Вихревые турбулентные течения в атмосферах планет и на Солнце
Трунев Александр Петрович
к. ф.-м. н.
Введение
циклон планетарный турбулентный
Атмосферные течения на Земле, на Марсе, Юпитере, Сатурне, Уране и Нептуне характеризуются турбулентностью и сложной вихревой структурой, что обусловлено значительной угловой скоростью вращения этих планет.
На нашей планете атмосферные вихри большого масштаба существуют в форме циклонов и антициклонов. Циклоны имеют области пониженного давления в центре, обладают циркуляцией воздуха по часовой стрелке в Южном полушарии и против часовой стрелки в Северном. Антициклоны, напротив, имеют область повышенного давления и циркуляцию воздуха по и против часовой стрелки в Северном и Южном полушариях соответственно. Такая поляризация указывает на влияние силы Кориолиса, что подтверждается численными расчетами, выполненными в настоящей работе.
Циклоническое течение наблюдается на северном полюсе Сатурна, вокруг которого, в районе 75oN (PC) широты (78oN PG), существует крупномасштабное гексагональное течение, с характерными масштабами скорости и длины - 120 м/с и 14500 км соответственно [1-2].
Гигантский антициклон - Большое красное пятно на Юпитере, имеет характерные масштабы скорости и длины - 150 м/с, 14000 км с юга на север и 24000-40000 км с запада на восток, наблюдается уже более 350 лет [3-6].
В работах [7-8] мы установили, что есть два механизма, ведущих к формированию гексагонального течения на северном полюсе Сатурна и Большого красного пятна на Юпитере соответственно. В первом случае происходит усиление слабого геострофического течения в турбулентном пограничном слое с большим градиентом турбулентной вязкости. Во втором случае выявлен механизм формирования вихревого течения, связанный с усилением малого по амплитуде зонального течения неоднородного по меридиональной координате в планетарном пограничном слое с градиентом сдвиговой турбулентной вязкости и при наличии объемной турбулентной вязкости.
В работах [7-15] мы рассмотрели некоторые вопросы моделирования неизотермических потоков в планетарном пограничном слое с учетом градиента давления, ускорения потока, силы плавучести и силы Кориолиса.
В настоящей работе предложена модель формирования циклонов и антициклонов в турбулентном потоке под влиянием силы Кориолиса. Целью исследования является проверка гипотез о влиянии силы Кориолиса на формирование циклонов и антициклонов в северных и южных широтах. Первая гипотеза о направлении циркуляции в циклонах была проверена в случае осесимметричных радиально сходящихся и вертикально восходящих турбулентных потоков при натуральном соотношении параметров Кориолиса и вязкости. Из полученных данных численных экспериментов следует, что течение в северных широтах циркулирует против часовой стрелки, а в южных - по часовой стрелке, в полном соответствии с данными наблюдений. Таким образом, мы показали, что в турбулентном радиально сходящемся потоке под влиянием силы Кориолиса формируется циклоническое течение. Вторая гипотеза о формировании антициклонов была проверена в случае радиально расходящихся и вертикально нисходящих турбулентных потоков. В результате численных экспериментов установлено, что в этом случае течение в северных широтах циркулирует по часовой стрелке, а в южных - против часовой стрелки, что соответствует данными наблюдений для антициклонов. Для проверки влияния скорости движения центра циклона (антициклона) на циркуляцию была развита нестационарная 3D модель турбулентного течения. В рамках этой модели исследованы течения в циклонах и антициклонах, движущихся с постоянной скоростью, а также в сдвиговом течении.
1. Моделирования турбулентных течений в планетарном пограничном слое
Рассмотрим систему уравнений, описывающую неизотермическое атмосферное течение несжимаемого газа с учетом силы плавучести и силы Кориолиса, имеем [7-12]
(1)
Здесь обозначено: - вектор скорость потока; - вектор угловой скорости вращения планеты; - плотность; - кинематическая вязкость; - давление за вычетом гидростатического атмосферного давления; - вектор ускорения свободного падения; - равновесная плотность; - температура, - число Прандтля; массовая концентрация примеси; - число Шмидта; - коэффициент молекулярной диффузии.
Гидростатическое уравнение и стандартное приближение Буссенеска для возмущений плотности заданы в виде
(2)
Здесь - коэффициент расширения, для идеального газа.
Определим систему декартовых координат таким образом, чтобы ось была направлена против направления вектора ускорения свободного падения. Рельеф обтекаемой поверхности описывается уравнением . Граничные условия для параметров течения зададим на обтекаемой поверхности и на границе пограничного слоя следующим образом:
(3)
Здесь - температура подстилающей поверхности, - концентрация примеси на поверхности, - высота пограничного слоя, - скорость течения на высоте , - температура и концентрация примеси на высоте соответственно.
По координатам зададим периодические граничные условия. Считаем, что в начальный момент скорость течения, температура и концентрация примеси описываются линейными функциями, имеем
(4)
Решения задачи (1), (4) для различных турбулентных течений были получены в наших работах [9-12] и других. Практически при любой функции распределения шероховатости течение довольно быстро переходит в турбулентный режим с установлением логарифмического профиля скорости, температуры и концентрации примеси.
Обратимся к методу решения проблемы турбулентной диффузии, который был предложен в наших работах [9-12]. Основная идея заключается во введении в уравнения (1) случайных параметров. Например, в пограничном слое можно представить вектор скорости течения в форме
,
где - поверхность, описывающая динамическую шероховатость.
Такую поверхность можно характеризовать случайными параметрами , которые имеют смысл высоты, скорости движения элемента и наклонов поверхности. Обозначим функцию распределения этих параметров
.
Предположим, что и рассмотрим достаточно представительную область течения объемом , где - типичные масштабы течения в направлениях x, y соответственно - рис.1. Рассмотрим подобласть течения , которая принадлежит рассматриваемой области течения , и в которой случайные параметры изменяются в интервалах , , , .
В общем случае подобласть является многосвязной областью, объем которой задается уравнением
.
Случайная амплитуда скорости может быть определена путем суммирования выражения в объеме :
(5)
Здесь - произвольный объем, вложенный в и содержащий . Статистический момент порядка случайной функции определяется следующим образом
(6)
В результате применения указанных преобразований система уравнений (1) принимает вид [11-12]:
(7)
Здесь
,, .
Отметим, что фигурирующая в уравнениях (7) турбулентная вязкость пропорциональна квадрату расстояния до шероховатой стенки. Система уравнений (7) имеет установившееся решение в форме логарифмического профиля, как для скорости, так и для температуры и концентрации [9-12].
2. Модель турбулентной объемной вязкости
В задаче о формировании вихревых турбулентных течений типа Большого красного пятна на Юпитере большую роль играет турбулентная объемная вязкость [8, 13]. Анализ системы уравнений (7) показывает, что уравнение неразрывности в турбулентном потоке принимает вид как для сжимаемой среды, хотя в исходной системе уравнений Навье-Стокса (1) предполагается течение несжимаемого газа. Это позволяет связать давление и дивергенцию скорости в виде [7-8, 13-15]
(8)
Здесь - некоторые параметры, которые могут быть определены для потока в целом, - параметр, характеризующий вязкость в турбулентном потоке, - скорость звука.
Уравнение (8) было выведено в нашей работе [13] из общих физических соображений. Покажем, что в турбулентном пограничном слое уравнение (8) выполняется в модели (7) при некоторых предположениях. Действительно, запишем уравнения, выражающие дивергенцию скорости и давление в турбулентном потоке - см. уравнения (2.11), (2.11, а) в [12], имеем
(9)
(10)
В стационарном пограничном слое и в отсутствии сил плавучести уравнение (10) можно проинтегрировать, в результате получим
(11)
Используя уравнение (9), приведем (11) к виду
(12)
В объеме течения при усреднении параметров согласно (6) сохраняется линейная связь
(13)
Наконец, полагая и учитывая, что в обсуждаемом случае , находим
(14)
Мы, таким образом, установили, что параметр пропорционален динамической вязкости атмосферного газа. Используя уравнение (14), можно переформулировать модель Навье-Стокса (1) в виде, удобном для численного интегрирования. Для этого запишем второе уравнение (1) в общей форме
(15)
Здесь - вектор объемных сил. Вычислим дивергенцию от обеих частей уравнения (15), тогда, используя (14) с постоянными параметрами получим
(16)
Здесь по повторяющимся индексам осуществляется суммирование, - параметр турбулентной диффузии поля давления, - динамическая вязкость. Таким образом, мы можем записать уравнения Навье-Стокса (1) в виде системы уравнений параболического типа:
(17)
Отметим, что параметры турбулентной диффузии и вязкости возникают в системе (17) в силу уравнения (14). Система уравнений (17) может быть использована для моделирования неустановившихся турбулентных течений [7-8, 13-15].
Другой вариант преобразованной системы уравнений Навье-Стокса может быть получен путем прямой подстановки выражения давления (14) в уравнение (15), имеем
(18)
Здесь параметры , следует считать заданными функциями координат и времени. Отметим, что в модели (18) турбулентность проявляется через механизм второй или объемной вязкости, а не через сдвиговые напряжения, как в стандартных моделях турбулентности, включая модель (7).
3. Модель циклонического течения
Для моделирования циклонов в земной атмосфере используем уравнение (18), которое модифицируем с учетом (7). Предполагая наличие осевой симметрии, имеем в цилиндрической системе координат
(19)
Параметр Кориолиса зависит от угла широты по формуле . Система уравнений (19) решалась численно методом установления в прямоугольной области . Начальные данные и граничные условия зададим, используя частные решения системы уравнений (7), описывающие течение в пограничном слое [9, 11], имеем
(20)
Здесь - время установления, которое ниже принято за единицу, . На рис. 1-2 представлены линии тока течения, сформировавшегося за время в Северном и Южном полушариях соответственно. Параметры модели: . Число Рейнольдса изменяется в процессе решения задачи и достигает значения .
Рис. 1. Линии тока циклонического течения в северных широтах: слева - в сечении ; справа - в плоскости
Рис. 2. Линии тока циклонического течения в южных широтах: слева - в сечении ; справа - в плоскости
Из приведенных на рис. 1-2 данных следует, что течение в северных широтах циркулирует против часовой стрелки, а в южных - по часовой стрелке, в полном соответствии с данными наблюдений. Таким образом, мы показали, что в турбулентном радиально сходящемся потоке под влиянием силы Кориолиса формируется циклоническое течение.
Рассмотрим обобщение модели (19) на случай движения центра циклона с некоторой заданной скоростью. Учитывая зависимости параметров течения от полярного угла, находим
(21)
Система уравнений (21) решалась численно в области . Начальные данные и граничные условия зададим аналогично (20), с учетом скорости движения циклона, имеем
(22)
На рис. 3-5 представлены линии тока и компоненты скорости течения, сформировавшегося за время в Северном полушарии.
Рис. 3. Линии тока циклонического течения в северных широтах (слева) в сечении и распределение азимутальной компоненты скорости (справа) в плоскости в сечениях
Параметры модели:
Здесь мы существенно увеличили параметр Кориолиса, на порядок понизили время установления и параметр шероховатости для сокращения времени счета. Число Рейнольдса изменяется в процессе решения задачи и достигает значения .
Рис. 4. Линии тока циклонического течения в северных широтах в плоскости в сечениях
Отметим, что локальный максимум азимутальной скорости достигается вблизи центра циклона и на периферии, а также вблизи верхней границы расчетной области. При этом в самом центре циклона , что связано с выбором граничных условий (22). Такое распределение азимутальной скорости соответствует известным гипотезам о механизмах формирования циклонов [16-22].
Рис. 5. Распределение компонентов скорости циклонического течения в северных широтах: вверху - в плоскости в сечении ; в плоскости в сечении - средние рисунки; внизу - в плоскости в сечении
Линии тока в подвижном циклоне - рис. 4, не указывают на наличие тороидального вихря, как в осесимметричном течении - рис. 1, 2, что, видимо, связано с различием систем уравнений (19) и (21), а также граничных условий (20) и (22). Распределение компонентов скорости в плоскостях и - рис. 5, демонстрируют наличия максимума амплитуды скорости в лобовой точке и минимума - в кормовой, что соответствует распределению на внешней границе.
4. Модель антициклона
Антициклон представляет собой область повышенного давления, в которой циркуляция воздуха направлена по часовой стрелки в Северном полушарии. Для моделирования антициклона используем систему уравнений (21) с граничными условиями (22), в которых изменим знаки радиальной и вертикальной скорости на противоположные, имеем
(23)
В параметрах модели изменим знак скорости движения центра:
(24)
Результаты расчетов скорости течения в Северном и Южном полушариях приведены на рис. 6-7 соответственно. Из приведенных на рис. 6 данных следует, что течение в северных широтах циркулирует по часовой стрелке, что соответствует антициклону. Антициклон в Южном полушарии показан на рис. 7. В этом случае течение циркулирует против часовой стрелки.
Рис. 6. Линии тока антициклонического течения в северных широтах (слева) в сечении и распределение азимутальной компоненты скорости (справа) в плоскости в сечениях