24 |
Глава 1. Историческое введение |
Подстановка формулы (1.2.20) в это соотношение немедленно приводит к результату Борна и Иордана (1.2.19) для вероятности спонтанного излучения. Тем не менее, представляется неудовлетворительным, что термодинамические аргументы должны использоваться для вывода формул, описывающих процессы, происходящие с одиночными атомами.
Наконец в 1927 году Дирак 35 сумел представить строгое кван- тово-механическое рассмотрение спонтанного излучения. Векторный потенциал A(x, t) был разложен на нормальные моды, как в формуле (1.2.2), и было показано, что коэффициенты удовлетворяют перестановочным соотношениям типа (1.2.6). Соответственно, каждое состояние свободного поля излучения было задано набором целых чи- сел nk, по одному на каждую нормальную моду, а матричные элементы энергии электромагнитного взаимодействия приняли вид суммы по нормальным модам, причем матричные коэффициенты оказались пропорциональными матрицам ak è ak†, определенным в (1.2.10)− (1.2.13). Главное в этих результатах − появление множителя в урав-
нении (1.2.13). Вероятность перехода, в котором число фотонов в нормальной моде k увеличивается от nk äî nk + 1, пропорционально квадрату этого множителя, т. е. nk + 1. Но в поле излучения с nk фотонами в нормальной моде k плотность энергии u на единичный интервал частот равна:
F 8πν2k |
I |
|||
u(νk ) = G |
J nk |
× hνk , |
||
c |
3 |
|||
H |
K |
|||
так что вероятность испускания излучения в нормальной моде k пропорциональна
nk + 1 = |
c3u(ν |
k |
) |
+ 1. |
8πhν3k |
||||
Первое слагаемое интерпретируется как вклад индуцированного испускания, а второе − как вклад спонтанного излучения. Таким
образом, без всякого обращения к термодинамике Дирак смог заклю- чить, что отношение вероятностей индуцированного испускания uB и спонтанного излучения А удовлетворяет соотношению Эйнштейна (.2.21). Используя свой же более ранний результат (1.2.20) для В, Дирак сумел заново вывести формулу Борна–Иордана 33 (1.2.19)
1. 2. Рождение квантовой теории поля |
25 |
для вероятности спонтанного излучения А. Несколько позднее аналогичные методы были использованы Дираком при квантово-механиче- ском рассмотрении рассеяния излучения и времени жизни возбужденных атомных состояний 36, а также Виктором Вайскопфом и Юджином Вигнером при детальном анализе формы спектральных линий 36à.
Дирак в своей работе разделил электромагнитный потенциал на поле излучения А и на статический кулоновский потенциал А0, что в результате нарушило явную лоренцовскую и калибровочную инвариантность классической электродинамики. Позднее эти процедуры получили более солидное обоснование в известной работе Энрико Ферми 26á. В 1930-е годы многие физики изучали квантовую электродинамику по обзору Ферми 1932 года.
Использование канонических перестановочных соотношений для операторов q и p или a и a† также поставило вопрос о лоренц-инвариантности квантованной теории. В 1928 году Иордан и Паули 37 сумели показать, что коммутаторы полей в разных про- странственно-временных точках являются на самом деле лоренцинвариантными. (Эти коммутаторы вычисляются в гл. 5.) Несколько позже Бор и Леон Розенфельд 38 использовали ряд остроумных мысленных экспериментов для того, чтобы показать, что эти перестановочные соотношения выражают ограничения на нашу способность производить измерения полей в пространственно-времен- ных точках, разделенных времениподобными интервалами.
Вскоре после успешного квантования электромагнитного поля эта же техника была применена к другим полям. Поначалу такую технику называли «вторичным квантованием»: те поля, которые подвергались квантованию, были волновыми функциями, используемыми в одночастичных задачах квантовой механики, например, дираковской волновой функцией электрона. По-видимому, первый шаг в этом направлении был сделан в 1927 году Иорданом 39. В следующем, 1928 году Иордан и Вигнер 40 сделали важные дополнения. Они заметили, что принцип запрета Паули не позволяет числам заполнения электронов nk в любой нормальной моде k (учитывающей как координатные, так и спиновые переменные) принимать значения, отлич- ные от 0 или 1. Следовательно, электронное поле нельзя представить как суперпозицию операторов, удовлетворяющих перестановочным соотношениям (1.2.10), (1.2.11), так какэти соотношения требуют, чтобы nk принимало любые целые значения от 0 до ∞. Чтобы выйти из
26 |
Глава 1. Историческое введение |
положения, они предположили, что электронное поле должно разлагаться на сумму операторов ak è ak†, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям
a |
k |
a† |
+ a†a |
k |
= δ |
jk |
, |
(1.2.22) |
|
j |
j |
||||||||
akaj |
+ ajak |
= 0 . |
(1.2.23) |
||||||
Эти соотношения могут быть удовлетворены матрицами, помеченными последовательностью целых чисел n1, n2, ..., по одному для каждой моды, причем эти целые числа могут принимать только два значения — нуль и единица:
(ak ) n1′ ,n2′ ,...,n1,n2 ,...
(a† )
k n1′ ,n2′ ,...,n1,n2 ,...
R1, |
n′ |
= 0, |
n |
k |
= 1, |
n′ |
= n |
j |
äëÿ j ¹ k, |
|||
= S |
k |
j |
||||||||||
T0 |
для остальных индексов, |
|||||||||||
R1, |
n¢ |
= 1, |
n |
k |
= 0, |
n |
¢ |
= n |
j |
äëÿ j ¹ k, |
||
= S |
k |
j |
||||||||||
T0 |
для остальных индексов. |
|||||||||||
(1.2.24)
(1.2.25)
Например, для одной нормальной моды матрицы ak è ak† содержат ровно два столбца и две строки, соответствующие значениям n и n′, равными 0 и 1. Матрицы a и a† имеют вид:
F |
I |
F |
I |
||
a = G |
0 |
0 |
a† = G |
0 |
1 |
J , |
J . |
||||
H |
1 |
K |
H |
0 |
K |
0 |
0 |
Читатель может убедиться, что матрицы (1.2.24) и (1.2.25) действительно удовлетворяют антикоммутационным соотношениям (1.2.22) и (1.2.23).
Интерпретация вектора-столбца, задаваемого целыми числами n1, n2, ..., заключается в том, что, как и для бозонов, он представляет состояние с nk квантами в каждой нормальной моде. Разница, конечно, в том, что, поскольку каждое число nk может принимать только два значения 0 или 1, в каждой моде может быть не более одного кванта, как и требуется принципом запрета Паули. Оператор ak уничтожает квант в нормальной моде k, если он там уже был, или действие этого оператора дает нуль; аналогично,
1. 2. Рождение квантовой теории поля |
27 |
оператор ak† порождает квант в нормальной моде k, если только в ней не присутствует уже один квант, в противном случае оператор a† действует нулем. Много позже Фирц и Паули показали 40à, что выбор между коммутационными и антикоммутационными соотношениями диктуется только значением спина частицы: коммутаторы следует использовать для частиц с целым спином вроде фотона, антикоммутаторы — для частиц с полуцелым спином вроде электрона. (Иным способом это показано в гл. 5.)
Общая теория квантовых полей была впервые изложена в 1929 году в двух исчерпывающих статьях Гейзенберга и Паули 41. Исходным пунктом их работы было применение канонического формализма к самим полям, а не к коэффициентам нормальных мод, содержащихся в этих полях. Гейзенберг и Паули рассмотрели лагранжиан L как интеграл по пространству от локальной функции полей и их пространственных и временных производных. Уравнения поля определялись из принципа стационарности действия ò Ldt при варьиро-
вании полей, а коммутационные соотношения определялись из предположения, что вариационная производная лагранжиана по любой из производных поля по времени ведет себя как сопряженный этому полю «импульс» (для фермионных полей коммутационные соотношения превращались в антикоммутационные). Гейзенберг и Паули применили общий формализм к электромагнитному и дираковскому полям и исследовали различные инвариантности и законы сохранения, вклю- чая законы сохранения заряда, импульса и энергии, а также лоренцовскую и калибровочную инвариантность.
Формализм Гейзенберга-Паули фактически совпадает с тем,
который описан в гл. 7, так что сейчас можно ограничиться одним примером, который пригодится далее в этой главе. Лагранжиан свободного комплексного скалярного поля j(x) имеет следующий вид:
z |
N |
2 |
Q |
|||||||||||||||||||
L |
= |
Mj j - |
c2 |
(Ñj) |
† |
× (Ñj) - d |
mc2 |
hi |
j |
† |
jP . |
(1.2.26) |
||||||||||
d3x L & † & |
O |
|||||||||||||||||||||
Если подвергнуть j(x) бесконечно малой вариации dj(x), òî |
||||||||||||||||||||||
лагранжиан изменится на величину |
||||||||||||||||||||||
d |
= z |
[j dj + jdj |
- |
Ñj |
× Ñdj - |
Ñj × Ñdj |
||||||||||||||||
L |
d3x & † & |
& & |
† |
c2 |
† |
c2 |
† |
|||||||||||||||
- dmc2 hi2 j†dj - dmc2 hi2 jdj† ] . (1.2.27)
28 |
Глава 1. Историческое введение |
При использовании принципа наименьшего действия предполагается, что вариации полей исчезают на границах пространст- венно-временной области интегрирования. Таким образом, при вы- числении изменения действия ò Ldt можно сразу же проинтегриро-
вать по частям и записать:
dz Ldt = c |
2 |
4 |
L |
† F |
9 |
- dmc |
2 |
2 I |
F |
9 |
- dmc |
2 |
2 I |
† O |
z d |
xMdj |
H |
hi K j + djH |
hi K j |
P . |
|||||||||
N |
Q |
|||||||||||||
Но это выражение должно обращаться в нуль при любых dj è dj†, òàê ÷òî ïîëå j должно удовлетворять знакомому релятивист-
скому волновому уравнению
F |
9 |
− dmc2 |
hi2 I |
ϕ = 0 |
(1.2.28) |
H |
K |
è j†-сопряженному уравнению. «Импульсы», канонически сопряженные полям j è j†, даются вариационными производными функции Лагранжа L по ϕ& è ϕ& † , которые легко находятся из (1.2.27):
p º |
δL |
& |
† |
, |
|||||
(1.2.29) |
|||||||||
& = j |
|||||||||
dj |
|||||||||
p |
† |
º |
δL |
& |
|||||
(1.2.30) |
|||||||||
& † = j. |
|||||||||
dj |
|||||||||
Эти полевые переменные удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям с дельта-функцией вместо дельта-символа Кронекера:
p(x, t), j(y, t) |
= |
p† (x, t), j† (y, t) |
= -ihd3 (x - y), |
(1.2.31) |
|||||||||||||||||||||||||
p(x, t), j† (y, t) |
= |
p† (x, t), j(y, t) |
= 0, |
(1.2.32) |
|||||||||||||||||||||||||
p(x, t), p(y, t) |
= |
p† (x, t), p† (y, t) |
= |
p(x, t), p† (y, t) |
= 0, |
(1.2.33) |
|||||||||||||||||||||||
j(x, t), j(y, t) |
= |
j† (x, t), j† (y, t) |
= |
j(x, t), j† (y, t) |
= 0. |
(1.2.34) |
|||||||||||||||||||||||
Здесь (как и в механике частиц) функция Гамильтона дается «суммой» всех канонических импульсов, умноженных на производные по времени соответствующих полей, минус функция Лагранжа: