5.6. Общие неприводимые представления ... |
307 |
b = –B, –B + 1, ..., +B |
(5.6.13) |
||
и примем |
|||
(À)a′b′,ab = δb′bJ(aA′a) , |
(5.6.14) |
||
(B)a′b′,ab = δa′aJ(bB′b) , |
(5.6.15) |
||
ãäå J(A) è J(B) − стандартные спиновые матрицы для спинов А и В: |
|||
dJ3(A) ia′a = aδa′a , |
(5.6.16) |
||
dJ1(A) ± iJ2(A) ia′a = δa′,a±1 |
|||
(A m a)(A ± a + 1), |
(5.6.17) |
||
(аналогично для J(B)). Представление отмечается значениями положительных целых или полуцелых чисел А и В. Таким образом, представление (А, В) имеет размерность (2А + 1)(2В + 1) *.
Конечномерные представления однородной группы Лоренца не унитарны, т. к. А и В эрмитовы, и поэтому J эрмитова, но K антиэрмитова. Причиной является присутствие i в формулах (5.6.7) и (5.6.8), что требуется наличием отрицательного знака в (5.6.6). Все это вытекает из того, что однородная группа Лоренца — не четырехмерная группа вращений SO(4), которая компактна, а некомпактная группа SO(3, 1). Только компактные группы имеют конеч- номерные унитарные представления (если не считать представлений, в которых некомпактная часть представлена тривиальной единицей). Однако при работе с неунитарными представлениями не возникает особых проблем, т. к. нас интересуют не волновые функции, а поля, которые не обязаны иметь лоренц-инвариантную положительную норму.
* Существует альтернативный формализм 8, основанный на том факте, что представление группы вращений со спином j можно записать как симметризованное тензорное произведение 2j представлений со спином 1/2, т. е. как симметричный тензор группы SU(2) с 2j двузначными индексами. Поэтому можно записать поля, принадлежащие представлению (А, В), с помощью 2А двузначных индексов представления (1/2,0) и 2В двузначных индексов представления (0,1/2), снабженных точками, чтобы отличать их от первой пары.
308 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Напротив, группа вращений имеет унитарные представления, генераторы которых являются эрмитовыми матрицами
J = À + B. |
(5.6.18) |
С помощью обычных правил сложения векторов можно убедиться, что поле, преобразующееся по представлению (А, В) однородной группы Лоренца, имеет компоненты, преобразующиеся при вращениях как объекты со спином j, причем
j = A + B, A + B – 1, ..., |A – B| .
Этого достаточно, чтобы отождествить представления (А, В) с, по-видимому, более знакомыми тензорами и спинорами. Например, поле (0,1 0) является1 скаляром с единственной1 компонентой j = 0. Поля ( , 0) или (0, ) могут иметь только j = ; они соответствуют двум верхним (т. е. γ5 = +1) è äâóì1 1 нижним (γ5 = –1) компонен-
там дираковского спинора. Поле ( , ) имеет компоненты с j = 1 и j = 0, соответствующие пространственной части v и временной компоненте v0 4-вектора vμ. В общем случае поле (А, А) содержит слагаемые только с целыми спинами 2А, 2А−1, ..., 0, и соответству-
ет бесследовому симметричному тензору ранга 2А. (Заметим, что число независимых компонент симметричного тензора ранга 2А в четырех измерениях равно
4 × 5. . . (4 + 2A - 1) |
= |
(3 + 2A)! |
||||||
6(2A)! |
||||||||
(2A)! |
||||||||
и условие бесследовости сводит это число к |
||||||||
(3 + 2A)! |
− |
(1 + 2A)! |
= (2A + 1)2 , |
|||||
6(2A − 2)! |
||||||||
6(2A)! |
||||||||
как и следует ожидать для поля (А, А).) Еще один пример: поля (1, 0) и (0, 1) могут иметь только компоненты j = 1 и соответствуют антисимметричным тензорам Fμν, удовлетворяющим дополнитель-
ным, обеспечивающим неприводимость, условиям «дуальности»
Fμν = ± 2i εμνλρFλρ
5.7. Причинные поля. Общий случай |
309 |
соответственно; такие тензоры называются соответственно «самодуальными» и «антисамодуальными». Естественно, что разделение антисимметричного тензора Fμν с двумя индексами на подобные
«самодуальную» и «антисамодуальную» части возможно только в случае четырех измерений.
Произвольный тензор ранга N преобразуется1 1 как тензорное произведение N 4-векторных представлений ( , ). Поэтому путем подходящих симметризации, антисимметризации и вычитания следа можно разложить его на неприводимые части (А, В), где A = N/2, N/2-1,... è B = N/2, N/2-1,... Таким способом можно
построить любое неприводимое представление (А, В), для которого А + В является целым числом. Спинорные представления, у которых А + B — полуцелое, могут быть построены аналогичным образом из тензорных произведений1 тензорных1 представлений и дираковского представления ( , 0) Å (0, 1). 1 Например, тензорное
произведение1 векторного1 представления ( , ) и дираковского представления ( , 0) Å (0, ) дает спин-вектор yμ, преобразующийся по
приводимому представлению
( , ) Ä [( ,0) Å (0, )] = ( ,1) Å ( ,0) Å (1, ) Å (0, ).
Величина gμyμ преобразуется как обычное дираковское1 1 ïîëå (1, 0) Å (0, 1), так что можно выделить представление * ( , 1) Å (1, ), потребовав выполнения условия gμyμ = 0. Это поле Рариты−Швингера 9.
До сих пор в этом разделе мы рассматривали только представления собственной ортохронной группы Лоренца. В любом представлении группы Лоренца, включающей пространственную инверсию, должна существовать матрица b, изменяющая знаки тензоров с
нечетным количеством пространственных индексов. В частности
b J b−1 = + J , bK b−1 = -K . |
(5.6.19) |
* Согласно (5.6.18), такое поле преобразуется под действием обычных вращений как прямая сумма двух компонент с j = 3/2 и двух компонент с j = 1/2. Удвоение компонент устраняется требованием, чтобы выполнялось уравнение Дирака [γν∂ν + m]ψμ = 0, а оставшаяся компонента с j = 1/2 устраняется наложением условия ∂μψμ = 0. При таких условиях поле описывает
одну частицу со спином j = 3/2.