Материал: 04_54-66_Прямая

Решив квадратное уравнение, найдем

Тогда уравнения прямых будут иметь вид:

Задача 2.7. Дан треугольник с вершинами в точках и . Написать уравнения сторон треугольника, медианы , высоты . Найти длины медианы и высоты , внутренний угол треугольника при вершине , площадь треугольника .

Решение

П остроим треугольник с указанными вершинами и отметим все перечисленные элементы (рис. 2.12.).

Рис. 2.12

Уравнения сторон треугольника получим, используя уравнения прямой, проходящей через две точки.

Уравнение можно было бы записать и без таких выкладок, учитывая, что обе точки лежат на оси .

Для нахождения уравнения медианы предварительно определим координаты точки как середины отрезка :

Тогда уравнение медианы будет иметь вид

Длину определим как расстояние между точками и :

(лин. ед.).

Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через вершину :

Так как высота перпендикулярна стороне треугольника , то их угловые коэффициенты связаны так:

Из уравнения легко найти . Тогда и уравнение высоты будет

или

.

Длину высоты определим как расстояние от точки до прямой :

(лин. ед.)

Так как мы установили общие уравнения прямых и , то воспользуемся соответствующей формулой для определения угла при вершине треугольника .

Площадь треугольника равна

(кв. ед.)

Задача 2.8. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, вершины которого и .

Решение

Строим треугольник, указываем точки пересечения его медиан (E) и высот (F) (рис. 2.13.).

Е

Рис.2.13.

Определим координаты точки как координаты середины отрезка , воспользовавшись формулами половинного деления

Для определения координат точки пересечения медиан воспользуемся свойством этой точки, согласно которому она делит медиану в отношении , считая от вершины, т.е. . Тогда для точки

Треугольник является равнобедренным, так как длины сторон и равны:

(лин. ед.)

(лин. ед.)

Следовательно, медиана будет и высотой. Поэтому уравнение высоты определим как уравнение прямой, проходящей через точки :

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку может быть записано как

.

Уравнение стороны как уравнение прямой, проходящей через известные точки и :

отсюда

Так как высота перпендикулярна , то ее угловой коэффициент и уравнение будет

или

Координаты точки пересечения высот и определим из решения системы, составленной из уравнений высот:

Решая систему, находим . Таким образом, точка пересечения высот .

66