Материал: 04_54-66_Прямая
Тема 2.4. Прямая на плоскости
Д
ве
взаимно перпендикулярные прямые, на
каждой из которых указано
положительное направление и масштаб,
образуют прямоугольную декартову
систему координат (рис. 2.6). :
Рис. 2.6.
Точка
называется началом координат, ось
-
осью абсцисс, ось
-осью ординат. Положение на плоскости
любой точки
определяется двумя числами (координатами):
(рис.2.6).
Теорема 2.9.
Расстояние
между точками
и
(рис.2.7) измеряется по
формуле
Рис. 2.7.
Теорема 2.10.
Если точка
делит отрезок
в отношении
(
называется коэффициентом
пропорциональности), то ее координаты
находят так;
Следствие В частном случае, когда
отрезок делится пополам,
,
получим так называемые формулы половинного
деления:
Теорема 2.11.
Площадь треугольника
с известными вершинами
равна;
В декартовом базисе прямая изображается
уравнением первой степени с двумя
неизвестными
и
Рассмотрим различные формы задания уравнения прямой на плоскости.
Теорема 2.12. В
прямоугольной системе координат
любая прямая задается уравнением первой
степени, называемым общим уравнением
прямой
,
где
- постоянные коэффициенты, причем
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
З
десь
параметры
и
имеют определенный геометрический
смысл (рис 2.8).
Рис. 2.8.
и называется угловым коэффициентом.
- угол, образованный прямой
с положительным направлением
.
В качестве положительного направления
измерения угла α принято направление
против хода часовой стрелки (рис.
2.8).
– отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.
Выполнив несложные алгебраические преобразования, можно от общего уравнения прямой перейти к уравнению прямой с угловым коэффициентом. При этом
,
Уравнение прямой в отрезка на осях выглядит так:
.
З
десь
и
-
отрезки, отсекаемые прямой на осях
абсцисс и ординат соответственно. Их
связь с коэффициентами общего уравнения
.
В этой форме можно представить уравнение
прямой, не проходящей через начало
координат, т.е. если
.
Нормальное уравнение прямой:
.
Геометрический смысл коэффициентов этого уравнения:
- длина перпендикуляра, опущенного
из начала координат на прямую;
- угол, образованный этим перпендикуляром
с положительным направлением оси
(рис.
2.9.).
Рис. 2.9.
Чтобы перейти к этому виду уравнения прямой, необходимо умножить все члены общего уравнения на нормирующий множитель
.
Знак
выбирается таким образом, чтобы
.
Уравнение пучка прямых описывает
множество прямых, проходящих через
точку
с известными координатами:
.
Уравнение прямой, проходящей через
две точки
и
:
.
Угол между прямыми
в зависимости от формы задания уравнений
прямых может быть найден по формулам:
.
З
десь
угол
измеряется от прямой с угловым
коэффициентом
до прямой с угловым коэффициентом
(рис. 2.10.):
Рис. 2.10.
Из этих формул легко выводятся условия параллельности
или
и перпендикулярности прямых:
или
.
Координаты точки пересечения двух прямых определяются как решение системы, составленной из уравнений этих прямых.
Теорема 2.13.
Расстояние
от точки
до прямой
(или
)
определяется по формулам:
или
.
Задача 2.5. Дано
общее уравнение прямой
.
Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках; в) нормальное уравнение. Построить прямую.
Решение
а) Оставим член с
слева, а остальные перенесем в правую
часть уравнения. Затем разделим обе
части на коэффициент при
,
т.е. на (-3).
В результате получим уравнение с угловым
коэффициентом
б) Исходное уравнение разрешается относительно свободного члена, а затем его левая и правая часть делится на величину свободно члена.
.
в) На первом этапе определяется нормирующий множитель
.
Далее левая и правая части исходного уравнения делятся на нормирующий множитель и получают нормальное уравнение вида
.
Задача 2.6.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
и отсекающей от координатного угла
треугольник, площадью, равной
3 (кв. ед.).
Решение
Очевидно, что таких прямых будет две, а треугольники образованы во второй и четвертой четвертях (рис. 2.11.).
Рис. 2.11.
Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку :
Преобразуем его к уравнению в отрезках:
.
Таким образом,
Так как и имеют разные знаки, то площадь указанных в условии задачи треугольников может быть найдена по формуле
.
Отсюда
или