Курсовая работа: Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА

ВЫСШАЯ ШКОЛА ПЕЧАТИ И МЕДИАТЕХНОЛОГИЙ

Курсовая работа

Дисциплина: Программирование

Тема: Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников

Выполнил:

Шадрина К.В.

Санкт-Петербург 2018

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА

ВЫСШАЯ ШКОЛА ПЕЧАТИ И МЕДИАТЕХНОЛОГИЙ

Институт полиграфических технологий и оборудования

Кафедра ИиУС

УТВЕРЖДАЮ:_________________

Зав. кафедрой А.Н.Коваленко

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

Дисциплина программирование

Студент Шадрина Кристина_ Группа 1-ТИДА-3

1. Тема проекта вычисление определенного интеграла методом прямоугольников_________

2. Срок сдачи студентом законченного проекта 05 июня 2018 года____________________________

3. Исходные данные к проекту анализ открытых источников по выбранной теме _______

4. Содержание расчетно-пояснительной записки (перечень подлежащих разработке вопросов) ознакомление с основами написания программного обеспечения на языке__________________ программирования «С++»; ознакомление с теоретическими положениями выбранной______ темы; разработка программного обеспечения

_______________________

5. Перечень графического материала 8 рисунков

6. Литература и прочие материалы, рекомендуемые для изучения Д.Т. Письменный «Конспект лекций по высшей математике. Полный курс», Лафоре Р. Объектно-ориентированное программирование в С++

Дата выдачи задания «26» февраля___ 2018 г.

Студент _________ (Шадрина К.В.) подпись Ф.И.О.

Руководитель _______ (Галимова Е.Ю.) подпись Ф.И.О.

Заключение руководителя о качестве курсовой работы

Оценка _________________ Руководитель подпись Ф.И.О.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

1.1 Численные методы

1.2 Определение и суть метода прямоугольников

1.3 Метод средних прямоугольников

1.4 Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников

1.5 Метод левых прямоугольников и метод правых прямоугольников

1.6 Пример применения метода прямоугольников при приближенном вычислении определенных интегралов

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

2.1 Постановка задачи

2.2 Разработка алгоритма данной программы

2.3 Листинг программы

2.4 Общий вид программы

2.5 Экспериментальная проверка программы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы данной работы обусловлена тем, что приближенное вычисление определенного интеграла численными методами играет немаловажную роль в решении задач в области математики и физики, позволяя ускорить и облегчить процесс вычисления определенных интегралов от функций, первообразные которых невозможно выразить с помощью элементарных функций. Развитие методов повлияло на особенности систем автоматизированного проектирования, внедряемых в НИИ, а также на предприятиях.

Цель курсовой работы - изучение теоретической и практической основы метода прямоугольников, его анализ, а также разработка программы, реализующей приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольников по самостоятельно заданной функции.

Задача работы заключается в создании программы, которая:

1) иллюстрирует метод прямоугольников;

2) реализует приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольников.

В первой главе дадим понятие метода прямоугольников и его описание, приведем примеры, где применяется этот метод, выведем формулу прямоугольников, получим формулу подсчета абсолютной погрешности данного метода. Затем рассмотрим подвиды метода прямоугольников - метод левых прямоугольников и метод правых прямоугольников. После чего приведем подробные вычисления определенного интеграла с некоторыми пояснениями. Во второй главе приведем описание задачи, блок-схему алгоритма решения данной задачи, а также текст программы, реализующей поставленную задачу. В доказательство правильности работы программы приведем скриншоты результатов.

И, наконец, подведем итог проделанной работы.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

1.1 Численные методы

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции . Если можно найти первообразную функции , то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

,

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция задана графически или таблично) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Есть три наиболее распространенных метода приближенного вычисления определенного интеграла - метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла, но углубимся в рассмотрение лишь первого из них.

1.2 Определение и суть метода прямоугольников

Метод прямоугольников - метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота - значением подынтегральной функции в этих узлах.

Пусть функция непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл.

Разобьем отрезок [a;b] на n частейточками

.

Внутри каждого отрезка

выберем точку. Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения, то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла

,

Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму. погрешность прямоугольник интеграл программа

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.

2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например,.

Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

1.3 Метод средних прямоугольников

Если отрезок интегрирования [a;b] разбить на равные части длины h точками, , , …, ,

(т.е. , ) и в качестве точеквыбрать середины элементарных отрезков

(т.е.,), то приближенное равенство

,

,

можно записать в виде:

Это и есть формула метода прямоугольников. Также ее называют формулой средних прямоугольников из-за способа выбора точек.

называют шагом разбиения отрезка [a;b].

Приведем графическую иллюстрацию метода средних прямоугольников.

Рисунок 1. Метод средних прямоугольников.

Из чертежа видно, что подынтегральная функцияприближается кусочной ступенчатой функцией

,

С геометрической точки зрения для неотрицательной функции на отрезке [a;b] точное значение определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции, а приближенное значение по методу прямоугольников - площадь ступенчатой фигуры.

Рисунок 2. Геометрический смысл метода прямоугольников.

1.4 Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников

Перейдем к оценке абсолютной погрешности метода прямоугольников. Сначала оценим погрешность на элементарном интервале. Погрешность метода прямоугольников в целом будет равна сумме абсолютных погрешностей на каждом элементарном интервале.

На каждом отрезкеимеем приближенное равенство

,

Абсолютную погрешность метода прямоугольниковна-ом отрезке вычисляем как разность между точным и приближенным значением определенного интеграла:

,

Так какесть некоторое число и, то выражение можно записать как

,

Тогда абсолютная погрешность формулы прямоугольников на-ом элементарном отрезке будет иметь следующий вид

,

Если считать, что функция имеет в точкеи некоторой ее окрестности производные до второго порядка включительно, то функцию можно разложить в ряд Тейлора по степеням

с остаточным членом в форме Лагранжа:

где.

Таким образом,

,

,

По свойствам определенного интеграла равенства можно интегрировать почленно:

,

Абсолютная погрешность формулы прямоугольников на отрезке [a;b] равна сумме погрешностей на каждом элементарном интервале, поэтому

,

,

Полученное неравенство представляет собой оценку абсолютной погрешности метода прямоугольников.

1.5 Метод левых прямоугольников и метод правых прямоугольников

Теперь рассмотрим модификации метода прямоугольников.

,

,

Рисунок 3. Метод левых прямоугольников. Метод правых прямоугольников.

Отличие от метода средних прямоугольников заключается в выборе точекне в середине, а на левой и правой границах элементарных отрезков соответственно.

,

Абсолютная погрешность методов левых и правых прямоугольников оценивается как

1.6 Пример применения метода прямоугольников при приближенном вычислении определенных интегралов

В этом пункте разберем пример приближенного вычисления определенного интеграла методом прямоугольников.

В основном, встречаются два типа задач:

1) задается количество интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования;

2) задается допустимая абсолютная погрешность.

Формулировки задач:

· приближенно вычислить определенный интеграл методом прямоугольников, разбив отрезок интегрирования на n частей;

· методом прямоугольников найти приближенное значение определенного интеграла с точностью до одной сотой (одной тысячной и т.п.).

Но рассмотрим лишь первый случай.

Следует отметить, что в примере возьмем такую подынтегральную функцию, первообразную которой можно найти. Так сможем вычислить точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница для того, чтобы сравнить результат с приближенным значением, полученным с помощью метода прямоугольников.

Пример. Вычислить методом прямоугольников:.

Решение.

Разобьем отрезок [a, b] на несколько (например, на 12) равных частей.

Тогда .

Так как , , , …, , (см. п. 1.3.), то:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Для наглядности и удобства внесем данные в таблицу (Таблица 1).

Таблица 1

Воспользуемся формулой метода прямоугольников

,

,

Чтобы сосчитать абсолютную погрешность метода в данном примере, найдем точное значение определенного интеграла:

,

Таким образом, результат, полученный методом прямоугольников для n=12, отличается от точного результата более чем на 2 единицы.

Рисунок 4. Графический вид данного интеграла.

Итак, при вычислении определенных интегралов методом прямоугольников можно найти лишь приближенное значение. Чем ниже задается основание прямоугольника, тем точнее результат, получаемый машиной. При этом, число итераций (повторяющаяся обработка данных) составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Поэтому для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.