Документ: zadachi_na_ekzamen, страницы 1-5 | База учебных материалов

Материал: zadachi_na_ekzamen

Смотрите также:

Розділ 1: Термодинамічний розрахунок характеристик системи по заданому рівнянню стану і калорійному рівнянню (1 задача):

Задача: Розрахувати такі термодинамічні характеристики системи: теплоємність CV ,

		∂
ентропію S, теплоємність CP , хімічний потенціал	µ , стисливості адіабатичну		p(V )	та
ентропію S, теплоємність CP , хімічний потенціал	µ , стисливості адіабатичну	∂V	p(V )	та
		∂V	S

		∂				U
ізотермічну			p(V )	, якщо система задається рівнянням стану	pV =		, та калорічним
ізотермічну		∂V	p(V )	, якщо система задається рівнянням стану	pV =	3	, та калорічним
		∂V	T			3
рівнянням ,	σ - стала Стефана-Больцмана.

Знайдемо термічне рівняння стану системи:

pV = U3 = σVT3 4

C =		∂U		= 4σVT 3
	V	∂T
			V
	∂S	C			= 4σVT 2
		=	V

	∂T V		T

S= 43 σVT 3 + f (V )

Зспіввідношення Максвелла:

∂S	=	4	σT	3	+ f	'	(V )
		3

∂V T

	∂p		4σT 3
=		=	3

	∂T V

43 σT 3 + f ' (V )= 4σ3T 3 f ' (V )= 0 f (V )= const

З 3 закону термодинаміки випливає, що f (V )= const = 0

S = 43 σVT 3

Знайдемо хімічний потенціал такої системи:

	∂U	= 0
µ =		= 0
	∂N T ,V

∂				∂	σT 4
		p(V )	=				= 0
	∂V				3
		T		∂V		T

tkitar 2010

Розділ 2: Термодинамічні цикли

Задача 1: У тепловій машині використовується цикл, що складається з ізобари, адіабати, ізобари, адіабати (цикл Джоуля). Робочою речовиною є ідеальний газ. Обчислити коефіцієнт корисної дії.

За означенням: η = δ A = Qr −Ql , де Qr - одержана кількість теплоти, Ql

Qr Qr

система втратила.

1) Розглянемо перший ізобаричний процес: у термінах змінних T,V

точки T1,V1 у точку T2 ,V2

При цьому системі надається кількість теплоти: dU +δ A = CV (T2 −T1 )+ p1 (V2 −V1 )

T2 = pvR1V2 ,T1 = pvR1V1

∆Q1→2 = CvRV p1 (V2 −V1 )+ p1 (V2 −V1 )= 52 p1 (V2 −V1 )

- кількість теплоти, яку

система переходить із

2)Адіабатичний процес між точками p1,V2 → p2 ,V3

Вцьому процесі за самим його визначенням система не отримує і не втрачає теплоти: δQ2→3 .

3)Ізобаричний процес між точками T3 ,V3 і T4 ,V4

∆Q3→4 = 52 p2 (V4 −V3 )

Отже у нас є кількості теплоти, що система отримує і віддає. Тепер поставимо мету виразити V4 ,V3 через V1,V2 . Це може бути зроблено, бо ці точки є початковими і кінцевими точками адіабатичних процесів, а рівняння Адіабати є відомим для ідеального газу.

pV γ = const

1

γ

p1V2γ = p2V3γ V3 =

p1

V2

p2

1

γ

p1V1γ = p2V4γ V4 =

p1

V1

p2

5

p2

(V4

−V3 )

p V −V

1

γ −1

γ

η =1−

2

=1−

2

( 3 4 )

=1−

p2

p1

=1

−

p2

5

(V2

−V1 )

p1

(V2 −V1 )

p1

p2

p1

2 p1

tkitar 2010

Задача 2: У тепловій машині використовується цикл, що складається з адіабати, ізохори, адіабати, ізохори (цикл Отто). Робочою речовиною є ідеальний газ. Обчислити коефіцієнт корисної дії.

Визначимо кількість теплоти у ізохоричному процесі 2 → 3 :

δQ = dU +δ A = CV ∆T

Система отримує кількість теплоти:

∆Q = CV (T3 −T2 )

Визначимо кількість теплоти у ізохоричному процесі 4 →1:

Система втрачає кількість теплоти:

δQ = CV (T4 −T1 )

Тепер температури T1,T2 і T3 ,T4 пов’яжемо за допомогою рівнянь адіабати ідеального газу:

TV γ −1	=T V γ −1	T	=T	V2	γ −1
1 1	2 2	1	2
				V1
T V γ −1	=T V γ −1	T	=T	V2	γ −1
3 2	4 1	4	3
				V1

Тоді, за означенням, коефіцієнт корисної дії буде:

η =1		CV (T3 −T2 )		=1	V	γ −1
	−				− 2
		CV (T4	−T1 )
					V1

Задача 3: У тепловій машині використовується цикл, що складається з адіабати, ізобари, адіабати, ізохори (цикл Дизеля). Робочою речовиною є ідеальний газ. Обчислити коефіцієнт корисної дії.

Запишемо кількість теплоти що система здобуває у ізобаричному процесі 2 → 3 :

∆Q2→3 = CV (T3 −T2 )+ p2 (V3 −V2 )= 52 p2 (V3 −V2 )

Запишемо кількість теплоти, що система втрачає у ізохоричному процесі 4 →1:

∆Q4→1 = CV (T1 −T4 )= CV vRV1 (p3 − p1 )= 32V1 (p3 − p1 )

Тоді, за означенням, коефіцієнт корисної дії буде:

tkitar 2010

		3V1 (p3		− p1 )		C V1 (p3 − p1 )
η =1	−	2			=1−	V
						Cp p2	(V3 −V2 )
	5		(V3	−V2 )
		2 p2

Тепер застосуємо рівняння Адіабати, для знаходження зв’язку між отриманими параметрами.

p2V2γ = p1V1γ

p2V3γ = p3V1γ

Проводячи віднімання цих рівнянь знаходимо:

p3 − p1	= p2			γ			γ
p3 − p1	= p2	V3			− V2
			V			V
			1			1
Тоді:

γ

V1 p2

V3

− V2

V3

V2

1

−

1

V1

V

η =1−

=1

−

1

γ

p

(V

−V )

γ V

−

V

2

3

2

3

2

V1

Розділ 3: Розрахунок термодинамічних характеристик за допомогою принципу Больцмана (1 задача):

Задача 1: Прямолінійний ланцюжок складається з N елементів (N>>1) довжиною а, які можуть вільно обертатися (модель молекули гуми). Обчислити коефіцієнт Гука – коефіцієнт пропорційності між силою натягу f та довжиною L ланцюжка.

Задача поставлена у мікроканонічному ансамблі, заданою є довжина.

L = N+a − N−a

= kN ln N −kN+ ln N+ −kN− ln N−

Для виключення двох невідомих величин маємо два рівняння:

N+ + N− = NN − N = L

+ − a

Звідси маємо:

tkitar 2010

N

+

+ N

−

= N

L

N+

− N−

=

a

L

1

L

2N+ = N +

N+ =

N +

a

2

a

L

1

L

−2N− =

− N N− =

N −

a

2

a

Підставляємо це у попередню формулу:

1

L

1

L

1

L

1

L

S = k N ln N

−k

2

N +

ln

N +

−k

2

N −

ln

2

N −

a

2

a

Визначимо пружню силу: dF = −SdT + f (x,T )dx

f= ∂F

∂x T

F=U −TS

Утакій ідеальній системі енергія є рівною нулю, тому

F= −TS , а для пружної сили будемо мати вираз:

∂S

1

x

1

x

1

f

= −T

= k

ln

N +

+

−

ln

N −

−

2

2a

2

∂L T

2a

a

2a

f = kT ln

1

+

x

= kT arth

x

Na

x

Na

2a

1

−

a

Na

При малих кутах

f ≈ akT2 N x , звідки можна зразу визначити шуканий коефіцієнт пропорційності.

Розділ 4: Розрахунок термодинамічних характеристик класичних і квантових систем по методу Гіббса (8 задач):

Задача 1: Обчислити статистичну суму Z для системи із N майже не взаємодіючих квантових частинок, кожна з яких може мати лише два значення енергії: −ε0 та ε0 . Знайти вільну

енергію, ентропію, калорійне рівняння стану.

Схема:

tkitar 2010

S = k lnW = k ln

= kN ln N − N −kN+ ln N+ + N+ −kN− ln N− + N− =

S = k lnW = k ln

= kN ln N − N −kN+ ln N+ + N+ −kN− ln N− + N− =