Материал: Земляные работы 1

окончательного варианта графика.

6. НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

6.1.Технология закрепления грунтов ва пикетах ПК...ПК

6.2.______________________________________

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗЕМЛЯНЫХ МАСС

Одним из основных вопросов при проектировании производства земляных работ является вопрос о вывозе грунта из выемок и доставка его в насыпи. Решение этой задачи называют обычно распределением земляных масс. Поскольку способы разработки и транспортировки грунта во многом определяют стоимость строительства, его сроки, то одновременно с решением вопроса о распределении земляных масс решается и вопрос о способе производства работ, т.е. о выборе землеройных и транспортных машин.

Задача распределения земляных масс многовариантна, поэтому необходимо найти наиболее выгодный, оптимальный вариант. Для решения згой задачи применена так называемая транспортная задача, или задача о назначениях, являющаяся частным случаем линейного программирования.

Название транспортной рассматриваемая задача [1] получила потому, что к ней сводится оптимизация плана перевозок грузов из т пунктов отправления с запасами а1,..., ат в п пунктов назначения с потребностями b1,…bn Роль коэффициентов сij в целевой функции играют удельные стоимости, т.е. стоимости перевозки одной единицы груза из пункта / в пункту. Задача состоит в минимизации общей стоимости, перевозки грузов при условии, что грузы оказываются полностью вывезенными из всех пунктов отправления и потребности всех пунктов назначения оказываются полностью удовлетворенными.

Переменные в этой задаче удобно снабжать индексами i, j Если первый индекс принимает т значений, а второй - п, то общее число переменных Ху (размерность задачи) равно, очевидно, тп. Сущность задачи состоит в минимизации целевой функции

fCijXij

i1 j 1m n

при т + п ограничениях типа равенств:

Обычно предполагается дополнительное соблюдение равенства

иначе здача не будет иметь решений.

При этих условиях имеется решение сформулированной задачи минимизации, содержащее не более т + п - 1 ненулевых значений переменных Ху . Мы будем называть их назначениями.

При решении транспортной задачи пользуются двумя тп матрицами -матрицей планов Р =| pt|j и матрицей удельных стоимостей С =| c,j| , подвергая их специальным преобразованиям. Для формирования матри-цы Р на начальном шаге делается ровно т + п - 1, назначений (некоторые из них могут быть нулевыми) с тем, чтобы, во-первых, удовлетворялись условия

во-вторых, чтобы выбранные (для назначений) элементы матрицы не образовывали ни одного цикла. Под циклом здесь понимается последовательность элементов матрицы l1, l2,…lk+1 (k > 1), начинающихся и кончающихся одним и тем же элементом (любые ее два соседних элемента расположены либо в одном столбце, либо в одной строке). Пример такого цикла (l1, l2, l3, l4, l5, l6) дает матрица

l1 l2 l4 l3

l6 l5

6

в которой явно выделены лишь элементы, образующие цикл. При этом элементы (l1, l3, l5,) составляют так называемый нечетный полуцикл цикла (l1, l2, l3, l4, l5, l6) (с фиксированным началом цикла l1), а элементы цикла l2, l4, l6- четный полуцикл.

Удовлетворяющий этим условиям начальный выбор может быть сделан последовательным (по строкам., а внутри строки — по столбцам) при помощи максимальных назначений, лимитируемых лишь имеющимися запасами и потребностями (так называемый принцип северо-западного угла). Например, для a1 = 10, a2 = 15, аз = 20; b1 = 15 ,b2= 15, b3=10, b4 = 5 начальные назначения приведены в табл. 2.1.

Строки этой таблицы озаглавлены запасами <я/ в пунктах отправления, а столбцы - потребностями bj в пунктах назначения. Первое назначение в первой строке исчерпывает весь запас в первом пункте отправления, второе назначение исчерпывает остающиеся потребности первого пункта назначения и т.д. Общее число назначений (равное 6) удовлетворяет условию m+n-1 (3+4-1=6), циклы отсутствуют, так что начальную матрицу планов

10 0 0 0 P = 5 10 0 0 0 5 10 5

можно считать построенной.

Пусть матрица удельных стоимостей имеет вид:

2 3 4 4 C = 3 4 3 3 4 3 2 4

Жирным шрифтом в ней выделены элементы, соответствующие сделанным назначениям. Преобразования матрицы С состоят в прибавлении ко всем элементам одной и той же строки или одного и того же столбца некоторой константы (положительной или отрицательной). Целью таких преобразований является обращение в нуль всех выделенных элементов матрицы (в случае, когда выделенные элементы матрицы не составляют цикла, достижение этой цели оказывается всегда возможным).

Прибавляя к строкам матрицы С числа -3, -4, -3, а к столбцам числа +1, 0, +1, -1, превратим ее в матрицу:

0 0 2 0 C1 = 0 0 0 - 2 2 0 0 0

Если бы все элементы матрицы С1 были неотрицательными, первоначальный выбор назначений давал бы оптимальное решение. Но поскольку в нашем случае дело обстоит не так, то применяется процедура исправления начальных назначений. Для исправления присоединяем к уже выделенным элементам матрицы C1 ее наибольший по абсолютной величине отрицательный элемент (в данном случае элемент С24 = -2). Если начальный выбор содержал точно т + п — 1 элементов, то (это нетрудно доказать) при таком присоединении обязательно образуется цикл из выделенных элементов - в данном случае цикл (С24 = -2, С34 = -2, С22 = 0, С24).

Рассмотрим теперь соответствующий цикл

P0 = P24, P34, P32, P22, P24

в матрице планов Р и превратим его в цикл

7

P24 +P, P34-P, P32+P, P22-P, P24+P

где р - наименьшая величина в четном полуцикле (P34, P22) цикла ро (величина р как бы сдвигается го каждого элемента четного полуцикла к следующему за ним элементу нечетного полуцикла). В нашем случае P=P34=5. Производя указанное преобразование цикла и исключая из числа выделенных элементов вновь возникший нулевой элемент P34-P, получим новую матрицу планов Р1:

10 0 0 0 P1 = 5 5 0 5 0 10 10 0

Здесь, как и раньше, полужирным шрифтом даны выделенные элементы. Выделяя те же элементы в матрице C1, получаем матрицу C1' :

0 0 2 0 C1' = 0 0 0 - 2 2 0 0 0

Прибавляя к последнему столбцу число +2, приведем матрицу C1' к виду:

0 0 2 2 C2 = 0 0 0 - 2 2 0 0 0

с нулевыми выделенными элементами, не содержащую отрицательных элементов. Это означает, что план P1 оптимален. Суммарная стоимость перевозок S1 по этому плану равна:

S1 = 10-2 + 5-3 + 5-4 + 5-3 + 10-3 + 10-2 = 120,

в то время как суммарная стоимость перевозок S0 по начальному плану P0 была равна

So - 10-2 + 5-3 + 10-4 + 5-3 + 10-2 + 5-4 = 130.

Как и всякая задача линейного программирования, транспортная задача может иногда иметь не один, а множество оптимальных планов. На такую ситуацию указывает наличие дополнительных (помимо выделенных) нулей в заключительной (преобразованной) матрице удельных стоимостей. Присоединяя эти нули точно так же, как мы поступали с отрицательными элементами, можно двигать вдоль возникающих циклов то или иное количество грузов, не нарушая при этом оптимальности плана. Например, в заключительной матрице Сг рассмотренного выше примера можно образовать цикл из нулевых элементов (С21, С22, С12, С11, С21) и передвинуть в нем какую-нибудь величину груза, скажем С22. В результате получим новый план

7 3 0 0 P1' = 8 2 0 5 0 10 1 0 0

с общей стоимостью перевозок

S1 = 7-2 + 3-3 + 8-3 + 2-3 + 5-3 + 10-3 + Ю-2 = 120.

Таким образом, этот план, как и план P1, является оптимальным.

С помощью подобных замен в пределах множества оптимальных планов можно добиться того, чтобы план, не теряя свойства оптимальности, приобрел некоторые дополнительные полезные свойства. Pазумеется, для этого необходимо, чтобы транспортная задача обладала не одним, а многими решениями, что, конечно, на практике встречается далеко не всегда

Пользуясь изложенной задачей, можно находить оптимальные решения распределения земляных масс при проектировании производства земляных работ, выполняемых, например при возведении железнодорожного земляного полотна

Пусть заданный участок представлен продольным профилем с графиком попикетных объемов (рис. 1). Прежде всего нужно разбить продольный профиль на отдельные участки ~ массивы, которые при решении

8

задачи будут рассматриваться как поставщики (выемки) и потребители (насыпи). Желательно, каждую насыпь и каждую выемку, если они не очень протяженные (400...600 м), представить как массив, определив по графику попикетных объемов его объем. Если в пределах насыпи или выемки имеется несколько достаточно протяженных участков с примерно равными рабочими отметками, их выделяют как отдельные массивы. Однако делать это нужно очень осторожно, так как граница между массивами, как и в графике попикетных объемов, вертикальная, а технология механизированной разработки грунта подразумевает работу горизонтальными проходками. Учитывая местные условия и возможные ограничения, оговоренные в задании на проектирование, намечаются резервы, кавальеры, карьеры и отвалы.

При выполнении курсового проекта можно руководствоваться следующим:

-объем резерва (кавальера) равен объему соответствующей насыпи (выемки), но не больше 6000 м3 на

пикет;

-объем намеченных карьеров можно принимать на порядок выше суммы объемов всех насыпей участка;

-объем всех намеченных отвалов следует принимать таким, чтобы учитывалось известное ограничение:

9