Контрольная работа: Застосування теорії ймовірності в сфері економіки
Застосування теорії ймовірності в сфері економіки
Завдання 1
У класі навчається 30 учнів: 12 хлопчиків і 18 дівчаток. З класу навмання вибирають учня. Знайти ймовірність того, що він:
а) хлопчик; б) дівчинка.
Розв’язок:
n = 30 - усього учнів,
m
= 12 - учнів хлопчиків,
m
= 18 -
учнів дівчаток.
а) Нехай А - подія, яка полягає в тому, що вибраний навмання учень хлопчик,
тоді:
Р (А
) = 
= 
= 
;
б) Нехай А
- подія, яка полягає в тому, що вибраний навмання учень дівчинка,
тоді:
Р (А) = 
= 
= 
;
Завдання 2
Для контролю якості виготовленої продукції відібрано n виробів. Ймовірність того, що взятий
навмання виріб є неякісним, дорівнює p. Знайти ймовірність того, що серед
вибраних виробів буде не менше m і не більше m неякісних, якщо:
2. n = 600, p = 0,05, m= 25, m= 60;
Розв’язок:
Подія А - виріб є неякісним.
Її ймовірність p=0,05, кількість незалежних випробувань n = 600.
Застосуємо формулу інтегральної теореми Лапласа:
P
(m; m) 
Ф (x) - Ф (x)
x = 
; x= 
; q = 1 - p
функція Лапласа
Виконуємо обчислення:
х = 
= 
= 
= - 0,93
х= 
= 
= 
= 5,62
P
(25; 60) = Ф (5,62) - Ф (-0,93) = Ф (5,62) + Ф (0,93) =0,5000 +
0,3238 = 0,8238
Значення функції Лапласа беруться з відповідної таблиці - таблиці значень інтегральної функції Лапласа.
Завдання 3
Випадкову величину Х, що визначає добовий попит на певний продукт, задано рядом розподілу. Знайти параметр а та числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:
а) математичне сподівання М (Х);
б) дисперсію D (Х);
в) середнє квадратичне відхилення Х
100
200
300
400
500
р
0,12
0,25
0,28
а
0,17
2.
Розв’язок:
Сума ймовірностей у ряді розподілу дорівнює 1,
тому:
р = р = 0,12 + 0,25 + 0,28 + а + 0,17, звідси
а = 1 - 0,12 - 0,25 - 0,28 - 0,17 = 0,18
а) Математичним сподіванням випадкової
величини називають число М (Х) =
б) Дисперсією D (Х) дискретної випадкової величини Х
дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата цієї величини і
квадратом її математичного сподівання:
х
100
200
300
400
500
х р
0,12
0,25
0,28
0,18
0,17 М (х D (Х) = 107700 - 303
в) Середнє квадратичне відхилення Для випадкової величини Х, яка має
біноміальний закон розподілу з параметрами n, р:
) записати ряд розподілу цієї величини;
2) знайти математичне сподівання М
(Х), дисперсію D
(Х), середнє квадратичне відхилення 2. n = 3, р =
0,3
Розв’язок:
) Випадкова величина Х має біноміальний закон
розподілу ймовірностей, яка може набувати значення х = k = 1, 2, 3
Імовірність можливих значень для даного завдання
визначається за формулою Бернуллі і становить:
де р = 0,3 - ймовірність випадання події Х
q= 1 -
p=1 - 0,3
= 0,7 - ймовірність не виконання події Х
) Математичне сподівання:
М (х) = Дисперсія Середнє квадратичне відхилення Неперервна випадкова величина Х
задана інтегральною функцією розподілу . Розв’язок:
) Записати диференціальну функцію
Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х
приймає значення, які належать інтервалу Задано вибірку, яка характеризує місячний
прибуток підприємців (тис. грн.).
Скласти варіаційний ряд та статистичний розподіл вибірки,
побудувати полігон частот. Скласти інтервальний статистичний розподіл вибірки,
розбивши проміжок ) 42, 52, 47, 43, 46, 53, 43, 50, 47, 49, 51, 45, 46, 50,
51, 45, 52, 47, 42, 54.
Розв’язок:
На підставі вибіркових даних складемо статистичний ряд
частоти
2
2
0
2
2
3
0
1
2
2
2
1
1
Обсяг вибірки в прикладі n = 20
Знаходимо відносні частоти:
Побудова варіаційного ряду - розташування варіантів в
порядку їх зростання.
Отже, розподіл відносних частот для цієї вибірки має такий
вигляд:
теорія ймовірність закон розподіл
Для графічного представлення варіаційного ряду
побудуємо полігон відносних частот.
Висота прямокутників 1) Вибіркове середнє
називають число
) Дисперсія:
= 2293,55
D =
2293,55 - (47,75) ) Вибіркове середнє квадратичне відхилення ) Мода - значення ознаки, яке зустрічається найчастіше в
даному ряді розподілу, тобто ймовірність його появи буде найбільшою. ) Медіана ( Якщо дані містять парне число різних випадків, то медіана
дорівнює середньому між двома центральними значеннями.
Використовуючи критерій Пірсона, при рівні значущості .
Обчислимо:
Обчислимо теоретичні частоти, враховуючи n=40, h=6, i
1
14
- 2,00
0,0540
1,17
2
20
- 1,46
0,1374
2,98
3
26
- 0,92
0,2613
5,66
4
32
- 0,38
0,3712
8,04
5
38
0,16
0,3939
8,53
6
44
0,70
0,3123
6,76
7
50
1,25
0,1826
3,96
8
56
1,79
0,0804
1,74 62
2,33
0,0264
0,57
Значення Порівняємо емпіричні та теоретичні частоти. Побудуємо
розрахункову таблицю з якої знайдемо значення критерія
1
2
1,17
0,83
0,6889
0,5889
2
3
2,98
0,02
0,0004
0,00001
3
5
5,66
0,66
0,4356
0,0769
4
8
8,04
0,04
0,0016
0,00002
5
9
8,53
0,47
0,2209
0,0259
6
7
6,76
0,24
0,0576
0,0085
7
3
3,96
0,96
0,9216
0,2327
8
2
1,74
0,26
0,0676
0,0389
9
1
0,57
0,43
0,1849
0,3244
Сума 40 По таблиці критичних точок розподілу Так, як 1. Астахов В.М. Теорія ймовірностей і математична статистика:
навчальний посібник / В.М. Астахов, Г.С. Буланов, В.О. Паламарчук. -
Краматорськ: ДДМА, 2009. - 64 с.
. Бугір, М.К. Теорія ймовірності та математична статистика:
посібник для студентів економічних спеціальностей вузів / М.К. Бугір. -
Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. - 176 с. . Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика /
В.Е. Гмурман. - М:. Высш. шк., 1979. - 479 с.
. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей. / Е. С Вентцель Л.А.,
Овчаров. - М.: Наука, 1969. - 432 c.
.
+ р+ р
+ р
+ р
10000400009000016000250000
) = 10000 ∙ 0,12 + 40000 ∙ 0,25 + 90000 ∙ 0,28 +
160000 ∙ 0,18 + 25000 ∙ 0,17 = 1200 + 10000 + 25200 + 28800 + 42500
= 107700
= 107700 - 91809 = 15891
дискретної випадкової величини Х називають
корінь квадратний з її дисперсії:
= 
= 126,06
Завдання
4
, якщо:
,
- ряд розподілу даної величини
= 3 ∙ 0,3 = 0,9
Завдання
5
. Записати диференціальну функцію 
розподілу, знайти параметр а та
визначити ймовірність попадання величини Х в інтервал 
.
дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції
взятому в межах від 
до 
.
Завдання
6
на 4-6 рівних проміжків, та побудувати
гістограму частот. Обчислити вибіркові характеристики: вибіркове середнє,
вибіркову дисперсію, вибіркове середнє квадратичне відхилення, моду та медіану,
якщо:
42434445464748495051525354
4243444647495051525354
0,10,10,10,10,150,050,10,10,10,050,05
(42; 44) (44; 46) (46; 48) (48; 50)
(50; 52) (52; 54)
443342
= 
(42 ∙ 2 + 43 ∙ 2 + 45 ∙
2 + 46 ∙ 2 + 47 ∙ 3 + 49 ∙ 1 + 50 ∙ 2 + 51∙ 2 +
52 ∙ 2 + 53 ∙ 1 + 54 ∙1) = 47,75
= 
= 2293,55 - 2280,0625 = 13,4875
, 
- мода, 
) - середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині
ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання значень ознаки.
Завдання
7
перевірити, чи справджується статистична
гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності Х, за даними
вибірки:
142026323844505662
235897321
= 
за формулою
; 
; 
з
таблиці значень функції нормального розподілу Гаусса-Лапласа
, за рівнем значущості і числу степенів свободи 
знаходимо критичну точку правосторонньої
критичної області
, то гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності
справджується.
Список
використаної літератури