Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 435-440

7. 2. Лагранжев формализм

397

Предполагая, что dYl(x) обращается в нуль при t ® ±¥, можно

произвести интегрирование по частям и записать

L	dL			d dL			O
dI[Y] = z d4x M			-				P dYl (x) .	(7.2.4)
	l	(x)			& l
N dY				dt dY		(x) Q

Мы видим, что действие стационарно по отношению ко всем вариациям dYl, исчезающим при t ® ±¥, в том и только в том случае,

когда поля удовлетворяют уравнениям (7.2.2)*.

Так как полевые уравнения определяются функционалом I[Y], то при попытках построить лоренц-инвариантную теорию

естественно считать этот функционал скаляром. В частности, поскольку I[Y] равен интегралу по времени от L[Y(t), Y& (t)] , ìû

предполагаем, что L должен быть интегралом по пространственным переменным от обычной скалярной функции переменных

Y(x) è ¶Y/¶xμ, называемой плотностью лагранжиана L :

&	3	&	(7.2.5)
L[Y(t), Y(t)]	= z d x LdY(x, t), ÑY(x, t), Y(x, t)i ,		(7.2.5)
так что действие равно
I[Y] = z d4x LcY(x), ¶Y(x) / ¶xμ h .			(7.2.6)

Все теории поля, используемые в современных теориях элементарных частиц, имеют лагранжианы указанного вида.

Варьируя Yl(x) на величину dYl(x) и интегрируя по частям,

находим для вариации лагранжиана:

3 L ¶L

l

¶L

l

¶L

&

l O

dL = z d xM

l

dY +

l

ÑdY +

&

l

dY P

N ¶Y

¶(ÑY )

Q

¶Y

3 LF ¶L

¶L I l

¶L

&

l O

= z d xMG

¶Y

l

- Ñ ×

l

J dY +

& l

dY P ,

NH

¶(ÑY

)K

¶Y

Q

так что (опуская очевидные аргументы у функций)

* Строго говоря, излагаемая здесь формулировка вариационного принципа предполагает, что искомые поля — решения полевых уравнений (7.2.2) — являются «стационарной точкой» действия (7.2.3), т. е. входят в область определения последнего (соответствующие интегралы (7.2.5), (7.2.6) сходятся). — Прим. ред.

398

Глава 7. Канонический формализм

δL

=

∂L

- Ñ ×

∂L

,

(7.2.7)

l

)

dY

¶Y

¶(ÑY

δL

=

∂L

(7.2.8)

& l

&

l .

dY

¶Y

В результате полевые уравнения (7.2.1) принимают вид:

∂		∂L				=	∂L		.
										(7.2.9)
¶x	μ	l	/¶x	μ	)		¶Y	l		(7.2.9)
¶x		¶(¶Y	/¶x		)		¶Y

Они называются уравнениями Эйлера–Лагранжа. Как и ожидалось, если L - скаляр, то эти уравнения лоренц-инвариантны.

В дополнение к тому, что действие должно быть лоренцинвариантным, оно должно быть действительным. Это требование связано с тем, что мы хотим иметь ровно столько же полевых уравнений, сколько имеется самих полей. Разбивая всякое комплексное поле на действительную и мнимую части, можно всегда считать I функционалом только некоторого числа, скажем, N, действительных полей. Если бы действие I было комплексным с независимыми действительной и мнимой частями, то действительная и мнимая части условий стационарности I (уравнения Эйлера-Лагранжа) приводили бы к 2N уравнениям для N полей.

Это слишком много, за исключением специальных случаев. Кроме того, в следующем разделе мы увидим, что действительность действия обеспечивает эрмитовость генераторов различных преобразований симметрии.

Хотя лагранжев формализм позволяет легко строить теории, являющиеся инвариантными относительно преобразований Лоренца и других симметрий, для вычисления S-матрицы все же нужна формула для гамильтониана взаимодействия. В общем слу- чае гамильтониан определяется преобразованием Лежандра:

	&		&
3		l	(x, t) - L[Y(t),Y(t)].
H = å z d	xPl (x, t)Y		(x, t) - L[Y(t),Y(t)].	(7.2.10)

l

Хотя формула (7.2.1) в общем случае не позволяет однозначно выразить Y& l через Yl è Pl, легко видеть, что вариационные производные (7.2.10) по Y& l обращаются в нуль для любых Y& l , удовлетворяющих (7.2.1).

7. 2. Лагранжев формализм

399

Поэтому функция Гамильтона является функционалом только от Ψl è Πl. Ее вариационные производные по этим переменным равны *:

δH

& l′

(y, t)

δL

= z d3yå Πl′ (y, t)

δΨ

−

δΨl (x, t)

&

Π

l′

δL

& l′

Π

Ψ

(y, t)

− z d3yå

δΨ

,

&

l′

l

l′ δΨ

(y, t)

Ψ

δΨ

(x, t)

Π

δH

& l

3

yå

δΨl′ (y, t)

l

= Ψ

(x, t)

+ z d

Πl′ (y, t)

l

δΠ

(x, t)

Ψ

l′

δΠ

(x, t)

Ψ

δL

&

l′

(y, t)

− z d3yå

δΨ

,

&

l′

(y, t)

l

l′

δΨ

Ψ δΠ

(x, t)

Ψ

где нижние индексы указывают на те величины, которые считаются постоянными при взятии вариационных производных. Используя определение (7.2.1) для Πl, можно упростить полученные выраже-

íèÿ:

δH

= −

δL

,

(7.2.11)

δΨl

(x, t)

δΨl

(x, t)

&

δH

Π

& l

Ψ

δΠl (x, t)

= Ψ

(x, t) .

(7.2.12)

Ψ

Тогда уравнения движения (7.2.2) эквивалентны уравнению

δH		&
δΨl (x, t)	Π	= −Πl	(x, t) .	(7.2.13)
δΨl (x, t)	Π

Возникает искушение отождествить исходные полевые переменные Ψl и сопряженные им импульсы Πl с каноническими пере-

менными Qn è Pn из предыдущего раздела и потребовать выполнения тех же самых коммутационных соотношений (7.1.30)−(7.1.32).

При этом уравнения (7.2.12) и (7.2.13) совпадают с гамильтоновыми

* Строго говоря, нижеследующие формулы справедливы в предположении, что Ψ& l однозначно выражаются через Ψl è Πl. — Ïðèì. ðåä.

400	Глава 7. Канонический формализм

уравнениями движения (7.1.33) и (7.1.34). Именно так обстоит дело в простом случае действительного скалярного поля F со связью без

производных. Рассмотрим плотность лагранжиана *

L = -	1	¶μF ¶μF -	m2	F2 - H (F) ,	(7.2.14)

2		2

которую можно получить добавлением действительной функции - H(F) ïîëÿ F к найденной в предыдущем разделе плотности лагран-

жиана свободного поля. В данном случае уравнения Эйлера–Лагран- жа имеют вид:

(9 − m2 )Φ = H ′(Φ) ,

(7.2.15)

Исходя из этой плотности лагранжиана, вычисляем канонически сопряженный к полю F импульс:

	∂L	&
P =		= F ,	(7.2.16)
P =	&	= F ,	(7.2.16)
	¶F

который совпадает с (7.1.36), если отождествить F è P с канониче-

скими переменными Q и P. Теперь согласно (7.2.10) находим гамильтониан **:

H=

=

z z

d

x(PF - L)

3

&

3

L 1

2

1

2

1

2

O

(7.2.17)

d

x M

P

+

(ÑF)

+

m

F

+ H (F)P

,

N 2

2

Q

* Мы не включаем в слагаемое −1∂μΦ∂μΦ произвольный множитель, по-

скольку всякую такую положительную постоянную можно убрать в нормировку Φ. Если бы постоянная была отрицательной, то, как мы увидим, это

привело бы к неограниченному снизу гамильтониану. Постоянную m в этом выражении называют голой массой. Наиболее общий лагранжиан, удовлетворяющий принципу перенормируемости (см. гл.12), имеет указанный вид, где H (Φ) – полином четвертой степени по Φ.

** Для интерпретации H как энергии необходима ограниченность этой функции снизу. Положительность двух первых слагаемых показывает, что мы правильно угадали1 знак первого слагаемого в (7.2.14). Остается условие, что комбинация m2Φ2 + H(Φ) должна быть ограничена снизу как функция Φ.

7. 2. Лагранжев формализм

401

что совпадает с гамильтонианом (7.1.35). Это маленькое упражнение следует рассматривать не как еще один вывод этого гамильтониана, а как оправдание пригодности лагранжиана (7.2.14) * для теории скалярных полей.

Однако не всегда дело обстоит так просто. Мы уже видели в предыдущем разделе, что существуют полевые переменные типа временной компоненты векторного поля или эрмитово сопряженного дираковского поля, которые не являются каноническими полевыми переменными Qn и не имеют канонически сопряженных им величин. Однако в силу лоренц-инвариантности эти переменные обязаны содержаться в лагранжиане векторного и дираковского полей.

С точки зрения лагранжевого формализма, особый характер полевых переменных типа временной компоненты векторного поля или эрмитово сопряженного дираковского поля возникает из-за того, что сами они входят в лагранжиан, а их производные по времени — нет. Обозначим через Сr те полевые переменные Ψl, ÷üè

производные по времени не входят в лагранжиан. Остальные независимые полевые переменные являются каноническими переменными Qn. Äëÿ Qn канонически сопряженными импульсами будут

		&
Pn (x, t) =	δL[Q(t), Q(t), C(t)]
			,	(7.2.18)
	& n		,	(7.2.18)
	δQ	(x, t)

причем выполняются коммутационные соотношения (7.1.30)−(7.1.32).

Однако для Сr канонически сопряженных импульсов нет. Так как

& r	= 0, гамильтониан в общем случае имеет вид:
δL / δC	= 0, гамильтониан в общем случае имеет вид:
	3	& n	&	(7.2.19)
	H = å z d	xPnQ	−L[Q(t), Q(t), C(t)] ,	(7.2.19)

m

однако пользы от этого выражения мало, пока мы не выразим Cr è

& l через Q и P. Уравнения движения для Cr содержат только поля и

Q

их первые производные по времени:

* Здесь и иногда ниже автор употребляет один и тот же термин «лагранжиан» как для собственно лагранжиана L, так и для плотности лагранжиана L (см. (7.2.5)). Это смешение общепринято в современной литературе; содержание термина обычно явно следует из контекста. — Прим. ред.

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: