Чтобы найти область сходимости полученного ряда, необходимо
решить неравенство: | |
3 |
| < 1 | | < |
5 |
|
− |
5 |
< − 2 < |
5 |
, |
||||||||
5 |
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||
− |
5 |
+ 2 < < |
5 |
+ 2 |
1 |
< < |
11 |
. |
|
|
|
|
|
||||
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
4.Разложить функцию = ln(3 + 4) в ряд Тейлора в точке0 = −1, указать область его сходимости.
Сделаем замену = + 1, = − 1:
= ln(3( − 1) + 4) = ln(1 + 3 ), далее воспользуемся табличным разложением функции
( |
|
) |
|
∑∞ |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln 1 + |
|
= |
|
=1(−1) ∙ |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
|
|
|
|
) |
|
∑∞ |
−1 |
|
(3) |
|
∑∞ |
−1 |
|
3 |
||||
= ln |
1 + 3 |
|
= |
=1(−1) |
|
|
|
|
∙ |
|
= |
=1(−1) |
|
∙ |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возвращаясь к исходной переменной, получим:
= ∑=1∞ |
(−1)−1 ∙ |
3 (+1) |
. |
|
|||
|
|
|
|
Чтобы найти область сходимости полученного ряда,
необходимо решить неравенство: −1 < 3 ≤ 1 |
− |
1 |
< ≤ |
1 |
||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
1 |
< + 1 ≤ |
1 |
− |
1 |
− 1 < ≤ |
1 |
− 1 − |
4 |
< ≤ − |
2 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||