Материал: 06 - презентация

2). Интеграл от суммы степенного ряда ( ) на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости, равен сумме ряда, полученного из данного степенного ряда путем почленного интегрирования на том же отрезке:

∫ ( ) = ∫ (∑∞=0 ) = ∑∞=0 ∫ .

Если в качестве отрезка интегрирования взять отрезок [0, ], где(− , ), то равенство приобретает вид:

т.е. в результате почленного интегрирования степенного ряда на отрезке [0, ] получается также степенной ряд. Пользуясь, например, признаком Даламбера, можно показать, что радиус сходимости полученного ряда совпадает с радиусом сходимости исходного ряда.

означает, что сумма степенного ряда дифференцируема на интервале сходимости, и производная суммы равна сумме ряда из производных.

Замечание. Почленное дифференцирование можно применить повторно к ряду из производных первого порядка, второго и т.д.. Значит, сумма степенного ряда имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков.

Замечание. При почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда интервал сходимости сохраняется. Сходимость на концах интервала может появляться или исчезать.

Пример 8. Найти сумму ряда ∑∞=1(−1) +1 ∙ .

Данный ряд сходится на промежутке (−1,1]. Обозначим ( ) его сумму и применим теорему о почленном дифференцировании:

′( ) = ∑∞=1(−1) +1 ∙ −1 = ∑∞=0(−1) ∙ = 1+1 .

Полученный в результате почленного дифференцирования степенной ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале (−1,1).

∫ ′( ) = ( ) − (0) = ∫ 1 = ln(1 + ).

0 0 1+

Пример 9. Найти сумму ряда ∑∞=0( + 1) ∙ .

Данный ряд сходится на интервале (−1,1). Обозначим ( ) его

сумму и применим теорему о почленном интегрировании:

∫0 ( ) = ∑∞=0 +1 = ∑∞=1 = 1− .

Полученный в результате почленного интегрирования степенной ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале (−1,1).

Разбор примерного варианта контрольной работы №1

Вариант 0