т.е. площадь под кривой f(D) согласно правилу нормирования равна единице и отражает вероятность всех возможных событий.
В практике электрических измерений одним из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей является нормальный закон (Гаусса).
Математическое выражение нормального закона имеет вид:
,
где f(D) - плотность вероятности случайной погрешности:
D = аi - A;
s - среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение может быть выражено через случайные отклонения результатов наблюдений Di (см. формулу (4.1)):
.
Характер кривых, описанных этим уравнением для двух значений s, показан на рис. 4.4. Из этих кривых видно, что чем меньше s, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т.е. тем точнее выполнены измерения. В практике измерений встречаются и другие законы распределения, которые могут быть установлены на основании статистической обработки опытных данных. Некоторые из наиболее часто встречающихся законов распределения приведены в ГОСТ 8.011-84 "Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений".
Основными характеристиками законов распределения являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины - это такое ее значение, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений. Математическое ожидание дискретной случайной величины М [X] определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:
.
Для непрерывных случайных величин приходится прибегать к интегрированию, для чего необходимо знать зависимость плотности вероятности от х, т. е. f(х), где х=D. Тогда:
.
Это выражение означает, что математическое ожидание равно сумме бесконечно большого числа произведений всех возможных значений случайной величины х на бесконечно малые площади f(х)dх, где f(х) -ординаты для каждого х,a dх - элементарные отрезки оси абсцисс.
Если наблюдается нормальное распределение случайных погрешностей, то математическое ожидание случайной погрешности равно нулю (рис. 4.4). Если же рассматривать нормальное распределение результатов, то математическое ожидание будет соответствовать истинному значению измеряемой величины, которое мы обозначаем через A.
Систематическая погрешность при этом представляет собой отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения А измеряемой величины:
Dс = М [X]- A,
а случайная погрешность - разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием:
.
Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания:
D [X]=Dx=M [(ai - mx)2].
Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Однако дисперсия выражается в единицах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве характеристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение (СКО), равное корню квадратному из дисперсии:
.
Рассмотренное нормальное распределение случайных величин, в том числе и случайных погрешностей, является теоретическим, поэтому описанное нормальное распределение следует рассматривать как "идеальное", т. е. как теоретическую основу для изучения случайных погрешностей и их влияния на результат измерений.
Далее излагаются способы применения этого распределения на практике с той или иной степенью приближения. Рассматривается также еще одно распределение (распределение Стьюдента), применяемое при небольших количествах наблюдений.
Оценки погрешностей результатов прямых измерений. Пусть было проведено п прямых измерений одной и той же величины. В общем случае в каждом из актов измерений погрешность будет разной:
Di = ai - A,
где Di - погрешность i-го измерения; ai - результат i-го измерения.
Поскольку истинное значение измеряемой величины A неизвестно, непосредственно случайную абсолютную погрешность вычислить нельзя. При практических расчетах приходится вместо A использовать его оценку. Обычно принимают, что истинное значение равно среднему арифметическому значению ряда измерений:
. (4.2)
где аi - результаты отдельных измерений; п - число измерений.
Теперь аналогично выражению (4.1) можно определить отклонение результата каждого измерения от среднего значения :
(4.3)
где vi - отклонение результата единичного измерения от среднего значения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна, т. е.:
и min.
Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.
Затем вычисляют оценку значения средней квадратической погрешности для данного ряда измерений:
. (4.4)
Согласно теории вероятностей при достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погрешности, оценка S сходится по вероятности к s. Таким образом,
. (4.5)
Ввиду того что среднее арифметическое значение также является случайной величиной, имеет смысл понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения. Эту величину обозначим символом sср. Можно показать, что для независимых погрешностей:
. (4.6)
Значение sср характеризует степень разброса . Как указывалось выше, выступает оценкой истинного значения измеряемой величины, т.е. является конечным результатом выполняемых измерений. Поэтому sср называют также средней квадратической погрешностью результата измерений.
На практике значением s, вычисляемым по формуле (4.5), пользуются в том случае, если необходимо дать характеристику точности применяемого метода измерения: если метод точен, то разброс результатов отдельных измерений мал, т.е. мало значение s. Значение же sср, вычисляемое по (4.6), используется для характеристики точности результата измерений некоторой величины, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых измерений.
При оценке результатов измерений иногда пользуются понятием максимальной или предельной допустимой погрешности, значение которой определяют в долях s или S. В настоящее время существуют разные критерии установления максимальной погрешности, т. е. границы поля допуска ±D, в которые случайные погрешности должны уложиться. Общепринятым пока является определение максимальной погрешности D = 3s (или 3S). В последнее время на основании информационной теории измерений профессор П.В. Новицкий рекомендует пользоваться значением D = 2s.
Введем теперь важные понятия доверительной вероятности и доверительного интервала. Как указывалось выше, среднее арифметическое значение , полученное в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения А и, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть Рд есть вероятность того, что отличается от А не более чем на D, т.е.
Р(-D< А<+D)=Рд.
Вероятность Рдназывается доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины от -D до +D - доверительным интервалом.
Приведенные выше неравенства означают, что с вероятностью Рд доверительный интервал от -D до +D заключает в себе истинное значение А. Таким образом, чтобы характеризовать случайную погрешность достаточно полно, надо располагать двумя числами - доверительной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона, в то время как при небольшом числе измерений (п <20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероятностей, практически совпадающую с нормальной при большихп, но значительно отличающуюся от нормальной при малых п.
В табл. 4.1 приведены так называемые квантили распределения Стьюдента Ѕt(n)ЅРд для числа измерений п = 2-20 и доверительных вероятностей Р = 0,5-0,999.
Укажем, однако, что обычно таблицы распределения Стьюдента приводятся не для значений п и Рд, а для значений:
m = n-1 и a =1 - Рд,
что следует учитывать при пользовании ими. Чтобы определить доверительный интервал, надо для данных п и Рд найти квантиль Ѕt(n)ЅРд и вычислить величины:
Ан = - sсрЧ Ѕt(n)ЅРд,
Ав = + sсрЧ Ѕt(n)ЅРд,
которые будут являться нижней и верхней границами доверительного интервала.
После нахождения доверительных интервалов для заданной доверительной вероятности согласно выше приведенной методике делают запись результата измерения в виде ; D = Dн ё Dв; Рд,
где - оценка истинного значения результата измерения в единицах измеряемой величины; D - погрешность измерения;
Dв = +sсрЧ Ѕt(n)ЅРд,
Dн = -sсрЧ Ѕt(n)ЅРд
- верхняя и нижняя границы погрешности измерения; Рд - доверительная вероятность [14].
Вывод
Влажность газов, жидкостей и твердых материалов - один из важных показателей в технологических процессах. Влажность газов, например, необходимо измерять в сушильных установках, при очистке газов, в газосборниках, при кондиционировании воздуха и т.д. Измерение содержания воды в нефти, спиртах, ацетоне проводят в процессах нефтепереработки и нефтехимии, в пульпах - в производстве серной кислоты и минеральных удобрений. Измерение влажности твердых сыпучих материалов занимает важное место в производстве красок, минеральных удобрений, строительных материалов; влажность волокнистых материалов определяет качество продукции при производстве бумаги и картона. В данной курсовой работе мною были рассмотрены методы и средства измерения влажности, приборы для измерения влажности, а также регуляторы влажности, позволяющие контролировать влажность в помещении на необходимом уровне.
Список литературы
1. Письмо Федеральной таможенной службы от 31 января 2006 г. N 01-06/2946 "О приказе Роспотребнадзора от 21.11.2005 N 776 "О санитарно-эпидемиологической экспертизе видов деятельности (работ, услуг), продукции, проектной документации".
2. Межгосударственный стандарт ГОСТ 12815-80 "Фланцы арматуры, соединительных частей и трубопроводов на Р_у от 0,1 до 20,0 МПа (от 1 до 200 кгс/см 2). Типы. Присоединительные размеры и размеры уплотнительных поверхностей" (утв. постановлением Госстандарта СССР от 20 мая 1980 г.
3. Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений. - М.: Энергоатомиздат, 1986.
4. Лифиц И.М. Основы стандартизации, метрологии, сертификации: Учебное пособие. - М.: ООО Юрайт, 2006.
5. Никитин В.А., Бойко С.В. Н-62 Методы и средства измерений, испытаний и контроля: Учебное пособие - 2-е изд. перераб. и доп. - Оренбург ГОУ ОГУ, 2008.
6. Основные направления и механизм энергоресурсосбережения в жилищно-коммунальном хозяйстве, г. Москва, 2008 г.
7. РД 50-411-83 Расход жидкостей и газов. Методика выполнения измерений с помощью специальных сужающих устройств. ВНИИФТРИ, Казанский филиал.
8. РМГ 29-99 ГСИ. Рекомендации по межгосударственной стандартизации. Метрология. Основные термины и определения - М.: Издательство стандартов, 2007.
9. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология: Учебное пособие для вузов. - М.: Логос, 2007.
10. Интернет ресурсы.