Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Чтобы это выражение обращалось в нуль при x¹ y, должно выпол-

няться равенство

è = ~ . (Подобные коммутаторы или антикоммутаторы неизбежно

B B

появляются в [H(x),H(y)], т. к. из эрмитовости гамильтониана вытекает, что если H(x) содержит y, он обязательно содержит и y†.)

В этом случае из (5.7.27) следует, что

| κ|2 = ±(−)2A+2B| λ|2 .

Конечно, 2А + 2В отличается от 2j на четное целое число, так что из (5.7.28) следует утверждение: рассматриваемая частица является бозоном или фермионом в зависимости от того, четно или нечетно число 2j. Этим устанавливается общая связь между спином и статистикой.12 Мы видели, как выполняется эта связь на частных примерах частиц, описываемых скалярными, дираковскими и векторными полями.

где с — один и тот же множитель для всех полей данной частицы. Далее, из (5.7.29) следует, что с есть просто фазовый множитель, |c| = 1. Поэтому можно устранить с для всех полей, переопределив

относительную фазу операторов a(p,σ) è ac†(p,σ) так, чтобы с = 1, откуда λ = (−)2Bκ. Наконец, множитель κ для каждого типа поля

можно устранить переопределением общего масштаба поля. Таким образом, приходим к формуле для преобразующегося по представлению (А,В) поля данной частицы, которое единственно с точностью до общего масштабного фактора:

Для данной частицы разные поля реально не отвечают физически различимым возможностям. Например, для j = 0 возможными являются поля типа (А, А) (поскольку из неравенства треугольника |A − B| ≤ j ≤ A + B в данном случае следует А = В). Начав со скалярного (0,0) поля ϕ, можно без труда построить поля (А, А)

с помощью 2А-ой производной:

здесь фигурные скобки {} обозначают бесследовую часть, например,

(Напомним, что бесследовый симметричный тензор ранга N преобразуется по представлению (N/2,N/2).) Однако формула (5.7.31) представляет единственное причинное поле (А,В) для частицы данного спина j, так что для j = 0 поля (А,А) (5.7.31) могут быть только линейными комбинациями 2А-ых производных (5.7.32) скалярного поля.

В более общей формулировке любое поле (А,В) для данной частицы со спином j может быть представлено как дифференциальный оператор ранга 2В, действующий на поле ϕσ(x) òèïà (j, 0) (èëè

дифференциальный оператор ранга 2А, действующий на поле (0, j))13. Чтобы увидеть это, рассмотрим поле

Оно преобразуется как тензорное произведение представлений (В,В) и (j,0), поэтому по обычным правилам векторного сложения это поле можно разложить по полям, преобразующимся по всем неприводимым представлениям (А,В), где |j − B| ≤ A ≤ j + B, или эквивалентно |A − B| ≤ j ≤ A + B. Так как для данной частицы со спином j формула (5.7.31) описывает единственное поле типа (А,В), оно может быть только * полем (А,В), полученным с помощью производных (5.3.33).

Рассмотрим поведение построенных полей относительно инверсий. Начнем с пространственной инверсии. Как следует из результатов раздела 4.2, свойства операторов уничтожения частиц и рождения античастиц по отношению к пространственной инверсии выражаются формулами

ãäå η è ηc — внутренние четности частицы и античастицы, соответ-

ственно. Следовательно, общее причинное (А,В)P поле (5.7.31) преобразуется под действием оператора четности следующим образом:

+ηc (−)2B ac† (−p, σ)e-ip×xvabAB(p, σ)] .

* Единственный пробел в этом рассуждении связан с гипотетической возможностью, что некоторые полученные таким способом поля (А,В), на самом деле, обращаются в нуль. Но в этом случае поле ϕσ, отвечающее представлению

(j,0) должно удовлетворять полевому уравнению å σ Mσ (¶ /¶x)jσ (x) = 0 , следовательно, для каждого σ должно быть å σ Mσ (ip)uσ (p, s) = 0 .. Для представления (j,σ) коэффициент Клебша−Гордана Cj0 (jσ; σ0) равен просто кронекеровскому дельта-символу δss , откуда å σ Mσ (ip)Dσσ′ (L(p)) = 0 . Но это возможно только, если все Mσ(ip) = 0, ò. ê. D(Λ) имеет обратную матрицу D(Λ−1). Таким образом, поля ϕσ(x), отвечающие представлению (j,0), могут удовлетворять только уравнению Клейна−Гордона (9 − m2 )ϕ σ (x) = 0 . Ñëå-

довательно, ни одно из полей (А,В), полученных с помощью (5.3.33), не может быть равным нулю.

Мы хотим сделать замену переменной интегрирования р на −р, а для этого нужно вычислить uab(−p,σ) è vab(−p,σ). Чтобы получить

необходимые выражения, достаточно вернуться к формулам (5.7.14) и (5.7.15) и использовать свойство симметрии коэффициентов Клебша−Гордана14

где, как и ранее, Px ≡ (−x, x0). Мы получили причинное поле ψabBA(x) ,

взятое в точке Px, если не считать того, что коэффициенты при слагаемых с операторами уничтожения и рождения могут отличаться от тех, которые выписаны в (5.7.31). Однако эти коэффициенты должны быть теми же самыми, что и в (5.7.31), с точностью до общего постоянного множителя, так как формула (5.7.31) представляет с точностью до масштаба единственное причинное поле любого типа. Отсюда отношение коэффициентов при двух слагаемых в (5.7.40) должно быть таким же, как и в (5.7.31) (с заменой В на А, так как предполагается, что (5.7.40) дает (В, А) поле):

Однако разность А − В отличается от спина j только на целое число,

òàê ÷òî

Частные случаи этого равенства мы анализировали в разделах 5.2, 5.3 и 5.5 для j = 0, j = 1 и j = 1/2. Теперь видно, что результат имеет общий характер: внутренняя четность ηcη пары частица−анти- частица равна +1 для бозонов и −1 для фермионов. Подставляя

(5.7.42) в (5.7.40), получаем окончательно для пространственной инверсии:

Рассмотрим1 применение этой1 формулы к дираковскому полю. Для верхних ( , 0) и нижних (0, ) компонент дираковского поля знак (−1)À+Â−j равен +1, так что оператор четности просто переводит x в −x, меняет местами верхние и нижние компоненты и умножает поле на η*. Замена верхних компонент на нижние у дираковского поля осуществляется матрицей β â (5.5.41).

ÑРассмотрим теперь операцию зарядового сопряжения. Действие на операторы уничтожения частиц и рождения античастиц определяется формулами

ãäå ξ è ξc — зарядовые четности частицы и античастицы, соответ-

ственно. Применяя это преобразование к полю (5.7.31), находим:

CψabAB(x)C-1 = (2π)-3/2 å z d3p uabAB(p, σ)

s (5.7.46)

× ξ*ac (p, σ)eip×x + ξc (−1)2B a†(p,−σ)(−1)j-s e-ip×x .

Полезно сравнить эту формулу для зарядово-сопряженного поля к полю (А, В) с формулой сопряженного (В, А) поля той же частицы:

ψbaBA† (x) = (2π)-3/2 ås z d3p uabAB* (p, σ)

(5.7.47)

× (−1)2A (−1)j -s ac (p,−σ)eip×x + a† (p, σ)e-ip×x .