Материал: 07 - презентация
Лекция 7
6.Ряд Тейлора
6.1.Представление функций степенными рядами
Частичными суммами степенных рядов являются многочлены, что делает степенные ряды удобным средством для приближенных вычислений. Поэтому особое значение имеет вопрос о представлении функций степенными рядами.
Предположим, что заданная функция ( ) в некотором интервале с центром в точке 0 имеет производные всех порядков. Тогда согласно формуле Тейлора для всех значений из этого интервала имеет место равенство:
( ) = ( 0) + ′(1!0) ( − 0) + ′′(2! 0) ( − 0)2 +
+ ( )(! 0) ( − 0) + ( ),
где ( ) - остаточный член формулы Тейлора и может быть записан разными способами, например, в форме Лагранжа:
( ) = ( +1)( 1) ( − 0)+1, 1 ( 0, ), ( +1)!
Или в форме Пеано: ( ) = ō(( − 0) ).
При этом можно выбрать сколь угодно большим, т.е. учитывать в этой формуле сколь угодно большие степени переменной ( − 0).
Естественно возникает вопрос о возможности представления функции ( ) в виде бесконечной суммы или в виде степенного ряда:
( ) = ( 0) + ′(1!0) ( − 0) + ′′(2! 0) ( − 0)2 +
+ ( )(! 0) ( − 0) + .
Такой ряд, независимо от того, сходится он или не сходится к функции ( ) в некотором интервале, называется рядом Тейлора этой функции, а его коэффициенты – коэффициентами Тейлора.
Если |
0 = 0, |
то |
данный |
степенной ряд |
называется рядом |
||||||
Маклорена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
( ) |
′(0) |
|
′′(0) |
|
2 |
|
( )(0) |
|
|
|
|
= 0 + |
1! |
+ |
2! |
|
|
+ + |
! |
|
|
+ . |
6.2.Условие сходимости ряда Тейлора заданной функции
кэтой функции
Согласно формуле Тейлора разность между значениями функции ( ) и частичной суммой ряда Тейлора с номером ( + 1) этой функции равна остаточному члену формулы Тейлора ( ). Поэтому справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Для того чтобы при некотором значении значение функции ( ) совпадало с суммой ряда Тейлора этой функции, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора при этом значении стремился к нулю с возрастанием : lim→∞ ( ) = 0.
Доказательство. |
|
|
|
||||
Необходимость. Пусть ряд Тейлора сходится к , т.е. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
lim |
→∞ |
|
( ) = ( ), |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
( ) = ∑ |
( )(0) |
( − ) – частичная сумма ряда Тейлора. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
=0 |
! |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
( ) + |
( ), |
( ) = ( ) − ( ), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|