1. 2. Рождение квантовой теории поля |
19 |
с произвольным коэффициентом κ. (Здесь Fμν — обычный тензор
напряженности электромагнитного поля, причем F12 = B3, F01 = E1, и т. д.) Такое слагаемое можно получить, добавив предварительно в уравнение свободного поля слагаемое, пропорциональное выражению [γμγν](∂2/∂xμ∂xν)ψ, которое, конечно, равно нулю, а затем
совершить, как и ранее, подстановку (1.1.22). Более современный подход заключается просто в замечании, что слагаемое (1.1.32) удовлетворяет всем принятым принципам инвариантности, включая ло- ренц-инвариантность и калибровочную инвариантность, так что нет причин, почему такое слагаемое не должно включаться в волновые уравнения (см. раздел 12.3.). Такое слагаемое будет приводить к дополнительному вкладу в магнитный момент электрона, пропорциональному κ, так что, если не принимать во внимание возможное
требование чисто формальной простоты, нет никаких оснований ожидать, что в теории Дирака магнитный момент электрона имеет ка- кое-то определенное значение.
Как мы увидим далее, все перечисленные проблемы были в конце концов решены (или, по крайней мере, разъяснены) в процессе развития квантовой теории поля.
1.2. Рождение квантовой теории поля
Фотон — единственный пример частицы, которая до своего открытия была известна как поле. Поэтому неудивительно, что развитие формализма квантовой теории поля прежде всего было связано с излучением, и только позднее он был применен к другим частицам и полям.
В 1926 году в одной из основополагающих работ по матрич- ной механике Борн, Гейзенберг и Иордан 32 применили свои новые методы к свободному полю излучения. Для простоты они игнорировали поляризацию электромагнитных волн и рассмотрели пространственно одномерную задачу, причем координата x изменялась от 0 до L. Если потребовать, чтобы поле излучения u(x, t) обращалось в нуль на концах интервала, то оно будет иметь вид, совпадающий с величиной смещения точек струны с закрепленными при x = 0 и x = L концами. По аналогии со случаем струны для полного электромагнитного поля гамильтониан был выбран в виде
20 |
Глава 1. Историческое введение |
1 XL H = Y
2 Y
Z0
R ∂ 2 |F uI SG ∂ J |H t K T
2 F |
∂u |
I |
2 U |
3 |
|||
+ c |
| |
||||||
G |
J |
V d |
x. |
(1.2.1) |
|||
H |
∂xK |
| |
|||||
W |
|||||||
Чтобы свести это выражение к сумме квадратов, поле u было представлено как сумма фурье-компонент при условии, что u = 0 при x = 0 и x = L:
∞ |
F |
ωkxI |
|||||
ubx, tg = |
å |
||||||
q |
k |
btg sin G |
J , |
||||
H |
c K |
||||||
k =1 |
|||||||
ωk = kπc L . |
|||||||
В результате |
|||||||
∞ |
|||||||
H = |
L |
ånq& k2 (t) + ω2kqk2 (t)s. |
|||||
4 |
|||||||
k=1 |
|||||||
(1.2.2)
(1.2.3)
(1.2.4)
Таким образом, струна или поле ведет себя как сумма независимых гармонических осцилляторов с угловыми частотами ωk, êàê
èпредвидел за 20 лет до этого Пауль Эренфест 32à.
Âчастности, «импульс» pk(t), канонически сопряженный к qk(t), определяется, как и в механике частиц, условием, что если H выражено как функция p и q, то
q& k (t) = |
∂ |
||||
Hbp(t), q(t)g . |
|||||
∂pk (t) |
|||||
Отсюда получается, что импульс |
|||||
pk |
(t) = |
L |
q& k (t) , |
(1.2.5) |
|
2 |
|||||
и можно записать канонические перестановочные соотношения:
q& k (t), qj |
(t) |
= |
2 |
pk (t), qj (t) |
= |
−2ih |
δkj , |
(1.2.6) |
||||||
L |
= 0. |
L |
(1.2.7) |
|||||||||||
qk (t), qj (t) |
||||||||||||||
1. 2. Рождение квантовой теории поля |
21 |
Кроме того, временная зависимость qk(t) определяется уравнением движения Гамильтона
q&& |
(t) = |
2 |
p& |
(t) = − |
2 |
∂H |
= −ω2 q |
(t). |
(1.2.8) |
|||
k |
k |
|||||||||||
k |
L |
L ∂qk (t) |
k |
|||||||||
Явный вид матриц, определяемых уравнениями (1.2.6)−(1.2.8),
был уже известен Борну, Гейзенбергу и Иордану из предыдущей работы по гармоническому осциллятору. Для q-матрицы получается выражение
qk (t) = |
h |
ak exp(−iωkt) + ak† exp(+iωkt) |
, |
(1.2.9) |
||||
Lωk |
||||||||
ãäå ak — не зависящая от времени матрица, а ak† — ее эрмитово сопряженная матрица, удовлетворяющие перестановочным соот ношениям
ak , a†j |
= δkj , |
(1.2.10) |
|||
ak , aj |
= 0. |
(1.2.11) |
|||
Строки и столбцы этих матриц помечены набором неотрицательных целых чисел n1, n2, ..., каждое из которых соответствует нормальной моде. Матричные элементы равны
(ak )n1¢ ,n2¢ ,...,n1,n2 ,...
(ak† )n¢ |
,n¢ |
,...,n ,n |
2 |
,... = |
1 |
2 |
1 |
= |
nk |
δn¢ |
,n |
k |
-1 |
∏δn¢ |
,n |
, |
|||||
k |
j |
j |
|||||||||||
j¹k |
|||||||||||||
δn¢ |
+1∏δn¢ |
||||||||||||
nk |
+ 1 |
,n |
k |
,n |
. |
||||||||
k |
j |
j |
|||||||||||
j¹k
(1.2.12)
(1.2.13)
Для единственной нормальной моды эти матрицы можно выписать в явном виде:
F |
I |
F |
0 |
0 |
0 |
0 . . . |
|||||||||||||
0 |
1 |
0 |
|||||||||||||||||
0 . . . |
I |
||||||||||||||||||
G |
J |
G |
J |
||||||||||||||||
G |
0 |
0 |
2 |
0 |
. . .J |
G |
1 |
0 |
0 |
0 |
. . .J |
||||||||
a = G |
. . .J |
a† = G |
0 |
2 |
0 |
0 |
. . .J . |
||||||||||||
0 |
0 |
0 |
3 |
, |
|||||||||||||||
G |
J |
G |
J |
||||||||||||||||
G |
0 |
0 |
0 |
0 |
. . .J |
G 0 |
0 |
3 0 |
. . .J |
||||||||||
G |
. |
. |
. |
J |
G |
. |
. |
. |
J |
||||||||||
H . |
K |
H . |
K |
||||||||||||||||
22 |
Глава 1. Историческое введение |
Можно непосредственно убедиться, что матрицы (1.2.12) и (1.2.13) удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.2.10) и (1.2.11).
Физическая интерпретация вектора-столбца с целыми компонентами n1, n2, ... заключается в том, что он представляет состояние с nk квантами в каждой нормальной моде k. Матрицы ak èëè ak†, действующие на такой вектор-столбец, будут соответственно уменьшать или увеличивать nk на единицу, оставляя неизменными все nl ñ l ¹ k. Поэтому можно интерпретировать эти матрицы как операто-
ры уничтожения или рождения одного кванта в k-ой нормальной моде. В частности, вектор со всеми nk = 0 представляет вакуум; действие на него любого оператора ak äàåò íóëü.
Дальнейшая интерпретация связана с рассмотрением функции Гамильтона. Подставляя (1.2.9) и (1.2.10) в (1.2.4), находим:
H = åhwk (ak† ak + 21). |
(1.2.14) |
k |
Таким образом, гамильтониан диагонален в n-представлении:
(H) ′ |
′ |
,...,n1 ,n2 |
,... |
= |
å |
hwk (nk |
+ 1) |
Õ |
dn′ |
,n |
j |
. |
(1.2.15) |
n1 |
,n2 |
2 |
j |
kj
Видно, что энергия состояния есть просто сумма энергий $wk
каждого кванта1 в данном состоянии плюс бесконечная нулевая энергия E0 = å$wk. В применении к полю излучения этот формализм
подтвердил разработанный Бозе метод подсчета состояний излуче- ния по числу nk квантов в каждой нормальной моде.
Борн, Гейзенберг и Иордан использовали такой формализм при выводе выражения для среднеквадратичных флуктуаций энергии в излучении черного тела. (Для этой цели они, в действительности, использовали только коммутационные соотношения (1.2.6)-(1.2.7).) Îä-
нако вскоре такой подход был применен к исследованию более актуальной проблемы — вычислению вероятностей спонтанного излуче- ния.
Чтобы понять возникшие здесь трудности, необходимо вернуться немного назад. В одной из первых работ по матричной механике Борн и Иордан 33 высказали предположение, что атом, перескакивая из состояния b в более низкое по энергии состояние a,
должен испускать излучение подобно классическому заряженному осциллятору, смещение которого дается выражением
1. 2. Рождение квантовой теории поля |
23 |
r(t) = rβα exp (−2πiνt) + rβα* exp (2πiνt) , |
(1.2.16) |
hν = Eβ − Eα , |
(1.2.17) |
à rβα — βα матричный элемент матрицы, связанной с координатой
электрона. Энергия Е такого осциллятора равна
E = |
1 m(r& |
2 + (2πν)2 r2 ) = 8π2mν2 | r |
|2 . |
(1.2.18) |
2 |
βα |
|||
Непосредственное классическое вычисление позволяет теперь найти излученную мощность, а после деления на энергию hν одного
фотона — вероятность испускания фотона
A(β → α) = |
16π3e2 |
ν3 |
|2 . |
||
| r |
(1.2.19) |
||||
3hc3 |
βα |
||||
Однако оставалось совершенно непонятным, почему при рассмотрении спонтанного излучения следовало таким образом обращаться с формулами для излучения классического диполя.
Несколько позднее Дирак 34 дал более убедительный, хотя еще менее прямой вывод этих соотношений. Рассматривая поведение квантованных атомных состояний в осциллирующем классическом электромагнитном поле плотностью энергии u, приходящейся на единичный интервал частот в окрестности частоты (1.2.17), он сумел вывести формулы для вероятностей поглощения uB(α→β) или индуцированного испускания uB(β → α):
B(α → β) = B(β → α) |
2π2e2 |
| r |
|2 . |
(1.2.20) |
3h2 |
βα |
|||
(Отметим, что выражение в правой части этого равенства симметрично по отношению к состояниям α è β, òàê êàê rαβ равно rβα*.)
Эйнштейн 34à уже показал в 1917 году, что возможность теплового равновесия между атомами и излучением черного тела требует выполнения определенного соотношения между вероятностью A(β → α) спонтанного излучения и вероятностями uB индуцирован-
ного испускания или поглощения:
F 8πhν3 I
A(β → α) = G J Bbβ → αg. (1.2.21)
H c3 K