Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Пропагатор электрона во внешнем поле. Неоднородное уравнение

ОГЛАВЛЕНИЕ ТОМА II

15.Неабелевы калибровочные теории

16.Методы фонового поля

17.Перенормировка калибровочных теорий

18.Методы ренормгруппы

19.Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

20.Операторные разложения

21.Спонтанно нарушенные локальные симметрии

22.Аномалии

23.Протяженные полевые конфигурации

Предисловие к первому тому

Зачем нужна еще одна книга по квантовой теории поля? Сегодня любой студент, изучающий этот предмет, имеет на выбор ряд прекрасных книг, многие из которых вполне современны. Еще одна книга будет иметь ценность, только если она содержит что-то новое или открывает новые перспективы.

Если говорить о содержании предлагаемой книги, то хотя она и содержит довольно много нового материала, все же главное отличие от других книг заключается в общности изложения: я пытался везде, где возможно, обсуждать вопросы в максимально общем виде. Отчасти это связано с тем, что квантовая теория поля нашла применения в областях, весьма далеких от сферы ее первых успехов — квантовой электродинамики, но главным образом — с тем, что, по моему убеждению, эта общность позволяет выявить главные моменты, не дав им раствориться в технических деталях конкретных теорий. Конечно, для иллюстрации общих положений я часто использую конкретные примеры, выбранные из современной физики частиц, ядерной физики и квантовой электродинамики.

Однако главное, что побудило меня написать эту книгу, было не столько ее конкретное содержание, сколько общий замысел. Я поставил своей целью изложить квантовую теорию поля так, чтобы дать читателю максимально ясное представление о том, почему эта теория приняла такую форму, которую она имеет, и почему именно в этой форме она так хорошо описывает реальный мир.

Начиная с первых работ Гейзенберга и Паули по общей квантовой теории поля, традиционный подход заключался в том, что существование полей принималось как данное, что находило подтверждение в нашем опыте описания электромагнетизма. Затем поля «квантовались», т. е. правила канонического квантования или интегрирования по траекториям применялись к нескольким простым полевым теориям. Некоторые замечания по поводу такого традиционного подхода читатель найдет в историческом введении в гл. 1. Вне сомнения,

такой путь позволяет быстро войти в суть дела, но мне кажется, что он оставляет вдумчивого читателя наедине со слишком большим числом вопросов, не имеющих ответа. Почему нам следует доверять правилам канонического квантования или интегрирования по траекториям? Почему мы должны принимать за истинные простые уравнения поля и лагранжианы, которые пишутся в литературе? Кстати, а почему вообще нужны поля? Мне кажется неправильным апеллировать к нашему опыту – в конце концов, наша цель в теоретической физике заключается не просто в том, чтобы описать окружающий нас мир, но и объяснить с помощью небольшого числа фундаментальных принципов, почему этот мир таков, каков он есть.

Точка зрения, проповедуемая в этой книге, состоит в том, что квантовая теория поля такая, какая она есть, потому что (если не принимать во внимание теорий типа теории струн, в которых уча- ствует бесконечно большое число типов частиц) это единственный способ совместить принципы квантовой механики (включая свойство кластерного разложения) и теории относительности. Этой точки зрения я придерживаюсь много лет, но в последнее время она получила новую поддержку. Мы научились в последние годы рассматривать успешно работающие квантовые теории поля, в том числе и квантовую электродинамику, как «эффективные теории поля», являющиеся низкоэнергетическими приближениями к более глубокой теории, которая, может быть, является даже не теорией поля, а совсем другой теорией, скажем, теорией струн. С этой точки зрения, причина, почему квантовые теории поля описывают физику при доступных энергиях, заключается в том, что любая релятивистская квантовая теория выглядит при достаточно низких энергиях как квантовая теория поля. Поэтому важно понять основы квантовой теории поля с помощью принципов квантовой механики и теории относительности. Кроме того, в наши дни изменилась точка зрения на некоторые проблемы квантовых теорий полей, например, на неперенормируемость и «тривиальность», которые тревожили нас в те годы. когда мы рассматривали эти теории как истинно фундаментальные. В книге отражены эти изменения. Мое намерение было написать книгу по квантовой теории поля эры эффективных теорий поля.

Самыми непосредственными и очевидными следствиями теории относительности и квантовой механики являются свойства состояний частиц, поэтому частицы появляются сразу — уже в гл. 2 они введены

как объекты в представлениях неоднородной группы Лоренца в гильбертовом пространстве квантовой механики. В гл. 3 подготавливается почва для ответа на фундаментальный вопрос динамики: если состояние в далеком прошлом задано как некоторая совокупность свободных частиц, как будет выглядеть эта совокупность в будущем? Зная генератор трансляций во времени, т. е. гамильтониан, мы можем ответить на этот вопрос, записав разложение по теории возмущений множества амплитуд перехода, известного как S-мат- рица. В гл. 4 мы привлекаем принцип кластерного разложения для того, чтобы описать построение генератора временных трансляций

— гамильтониана с помощью операторов рождения и уничтожения. Затем в гл. 5 мы возвращаемся к лоренц-инвариантности и показываем, что как следствие этой инвариантности операторы рождения и уничтожения группируются в причинные квантовые поля. В дополнение мы доказываем СРТ теорему и теорему о связи спина и статистики. Этот формализм используется в гл. 6 для вывода фейнмановских правил для вычисления элементов S-матрицы.

Только в гл. 7 мы подходим к лагранжиану и каноническому формализму. Идея заключается в том, чтобы ввести эти понятия не потому, что они оказались полезными в других областях физики (такое объяснение всегда не слишком удовлетворительно), а потому, что этот формализм позволяет ввести гамильтонианы взаимодействия, для которых S-матрица удовлетворяет различным предполагаемым симметриям. В частности, лоренц-инвариантность лагранжиана обеспечивает существование десяти операторов, удовлетворяющих соотношениям алгебры группы Пуанкаре, а это, как мы показываем еще в гл. 3, является необходимым условием для доказательства лоренц-инвариантности S-матрицы. Наконец-то, в гл. 8 появляется квантовая электродинамика. В гл. 9 рассмотрено интегрирование по траекториям, которое используется для обоснования полученных в гл. 8 методом размахивания руками фейнмановских правил квантовой электродинамики. Такое позднее введение интегралов по траекториям несколько противоречит сегодняшней моде. Однако мне кажется, что хотя интегралы по траекториям, несомненно, являются лучшим способом быстрейшего вывода фейнмановских правил для заданного лагранжиана, они несколько затемняют квантово-механи- ческие основания подобных вычислений.

Первый том завершает серия глав 10–14, в которых излагается введение в основы вычисления радиационных поправок в общих поле-

вых теориях, включая петлевые поправки. Здесь также последовательность изложения несколько необычна: мы начинаем с главы, посвященной непертурбативным методам. Отчасти это сделано потому, что полученные результаты помогают понять необходимость перенормировки массы и заряда независимо от того, содержатся ли в теории бесконечности или нет. В гл. 11 представлены классические однопетлевые вычисления в квантовой электродинамике, дающие возможность, с одной стороны, объяснить полезные вычислительные приемы (фейнмановские параметры, виковский поворот, размерная регуляризация и регуляризация Паули–Вилларса), а с другой стороны, демонстрирующие перенормировку в действии. Опыт, приобретенный в гл. 11, распространяется в гл. 12 на все порядки теории возмущений и на теории общего вида. Здесь же обсуждается современный взгляд на неперенормируемость, связанный с эффективными теориями поля. Гл. 13 содержит изложение ряда специальных проблем, возникающих для безмассовых частиц низких энергий или с параллельными импульсами. Уравнение Дирака для электрона во внешнем электромагнитном поле, исторически появившееся на самой заре развития релятивистской квантовой механики, рассматривается только в гл. 14, посвященной проблемам связанных состояний. Причина заключается в том, что это уравнение следует рассматривать не как релятивистскую версию уравнения Шредингера (как это делал Дирак), а как приближение к истинной релятивистской квантовой теорий полей фотонов и электронов. Глава заканчивается рассмотрением лэмбовского сдвига и сопоставлением вычислений с современными экспериментальными данными.

У читателя может возникнуть ощущение, что некоторые вопросы, особенно в гл. 3, могли бы быть с большим основанием содержаться в учебниках по ядерной физике или физике элементарных частиц. Да, вероятно это так, но по моему мнению, эти разделы обычно либо вообще не освещаются, либо освещаются очень скупо, с использованием конкретных динамических моделей, а не общих принципов симметрии и квантовой механики. Я встречал теоретиков — специалистов по теории струн, которые никогда не слышали о связи инвариантности относительно обращения времени со сдвигами фаз в конечном состоянии, и специалистов по ядерной физике, которые понятия не имели, почему резонансы описываются формулой Брейта–Вигнера. Таким образом, в первых главах я попытался скорее перебрать, чем недобрать.