Курсовая работа (т): Застосування чисел Фібоначчі

Міркуючи аналогічно, як в числах Фібоначчі, приходимо до числової послідовності

2, 3, 4, 6, 9, …, =+.

Обчислюючи її члени послідовно, отримаємо, що U20 = 2745. Введемо таке означення.

=+ (1),

а члени цієї послідовності - числами Фібоначчі - Нарайани.

Покладемо  = 0.

Маємо числову послідовність 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ….

Якщо в послідовності (1) n = 7k + 4, n = 7k + 6, n = 7k, де k = 0, 1, 2, …, то  - парне.

На три діляться тільки ті члени ряду (1), порядковій номер яких має вид 8n, 8n - 1 або 8n - 3.

1.3 Золотий переріз ( формула Біне)

Золотий переріз - це найкомфортніша для ока пропорція, форма, в основі побудови якої лежить поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє якнайкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії.

У математиці принцип золотого перерізу вперше сформульовано ще в «Началах» Евкліда, найвідомішому математичному творі античної науки, написаному в III столітті до н.е.

Послідовність Фібоначчі - це не просто гра з числами, а найбільш важливе математичне вираження природних явищ з усіх, що колись було відкрито. Гідно подиву, скільки всього можна обчислити за допомогою послідовності Фібоначчі і як її члени проявляються у величезній кількості комбінацій. Приклади, що наведені нижче, подають деякі цікаві застосування цієї математичної послідовності. Дана послідовність асимптотично (наближаючись усе повільніше та повільніше) прямує до деякого постійного співвідношення (відношення члена послідовності до попереднього йому). Однак це одержимо число 0.382. При діленні будь-якого члена послідовності Фібоначчі нанаступний одержимо зворотну до 1.618 величину (1: 1.618=0.618). При діленні кожного числа на наступне за ним через одне, одержимо число 0.382[15, с.22]. Особові назви цьому співвідношенню почали надавати ще до того, коли Лука Пачіолі (сpедньовічний математик) назвав його “Божественною пpопоpцією”. Найого думку, навіть Бог використовував принцип золотого перерізу для створення Всесвіту. Доречі, цю ідею пізніше використав Кеплер (німецький математик, астроном, механік)[10,с.37]. Водночас Леонардо да Вінчі, другом котрого був Пачолі, використовував для композиційної побудови своєї знаменитої Джокондит.зв. «золотий рівнобедрений трикутник», уякому відношення бедра до основи дорівнює золотому перерізу.еред його сучасних назв є такі, як “Золотий переріз” та “відношення обернених квадpатів”. Kеплеp назвав це співвідношення одним із “скарбів геометpії”. В алгебpі загальноприйняте його позначення грецькою літерою фі: Ф=1.618. Тут необхідно відзначити, що Фібоначчі лише нагадав людству це співвідношення, так як воно було відомо ще в давні часи під назвою “Золотий переріз”. Людина розподіляє навколишні предмети за формою. Форма, в основі побудови якої знаходяться комбінації симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та виникненню відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться у визначеному співвідношенні один до одної та до цілого.Принцип золотого перерізу - найвищий вияв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618..., якщо cприйняти за одиницю, a = 0,382.. Як ми вже знаємо, числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні фігури.

Це рівняння має єдиний додатній розв'язок

 <#"815096.files/image035.gif">

Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8.

Число(рис.2) деколи називають золотим числом.

Обчислення значення золотого перетину.

Золотий перетин  можна обчислити безпосередньо з означення:

Праве рівняння дає a=b. Підставляючи цю рівність у ліву частину:

Скоротивши  отримаємо:

Помноживши обидві частини на після перестановки отримаємо:

Це квадратне рівняння <#"815096.files/image044.gif">

Формула Біне

Числа Фібоначчі тісно пов'язані з золотим перетином <#"815096.files/image045.gif">

Формула Біне виражає за допомогоюзначення в явному вигляді як функцію від n:

При цьомуіє коренями квадратного рівняння .

Оскількизнаходимо, що приТому з формули Біне випливає, що для всіх натуральних n,  є найближчим доцілим числом, тому

або. Зокрема,

справедливаасимптотика <#"815096.files/image057.gif">

Розділ ІІ. Застосування чисел Фібоначчі

.1 Математичні застосування

Принципи «золотого перетину» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та інших мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів, головним чином античності та Відродження.

У кожній науці є, так звані, «Метафізичні» знання, без яких неможливе існування самої науки. Наприклад, якщо виключити з математики поняття натурального та ірраціонального чисел або аксіоми геометрії, математика відразу ж перестане існувати. З таким же правом до розряду «метафізичних» знань може бути віднесено й «золотий перетин», яке вважалося «каноном» античної культури, а потім і епохи Відродження. Однак, як це не парадоксально, в сучасній теоретичній фізиці і математиці «золота пропорція» ніяк не відображена. Нині робляться спроби показати, що «золотий перетин» є однією з найважливіших «метафізичних» ідей, без якої важко уявити подальший розвиток науки, зокрема, теоретичної фізики і математики [16,с.105].

«Золотий переріз» та математика - невід’ємні поняття, які не можуть існувати окремо. Широке поширення отримали так звані «Золоті фігури», мають у своїй основі «золотий перетин».

«Золотий трикутник» - це рівнобедрений трикутник, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює 1.618.

Є й «золотий кубоід» - це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.

В даний час досліджуються математичні теорії пов'язані з принципами «золотого перетину»: нова теорія гіперболічних функцій, нова теорія чисел, нова теорія вимірювання, теорія матриць Фібоначчі і так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорію кодування і нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з точки зору золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить у теорії нові й напевно дуже цікавій.

Задачі, розгляд яких приводить до послідовності чисел, які тісно пов’язані з числами Фібоначчі.

Задачі з теорії чисел.

Знайти число, яке ділиться на 7 і дає в залишку одиницю при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6;

Знайти число, добуток якого на сім дає залишки 1, 2, 3, 4, 5 при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, відповідно;

Знайти квадратне число, яке при збільшенні або зменшенні на 5 давало б квадратне число.

Задача про ріст дерев.

Це переформульована задача про розмноження кроликів, у якій умови є менш штучними. Вона формулюється так:

Нехай деяке дерево росте таким чином, що кожна нова гілка протягом першого року тягнеться догори або в бік, а потім (починаючи з другого року) щорічно дає по одному бічному пагону. Скільки гілок буде на дереві, яке виросте із саджанця без жодного бічного паростка через 1, 2, 3, 4 і т. д. років?

Задача про розміщення листків на гілці.

Якщо листки на гільці сидять поодинці, то вони завжди ростуть навколо стебла не по колу, а по гвинтовій лінії. При цьому для кожного виду рослин характерний свій кут розходження двох сусідніх листків, який, як стверджують ботаніки, буває більш-менш сталий в усіх частинах стебла. Цей кут звичайно подають дробом, що показує, яку частину кола він становить. Так, у липи і у в’яза кут розходження листків дорівнює , у бука - . Скласти послідовність найбільш поширених кутів розходженння (в частинах кола) для рослин, які ростуть у вашій місцевості. Що складають ряд чисельників і ряд знаменників для такої послідовності? Зауважимо, шо такий самий кут у даного виду рослин зберігається і в розміщенні гілок, бруньок, квіток.

Про фарбування будинків у містечку.

Будинки в містечку потрібно пофарбувати так, щоб кожен поверх виявився пофарбованим або в білий, або в блакитний колір. З естетичних міркувань, ніякі два сусідні поверхи не повинні бути пофарбованими в блакитний колір. Скількома способами можна пофарбувати будинки в містечку, дотримуючись вказаних вимог, якщо число їх поверхів визначено? (рис.3)

Усі можливі способи фарбування одно-, дво- та три поверхових будинків подано на малюнку 3. Зрозуміло, що одноповерхові будинки можна пофарбувати лише двома способами, двоповерхові - трьома, триповерхові - п’ятьма способами. Це означає, що із збільшенням кількості поверхів, число способів зростає так: 2, 3, 5...Якщо в містечку є будинки з більшою кількістю поверхів, цей ряд треба продовжити. Далі знаючи скільки в містечку одно-, дво-, три- і т.д. поверхових будинків, неважко отримати розв’язок цієї задачі.

Рис.3

2.1.1 Числа Фібоначчі і геометрія

Золота пропорція в геометричних об’єктах

Якщо у пентагоні провести діагоналі, одержимо п’ятикутну зірку, яка називається пентаграмою або пентаколом. (рис.4).

Рис.4

В пентагоні можна знайти велику кількість відношень золотої пропорції.

Наприклад, відношення діагоналі до його сторони. Кожні вісім років планета Венера описує довершено правильний пентакол по великій небесній сфері. Стародавні люди помітили це явище і були так вражені, що Венера та її пентакл стали символами довершеності та красоти.

Рис.5

Відомо, що зірка ледве не стала символом Олімпійських ігор, але в останній момент її модифікували: п’ять гострих кінців зірочки замінили п’ятьма кільцями (рис.5). За переконаннями організаторів кільця краще відображають гармонію ігор. Слово «Пентагон» нам добре відомо у зв’язку з назвою військового відомства США, будівля якого має форму пентагона.

В античному мистецтві широко відомий закон золотої чаші, який використовували скульптори. Заштрихована частина пентагона дає схематичне уявлення золотої чаші.

Рис.6

Рис.7

Золотий перетин виступає у правильній пентаграмі <#"815096.files/image065.gif"> <#"815096.files/image037.gif">

Звернемо увагу на пентаграму. Вона викликає зацікавлення багатьох людей. Пентаграма викликала особливе захоплення у піфагорійців і вважалася їх головним розпізнавальним знаком. Будівля військового відомства США має форму пентаграми і отримало назву «Пентагон», що значить правильний п'ятикутник.

Окрім пентагона і пентаграми золоті відношення є і в правильних многогранниках. Правильний многогранник - це такий многогранник, всі грані якого рівні ті є правильними многокутниками. Ще в «Началах» Евкліда доведено, що існує п’ять видів правильних многогранників: тетраедр, гексаедр, додекаедр, ікосаедр.

Інтерес людини до природи призвів до відкриття її фізичних і математичних закономірностей. Краса природних форм народжується у взаємодії двох фізичних сил - тяжіння та інерції. Золота пропорція - це математичний символ цієї взаємодії, оскільки виражає основні моменти живого зростання: стрімкий зліт юних пагонів змінюється уповільненимз ростанням «за інерцією» до моменту цвітіння.

Аналіз сучасних програм освіти в таких країнах, як США, Канада, Росія та Україна, показує, що в більшості з них немає навіть згадки про «золотий перетин». Тобто, має місце свідоме ігнорування одного з найважливіших відкриттів античної математики. Можливо, причину слід шукати в негативному ставленні сучасної «матеріалістичної» науки і «матеріалістичного» освіти до астрології і так званим «езотеричним» наук. У них «золотий перетин» і пов'язані з ним геометричні фігури - «пентаграма», «Платонова тіла», «куб Метатрон» - широко використовуються як основні «сакральних» символів. І «матеріалістичний» освіта не знайшло нічого більш розумного, як викинути золотий перетин на звалище «сумнівних наукових концепцій» разом з астрологією та «езотеричними» науками. У результаті більшість «освічених» людей добре знають «теорему Піфагора», але мають дуже туманне уявлення про «золотий перетин»

2.1.2 Метод математичної індукції і числа Фібоначчі, f2,f3,…,fn,… - числа Фібоначчі.

Довести, що кожне натуральне число дорівнює сумі кількох (можливо одного) різних чисел Фібоначчі.

Для n=1 твердження вірне, оскільки 1 є числом Фібоначчі.

. Доведемо, що воно виконується і для числа n. Якщо n - число з послідовності Фібоначчі, то твердження справедливе.

Якщо n не є числом Фібоначчі, то позначимо найбільше з чисел Фібоначчі, яке не перевищує n, через fі. Розглянемо різницю n- fі. Оскільки fі<n<fі+1= fі-1+ fі, 1<n- fі<fі-1, то за припущенням індукції n- fі можна записати у вигляді суми членів послідовності Фібоначчі, менших fі-1. Тобто n-fi=fi1+fi2+…+fik+fi. Отже, і в цьому випадку n можна записати як суму декількох різних чисел Фібоначчі.+m=fn-1fm+fnfm+1