, Y1, è
рассмотрим векторы состояний |
||||||
ϒk ≡ |
1 |
bΨ1 + Ψk g , |
(2.À.4) |
|||
2 |
||||||
принадлежащие некоторым |
лучам Sk c |
k ¹ 1. Любой вектор |
||||