7.1. Канонические переменные |
387 |
такая теория позволяет построить подходящие квантово-механи- ческие операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре и приводящие поэтому к лоренц-инвари- антной S-матрице.
Это далеко не тривиально. В предыдущей главе мы видели, что в теориях со связью с производными или со спином j ³ 1
недостаточно записать гамильтониан взаимодействия в виде интеграла по пространству от скалярной плотности. Необходимо добавить к плотности гамильтониана взаимодействия нескалярные слагаемые для компенсации нековарантных слагаемых в пропагаторах. Канонический формализм со скалярной плотностью лагранжиана автоматически приводит к нужным дополнительным слагаемым. Позднее, когда мы перейдем в т. II к обсуждению неабелевых калибровочных теорий, это дополнительное удобство превратится в необходимость. Безнадежно пытаться угадать форму гамильтониана в таких теориях, если не начать с лоренц-инвари- антного и калибровочно инвариантного лагранжиана.
7.1.Канонические переменные
Âэтом разделе мы покажем, что различные построенные нами до сих пор квантовые теории поля удовлетворяют коммутационным соотношениям и уравнениям движения гамильтонова формализма *. Для вычисления S-матрицы (операторным методом или с помощью функционального интеграла) нужен именно гамильтонов формализм, однако далеко не просто выбрать гамильтонианы, приводящие к лоренц-инвариантной S-матрице. В остальной части этой главы мы будем рассматривать в качестве отправной точки лагранжев формализм, и получим с его помощью физически приемлемые гамильтонианы. Цель данного раздела —
* Мы используем русскую терминологию. Автор употребляет термин
Hamiltonian (Lagrangian) version of canonical formalizm, в дословном переводе: гамильтонов (лагранжев) вариант канонического формализма. В русской физической литературе используют термины лагранжев формализм и гамильтонов, или канонический, формализм. Лагранжев и гамильтонов формализмы однозначно связаны и эквивалентны; иногда говорят о «гамильтонизации» лагранжевой теории. — Ïðèì. ðåä.
388 |
Глава 7. Канонический формализм |
определить канонические поля и им сопряженные в различных теориях поля, показать, как выделять слагаемые в лагранжиане, относящиеся к свободным полям, и, наконец, подтвердить, что канонический формализм действительно применим к физически реалистичным теориям.
Прежде всего, покажем, что построенные в гл. 5 свободные поля автоматически образуют систему квантовых операторов qn(x,t) и канонически сопряженных им импульсов pn(x,t), удовлетворяющих известным каноническим соотношениям коммутации или антикоммутации:
n |
= |
δ3 |
− |
δ |
n |
(7.1.1 |
) |
||||||||||
[q |
(x, t), pn (y, t)]m |
(x |
y) |
, |
|||||||||||||
i |
n |
||||||||||||||||
= 0, |
|||||||||||||||||
[qn (x, t), qn (y, t)]m |
(7.1.2) |
||||||||||||||||
[pn (x, t), p |
(y, t)]m |
= 0, |
(7.1.3) |
||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||
где индекс е указывает, что если хотя бы один из двух операторов рождает или уничтожает частицы, являющиеся бозонами, следует брать коммутатор, а если оба оператора рождают или уничтожают фермионы, то следует брать антикоммутатор. Например, в разделе 5.2 было показано, что действительное скалярное поле ϕ(x)
зарядово самосопряженной частицы нулевого спина подчиняется коммутационному соотношению
[ϕ(x), ϕ(y)]- = (x − y),
где функция
X |
d3k |
[eik×(x- y) − e |
-ik×(x- y) |
||
(x) = Y |
], |
||||
(2π)3 |
|||||
Z 2k0 |
|||||
причем k0 ≡ k2 + m2 . Заметим, что
(x, 0) = 0 , & (x, 0) = −iδ3 (x) .
(Точка означает производную по x0.) Легко показать, что поле ϕ и его производная по времени ϕ& удовлетворяют одновременным ком-
мутационным соотношениям
390 |
Глава 7. Канонический формализм |
(Мы пишем vμ вместо Vμ, так как хотим сохранить заглавные буквы
для обозначения полей в гейзенберговском представлении.) В данном случае канонические переменные для свободных частиц можно выбрать в виде:
q |
i |
x |
= v |
i |
( |
x |
, t) , |
(7.1.12) |
||||||
( , t) |
||||||||||||||
= & i |
+ |
∂v0 |
(x, t) |
(7.1.13) |
||||||||||
pi ( |
x |
, t) |
( |
x |
, t) |
, |
||||||||
v |
||||||||||||||
∂xi |
||||||||||||||
где i = 1, 2, 3. Читатель может проверить, что величины (7.1.12) и (7.1.13) удовлетворяют перестановочным соотношениям (7.1.1)−(7.1.3).
Полевые уравнения (5.3.36) и (5.3.38) вместе с формулой (7.1.13) позволяют выразить v0 через другие переменные:
v0 = m−2 Ñ × p, |
(7.1.14) |
поэтому v0 не рассматривается в качестве независимой переменной q. На случай комплексного векторного поля эти результаты обобщаются точно так же, как и в случае комплексного скалярного поля.
Для дираковского поля немайорановских частиц спина 1/2 из результатов раздела 5.6 следует, что антикоммутатор полей равен
[ψ n (x), ψ |
† |
(y)]+ = |
(−γ μ∂μ + m)β |
(x − y) , |
|||||
n |
|||||||||
[ψ n (x), ψ |
(y)]+ = 0 . |
n,n |
|||||||
n |
|||||||||
Было бы непоследовательно выбрать ψn è ψn† в качестве независи-
мых канонических переменных, так как их антикоммутатор не обращается в нуль при равных временах. Вместо этого принято определять
qn (x) ≡ ψ |
n |
(x) , |
(7.1.15) |
|||
p |
n |
(x) ≡ iψ† |
(x) . |
(7.1.16) |
||
n |
||||||
Легко видеть, что (7.1.15) и (7.1.16) удовлетворяют каноническим антикоммутационным соотношениям (7.1.1)−(7.1.3).
Для любой системы операторов, удовлетворяющих коммутационным или антикоммутационным соотношениям типа (7.1.1)−(7.1.3),